A continuación, vamos a cubrir teorÃa de decisiones. Primero vamos a ver dos ejemplos. En ambos ejemplos, vamos a retomar el homicidio en un tren y nos vamos a poner en el lugar de un detective que va en el tren. Luego vamos a hablar del concepto de utilidad. [MÚSICA] Como detectives, tenemos a nuestra disposición una prueba de ADN, que vamos a suponer que es infalible. Realizar esa prueba tiene un costo de 100 pesos, digamos. Además, si efectivamente la prueba de ADN sale positiva, significa que hemos descubierto al homicida y recibimos una recompensa de 1.000 pesos. Podemos decidir entre hacer y no hacer la prueba de ADN. Vamos a suponer que la probabilidad de que encontremos al homicida es 0.2. También suponemos que nuestras preferencias coinciden con la cantidad de dinero que obtenemos. Esta situación se puede representar con un árbol de decisiones, en el que tenemos que tomar la decisión de hacer o no la prueba de ADN. Si decidimos realizarla, hay dos posibilidades, que hayamos descubierto o que no hayamos descubierto al homicida. Si la prueba resulta positiva, o sea, que sà lo descubrimos, nuestra ganancia es 1.000 pesos de la recompensa menos 100 de la prueba de ADN. Si la prueba resulta negativa, nuestra ganancia es -100. Finalmente, si decidimos no hacer la prueba, nuestra ganancia es cero. Los nodos que representan decisiones nuestras van a ser cuadrados. Los nodos que representan posibilidades que no están bajo nuestro control, digamos que es la naturaleza quien decide, van a ser cÃrculos. Las hojas van a ser triángulos. Consideramos las probabilidades de que descubramos o no al homicida, que son 0.2 y 0.8. Ahora evaluamos el árbol, es decir, le damos valores a los nodos. A este nodo circular lo etiquetamos con la ganancia esperada, que es 900 x 0.2- 100 x 0.8, que nos da 100. Eso significa que en un mundo extraño en el que pudiéramos repetir muchas veces este experimento, en promedio, a la larga, ganarÃamos 100 pesos. Vemos entonces que lo que más nos conviene es sà hacer la prueba de ADN. Los cuadrados se evalúan entonces con el máximo de sus hijos. Vamos a elaborar un poco el ejemplo. Ahora tenemos acceso a una base de datos de huellas digitales que cuesta 20 pesos. Pero esta base de datos no es perfecta como el análisis de ADN, la probabilidad de que las huellas del sospechoso estén en la base de datos es alta, 0.9. La probabilidad de que la base de datos se equivoque y nos diga que sà se trata de un homicida cuando no lo es, es 0.4. AquÃ, del lado izquierdo, están las probabilidades dadas. Del lado derecho están los complementos. Calculamos primero con marginalización la probabilidad de que la base de datos diga que sà trata de un homicida. Nos da 0.5. Ahora, aplicando el teorema de Bayes, calculamos de manera similar a como lo hicimos con el pañuelo con sangre, la probabilidad de que el sospechoso sea el homicida, dado que la base de datos dice que sà lo es. También calculamos la probabilidad de que sea el homicida, dado que la base de datos dice que no lo es. El árbol de decisiones tiene ahora dos decisiones. Si sà decidimos hacer la prueba de ADN pero no usamos la base de datos, tenemos el árbol que you vimos y que representamos con este triángulo. La ganancia esperada era 100. Ahora tenemos una tercera posibilidad que es usar la base de datos. Sigue un nodo que no depende de nosotros y, con probabilidad de 0.5, la base de datos puede decir que sà se trata del homicida o que no. En ambos casos, podemos decidir hacer o no hacer la prueba de ADN. Si decidimos no hacerla, perdemos solo 20 pesos. Si decidimos sà hacerla, hay una probabilidad de 0.36 de que, efectivamente, el sospechoso sea el homicida, en cuyo caso ganamos 1.000 y perdemos 120. Es la probabilidad de H dado B, porque seguimos el camino en el que B vale cierto. Si el sospechosos resulta no ser el homicida, perdemos 120 pesos. Esto es con probabilidad de 0.64. Finalmente, agregamos las probabilidades de que el sospechoso sea el homicida, dado que la base de datos dice que no lo es y de que no sea el homicida. Esto es porque llegamos aquà con la rama en la que B vale falso. Evaluamos el árbol con los valores esperados en los cÃrculos y el máximo en los cuadrados. Vemos que la ganancia esperada es de 110 pesos. Nos conviene más sà usar la base de datos, pues de otra manera la ganancia esperada es menor, 100 pesos. Luego, si la base de datos dice que las huellas del sospechoso sà están en la base de datos, nos conviene sà hacer la prueba de ADN, en cuyo caso la ganancia esperada es de 240 pesos. En cambio, si la base de datos dice que no se trata de un homicida, nos conviene más no hacer la prueba de ADN con una ganancia esperada de -20 pesos. Terminamos con la utilidad del dinero. En estos ejemplos, asumimos que nuestra apreciación del dinero, es decir, la utilidad del dinero, era lineal con respecto al dinero. Sin embargo, tÃpicamente esto no es cierto. Algunos investigadores, aunque no todos, argumentan que mientras más dinero tiene una persona, menos aprecia al dinero adicional, relativamente hablando. Para estos investigadores, la utilidad varÃa de manera similar al logaritmo del dinero. Otro fenómeno importante es que, por lo regular, los humanos toman más en serio las pérdidas que las ganancias. Esto también se ve reflejado en esta gráfica, pues la utilidad decrece más rápidamente al movernos hacia la izquierda de lo que crece al movernos a la derecha. Hasta aquà no hay nada de irracional. Nuestras preferencias de dinero pueden depender de la cantidad de dinero que tengamos. Por último, observamos que una función de utilidad cóncava vista desde abajo, como esta, implica una preferencia por situaciones en las que no hay riesgo. Supongamos una apuesta en la que se tira una moneda al aire. Si la moneda cae de un lado, ganamos un peso. Si cae del otro, ganamos 11 pesos. Sin embargo, pocas personas están dispuestas a pagar seis pesos por jugar este juego. El valor esperado, o sea, lo que ganarÃamos después de muchas repeticiones, en promedio es seis pesos. Entonces, la mitad de las veces la utilidad va a ser A y la otra mitad de las veces va a ser B, en promedio. La utilidad esperada es entonces un poco menor a la utilidad de seis pesos. Se dice entonces que tenemos aversión al riesgo. [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA]
