[MÚSICA] Salve salve! Vamos falar agora sobre grau. Agora eu quero apresentar para você o conceito de centralidade de redes e falar especificamente sobre a métrica mais simples usada para medir esse conceito. Você lembra daquela aula sobre Teoria de Grafos? Lembra que o vértice de grafo tem diferentes propriedades? Vamos falar sobre o grau dele agora. Grau é muito simples de entender, é o número de arestas que incidem sobre vértice do seu interesse. Pensando aqui numa rede real, de interações de animais e plantas. Olha só como é que tem diferença no grau dos vértices. Tem vértice, por exemplo, nessa rede, com grau só faz uma interação. Outro tem grau três e tem com grau 35, muito acima da média daquela rede. Então, grau é fácil de calcular, é fácil de entender, é só você somar o número de arestas que incidem sobre aquele vértice, simples. A gente pode falar também de grau relativo, a proporção de conexões feitas relação ao total de conexões potenciais daquele vértice. Para poder calcular grau relativo a gente tem que ver qual é o número de parceiros que aquele vértice poderia ter naquela rede e quantas arestas ele fez de fato. Então, por exemplo, aquele vértice só com uma aresta, uma conexão, o grau relativo dele é sobre 35. Porquê? Porque tem 35 vértices na outra classe dessa rede. Como é uma rede bipartida, ele só pode se conectar com vértices da outra classe, não existe conexão dentro de uma mesma classe. Então, o grau relativo dele passa a ser zero ponto zero três ou três porcento. Já aquele vértice muito conectado fez 35 conexões, ele tem 35 arestas incidindo sobre ele e só há 35 vértices na outra classe da rede. Então, o grau relativo dele é ponto zero ou 100%. A gente começa a sofisticar o conceito se a gente pensar direção. Esse grafo desse novo exemplo é grafo não direcionado, uma rede não direcionada. Vamos colocar direção agora nas arestas e elas se tornam arcos. Vamos focar num vértice do nosso interesse, por exemplo, o vértice três que está no centro desse grafo. Tem arestas que chegam nele e tem arestas que saem dele. As que chegam estão vermelho e as que saem estão azul. Então, para o vértice três a gente pode dizer que o grau de entrada dele é três e o grau de saída é. Já temos uma coisa importante para prestar atenção. Se você estiver trabalhando com uma rede não direcionada, o grau é valor único. Se a rede tiver direção você tem que falar grau de entrada e grau de saída. Outro conceito muito utilizado é o grau médio, ou seja, é simplesmente a média dos graus dos vértices de uma rede. Vamos pegar de novo aquela teia trófica do Paine, nosso exemplo favorito aqui no curso. Qual é o grau do vértice? O k de é quatro. Muito simples, porque ele tem quatro arestas que incidem sobre ele. Para calcular o grau médio para a rede inteira, e a gente representa o grau médio com esse símbolo, é só fazer o somatório dos graus e dividir pelo tamanho da rede. Muito simples. Qual é o grau médio dessa rede do exemplo, então? A gente vê o grau de cada vértice dela, soma esses graus e divide pelo número de vértices e, neste caso, nós temos grau médio de ponto nove. Tranquilo. A gente vê, por exemplo, que aquele vértice que tem grau quatro, nesse somatório, está bem acima da média dessa rede. Isso ajuda a gente a entender centralidade. Pensando agora exemplos reais, por exemplo, as interações entre as vespas do figo e diferentes espécies de figo. Essa é uma interação muito íntima, muito especializada. Cada espécie de vespa do figo interage apenas com poucas, pouquíssimas espécies de figo, então, é quase que mecanismo de chave e fechadura. Para quem não consegue essa interação ela é muito legal. Essas vespas colocam ovos dentro daquele fruto, digamos assim, do figo e a larva vai-se desenvolver nova vespa ali dentro e enquanto está se desenvolvendo, depois que começa a ficar independente, faz a polinização do figo. Então, é uma mistura de parasitoide com polinizador, uma relação muito íntima dentro do corpo do outro. Já a abelha europeia interage com várias espécies de planta, ela é muito diferente da vespa do figo. A abelha europeia não coloca ovo dentro de flor nem de fruto, ela simplesmente vai e toma néctar e come pólen na flor que interessou para ela. É uma relação muito mais solta, muito menos especializada e que leva a grau muito maior dessa espécie redes de polinização. Já que existem essas diferenças naturais na ecologia e na história evolutiva de cada espécie de animal que interagiu com planta, a gente pode falar de distribuição do grau. Ou seja, os graus não são iguais para todos os vértices de uma rede, há uma diferença. A distribuição do grau então, vai ser a probabilidade de que vértice selecionado ao acaso naquela rede tenha grau igual ou maior que valor k. E é uma distribuição cumulativa. Vamos olhar isso graficamente para ficar mais fácil de entender. Por exemplo, quantas interações cada espécie faz nessa rede do exemplo aqui do alto, na direita? A gente pode no eixo xx desse gráfico listar os graus registrados nessa rede e no eixo yy a frequência de cada desses graus, ou seja, o número de vértice que apresenta aquele grau do seu interesse. Só com esse gráfico, bem simples, bem bruto, a gente já percebe que existe uma diferença enorme entre os graus dos vértices. A gente pode trabalhar isso como uma frequência cumulativa, ou seja, normalizada para 100%. Você está vendo uma variação pouco mais suave mas, ainda assim, bem grande. É muito comum trabalhar, vez de colunas, trabalhar com linhas esse tipo de gráfico. Então vocês vão ver isso muito na literatura. E além de trabalhar com linha é muito comum também inverter essa linha, fazer o gráfico capotar e trabalhar também escala cumulativa e log. Se a gente primeiro colocar no log, olha só que interessante, fica essa linha aqui, escala logarítmica nos dois eixos, mais suave e, além disso, como eu disse antes, a gente pode capotar o gráfico colocando o eixo xx cima. É muito comum representar dessa forma. E a gente pode comparar a forma dessa linha entre diferentes redes. A forma dessa linha acaba sendo uma espécie de assinatura da estrutura da rede. E olha que interessante, foi proposto diversos trabalhos que a distribuição do grau seria uma propriedade universal de diferentes tipos de redes. Vamos lembrar então. No eixo xx que está representado cima temos o número de conexões de cada vértice na rede, ou seja, são os graus reportados naquela rede. No eixo yy vamos ter a probabilidade cumulativa de vértice ter grau k ou maior do que k. Se a gente pensar, por exemplo, redes aleatórias, ou seja, eu vou bagunçar as arestas dessa minha rede, geral a assinatura dá numa curva exponencial. Interessante. Mas como será que isso fica redes reais, que não são aleatórias, que têm processos estruturadores? Por exemplo, a internet ou redes de relações sociais entre humanos. Olha, é muito comum dar uma lei de potência, está vendo como essa curva vermelha é bem diferente da curva preta? Essa história de redes complexas do mundo real seguirem uma assinatura de distribuição de grau e lei de potência foi proposta pelo Albert e pela Barabási, na virada do século, final dos anos 90, começo dos anos 2000. E eles propuseram que seria uma assinatura universal de todas as redes do mundo real. Só que trabalhos posteriores mostraram que, por exemplo, se você considerar redes de mutualismo, como polinização, o que você observa muitos casos é uma lei de potência truncada. Está vendo que a curva azul é diferente da curva vermelha e também diferente da curva preta? O que é que é uma lei de potência truncada? Ao invés de ser uma reta escala dupla logarítmica como aquela reta vermelha, chega a certo ponto que a curva azul cai, ela começa a decair. Ela também é uma lei de potência, só que ela tem fator de truncagem, ela tem uma desaceleração a partir de certo ponto. Olha só, o que é que isso significa, então? Primeiro, a gente chama a curva vermelha de livre de escala e a curva azul de escala ampla. Livre de escala significa que independentemente do tamanho da rede a assinatura sempre dá uma curva com esse formato. Escala ampla quer dizer que independentemente do tamanho da rede tem esse formato, mas o formato vai mudando, ele não fica tão certinho. Mas porque é que será que a internet e as relações sociais humanas seguem uma reta enquanto que o mutualismo começa como uma coisa parecida com reta mas depois vai decaindo? Pelo seguinte, por que existem muito mais restrições para a formação de arestas, de conexões, redes ecológicas do que outros tipos de rede. Ou seja, é comum na internet você ver por exemplo, site como o Google, Yahoo, Amazon que tem número de conexões, ou seja grau, muito acima da média da rede. Nas redes ecológicas você também observa isso, só que a diferença entre o site ou o nó digamos assim, ou espécie, abelha, a ave, que tem o maior grau e a que tem o menor grau é uma diferença menor, apesar de ser uma diferença grande se você comparar com uma rede exponencial. Então, olha que legal, diferentes tipos de rede vão ter diferentes tipos de assinaturas e essa curva de distribuição do grau. E essas diferenças ajudam a gente a entender os processos que estruturam essas redes. [MÚSICA] Quais são as mensagens principais? Qual é a moral da história? Lembre-se. O grau é a medida de centralidade mais básica, o número de arestas que incidem sobre vértice. Se você estiver trabalhando com uma rede direcionada lembre-se de que tem que separar o grau grau de entrada e grau de saída. O grau pode ser calculado de forma bruta, relativa ou normalizada. Relativo é aquele da porcentagem que eu mostrei no exemplo. Normalizado seria, não uma porcentagem relação a outra classe de vértices da rede mas, você diria simplesmente que o maior grau observado na rede é igual a e que os outros são proporcionais a ele. Você pode também calcular o grau médio para a rede inteira e tentar entender como é que diferentes vértices divergem dessa média. E a distribuição do grau na rede é usada como uma assinatura da topologia da rede. Olha só. Então a gente está vendo uma ligação entre o assunto da centralidade, que foca no nível do vértice da rede e o assunto da topologia, que foca no nível da rede como todo. [MÚSICA]
