Olá. Neste vídeo,
nós veremos precisamente o conceito de resposta frequência.
Particular, nosso enfoque será na resposta de sistemas lineares e
invariantes no tempo, os mesmos que você já viu no curso introdutório.
Mais especificamente, trabalharemos com sistemas estáveis malha aberta.
Após esse vídeo, você será capaz de obter a resposta frequência de
sistema experimentalmente e entenderá por que os sistemas não respondem
igualmente para entradas com diferentes frequências.
Vamos começar tentando obter a resposta frequência do carrinho.
Para isso, vamos aplicar uma entrada de tensão senoidal com amplitude
A e frequência ômega, isto é, u de t igual a A seno de ômega t.
O que faremos é variar a frequência ômega,
de forma a observar a saída do sistema para diferentes frequências.
Nesse caso, estaremos interessados na resposta da posição do carrinho,
isto é, a saída será y de t igual a teta de t.
Vamos ao laboratório de controle.
Voltamos ao laboratório de controle por computador do ITA.
O que precisamos para levantar a resposta frequência de sistema é
inserir uma entrada senoidal com amplitude e frequências conhecidas.
Nesse primeiro caso, vamos começar com uma frequência de ômega igual a três
radianos por segundo, e amplitude de dois volts, pico a pico.
Você pode observar que o carrinho também oscila como uma senoide.
Porém, sua amplitude é de cerca de 30
centímetros e a frequência é a mesma, três radianos por segundo.
As curvas nos gráficos estão vermelho para a entrada e azul para a saída.
Para este segundo ensaio, vamos manter
a amplitude de entrada de dois volts pico a pico e dobrar
a frequência, isto é, ômega igual a seis radianos por segundo.
Você pode observar que agora a frequência de resposta do carrinho
também é de seis radianos por segundo.
Porém, a amplitude ser bastante reduzida e a defasagem entre a senoide
do carrinho de saída e a senoide de entrada também aumentou.
Mais uma vez, vamos manter a amplitude de entrada de
dois volts pico a pico e dobrar a frequência.
Então, agora, ômega será igual a doze radianos por segundo.
Você pode ver que a amplitude da oscilação do carrinho diminui
mais ainda e a defasagem aumenta.
[SEM_ÁUDIO] Você
já viu que a característica entrada/saída de
sistema pode ser dada na forma de sua função de transferência.
Vamos usar essa representação para sistema qualquer: linear,
invariante no tempo e estável.
A função de transferência para esse sistema é: G de s igual a Y de s
sobre U de s que é igual a K sobre s menos p1 vezes s menos p2 até s menos pn.
Para sistema sem zeros e com polos reais não repetidos.
Para que o sistema seja estável, devemos ter todos os polos negativos,
ou seja, p1, p2 até pn menores do que zero.
A transformada de Laplace de sinal senoidal como aplicamos ao
carrinho é dada por: L de A seno de ômega t, que é a transformada de Laplace,
igual a A ômega sobre s ao quadrado mais ômega ao quadrado.
Utilizando este sinal como entrada do nosso sistema,
a transformada de Laplace da saída será Y de s igual a G de s vezes U de s,
que é igual a K sobre s menos p1, s menos p2 até
s menos pn vezes A ômega sobre s ao quadrado mais ômega ao quadrado.
Podemos expandir Y de s frações parciais,
ficando com a1 sobre s menos p1 mais
a2 sobre s menos p2 mais todos os termos
até an sobre s menos pn mais a0 sobre s menos j ômega,
mais a0 barra sobre s mais j ômega,
que a0 barra é o complexo conjugado de a0.
Agora, tomando a transformada inversa de Laplace,
temos que a resposta será uma somatória de exponenciais com expoentes
negativos devido aos polos, com excepção da resposta devido à entrada senoidal.
Y de t igual a a1, e elevado a p1t mais a2 e
elevado a p2t mais todos os termos até an,
e elevado a pnt mais a0, e elevado a j ômega t,
mais a0 barra e elevado a menos j ômega t.
Os termos envolvendo expoentes imaginários podem ser juntados usando
a usando a fórmula de Euler: e elevado a j ômega t igual a cosseno de
ômega t mais j seno de ômega t.
Note que para número complexo z,
temos que z mais z barra é igual a duas vezes a parte real de z.
Caso tenha dúvidas sobre as propriedades dos números complexos,
consulte o material adicional disponível.
Temos então: a0 vezes e elevado a j ômega t mais
a0barra vezes e elevado a menos j ômega t igual a duas vezes a parte real de a0,
cosseno de ômega t menos duas vezes a parte imaginária de a0 seno de ômega t.
Se esperarmos tempo suficientemente grande,
isto é, tomarmos o limite quando t tende ao infinito,
vemos que os termos associados aos polos do sistema, tenderão a zero,
não influenciando mais na resposta, porque os seus expoentes são negativos.
Contudo, o termo associado ao seno permanece.
Assim, para tempo longo, a saída será determinada pela senoide y
de t igual a duas vezes módulo de a0 vezes seno de ômega t mais fi mais
pi sobre dois, que a chamada fase fi é dada
por: arco tangente da parte imaginária de a0 sobre a parte real de a0,
isto é, a saída também será uma senoide de frequência ômega.
Porém, sua amplitude e sua fase serão determinadas pela amplitude e pela
fase de a0.
Como determinar esse número?
Ora, você já viu isso no curso de Introdução aos Sistemas de Controle.
Relembrando a equação na transformada de Laplace da saída,
para obtermos o coeficiente a0,
basta multiplicar por s menos j ômega e tomarmos o limite com s td de j ômega.
Isso ainda não nos ajuda, porque não conhecemos y de s.
Mas lembremos que a entrada é senoidal.
Então, Y de s é igual a G de s vezes a ômega sobre s ao quadrado mais
ômega ao quadrado.
Voltando ao limite, temos que a0 será o limite quando s tende a j ômega,
de s menos j ômega vezes Y de s, que é igual ao limite
quando s vai para j ômega, de s menos j ômega vezes G de s,
vezes A ômega sobre s ao quadrado mais ômega ao quadrado,
que é igual ao limite quando s vai para j ômega de G de s vezes A ômega sobre
s mais j ômega, que é igual a G de j ômega sobre 2 j vezes a.
Dessa forma, precisamos agora determinar apenas o módulo e a fase de a0.
O módulo será dado por módulo de A0 igual a módulo de G de
j ômega sobre 2 j vezes a, que é igual a A sobre 2 vezes o módulo de G de j ômega.
E a fase fi será igual a fase de G de j ômega
sobre 2 j vezes A que é igual à fase de G de j ômega menos a fase de 2
j mais a fase de A que será igual à fase de G de j ômega menos pi sobre 2.
Voltando à expressão para saída y de t e substituindo esses valores,
teremos y de t igual a módulo de G de j ômega vezes
A seno de ômega t mais fase de G de j ômega.
O que isso significa?
Significa que depois de certo tempo, a saída para uma entrada senoidal,
de frequência ômega e amplitude A será uma senoide de amplitude
módulo de G de j ômega vezes A e defasada de fase de G de j ômega.
Porém, mantendo a frequência ômega.
Foi exatamente isso que observamos no nosso carrinho.
E mais, a amplitude da saída será função da frequência ômega,
pois dependerá do módulo de G de j ômega e a fase dependerá da fase de G de j ômega.
Também observamos isso no carrinho,
pois ao aumentar a frequência da senoide de entrada de tensão,
observamos que a amplitude da saída diminuía e a defasagem aumentava.
Vamos observar esse fenómeno com modelo bem simples?
Imagine que estamos lidando com circuito RC, mostrado ao lado,
cuja entrada é a tensão u fornecida pela fonte e a saída é a tensão y no capacitor.
A função de transferência que modela esse circuito é:
G de s igual a Y de s sobre U de s que é igual a 1 sobre sRC mais 1.
Para resistor com resistência de 470 kiloohms e
capacitor de capacitância 220 nanofarads,
teremos G de s igual 1 sobre 0,1 s mais 1.
Vamos calcular o módulo e a fase de G de j ômega para três frequências ômega.
Agora, vemos que G de j ômega pode ser calculado para ômega igual a 1,
10 e 100 radianos por segundo, resultando nos módulos 0.99,
0.7 e 0.10 e nas fases,
menos 0.1, menos 0.8 e menos 1.47.
Agora, de acordo com as nossas previsões para
entradas senoidais de amplitude 1 volt e fase zero devemos ter a saída dada por:
para ômega igual a 1 radiano por segundo a saída será 0,99 vezes seno de t menos 0,1.
Para ômega igual a 10 radianos por segundo, 0,7 vezes seno de 10 t menos 0,8.
Finalmente, para ômega igual a 100 radianos por segundo,
0,1 seno de 100 t menos 1,47.
Verificando simulação,
o que temos é o seguinte gráfico para ômega igual a 1 radiano por segundo.
Note que, neste primeiro caso,
as senoides de entrada e de saída encontram-se praticamente superpostas.
Isso está de acordo com a previsão feita usando a resposta frequência do modelo,
pois a amplitude de saída deve ser igual à da entrada, ganho de aproximadamente 0,99
e defasagem de, apenas, 0,10 radianos, isto é, aproximadamente 5,9 graus.
Já no segundo caso, para ômega igual a 10 radianos por segundo,
notamos uma clara discrepância entre os sinais de entrada e de saída.
Após alguns ciclos, a senoide da saída se estabelece com a amplitude da ordem de
0,7 vezes a amplitude unitária da entrada.
A defasagem também é notável.
Vemos que o pico de sinal de saída acontece consideravelmente depois do pico
de sinal de entrada.
Isso está de acordo com as previsões pela resposta frequência do modelo,
que ditam amplitude de 0,7 vezes a da entrada e defasagem de 0,8 radianos,
aproximadamente 46 graus.
Finalmente, observando o gráfico de simulação para a frequência ômega
igual a 100 radianos por segundo, notamos uma drástica diminuição da amplitude da
saída reduzindo-se a menos do que décimo da entrada, após alguns períodos.
Isso condiz com o valor de ganho de 0,1 de G de j ômega para essa frequência.
Quanto à defasagem, é de quase quarto do período do gráfico, novamente consonância
com o valor de 1,47 radianos, que é, aproximadamente, pi sobre dois.
Agora, você já sabe que aplicando uma entrada senoidal a sistema linear,
após certo tempo, a saída será uma senoide de mesma frequência.
Este é o chamado regime permanente senoidal.
Viu também que a amplitude e a fase de saída dependem da resposta
frequência do sistema.
Você também sabe calcular o ganho de amplitude e a fase que o sistema
introduzirá ao sinal a partir de sua função de transferência.
Nos próximos vídeos, vamos discutir como representar a resposta
frequência de maneira conveniente e veremos as respostas
frequência para algumas categorias de sistemas mais comuns, bem como regras para
esboçar a resposta frequência dada uma função de transferência.
