Olá!
Você já aprendeu os paralelos entre o compensador de
avanço de fase e o PD e entre o compensador de atraso de fase e o PI.
Porém muitas vezes é necessário ajustar o comportamento
da resposta transitória e do erro regime estacionário.
Neste vídeo você aprenderá a conjugar os efeitos dos controladores PI e PD
único controlador, o proporcional integrativo derivativo ou PID.
Existem muitas maneiras de se parametrizar o PID,
sendo uma delas o produto dos termos PD e PI com os ganhos proporcionais condensados
Kp que já está considerado o polo para tornar a função de transferência própria.
C de s igual a Kp vezes 1 mais Kd sobre
Kp s sobre s sobre p1 mais 1 tudo isso multiplicando s menos z1 sobre s.
Nessa forma fica fácil perceber que o resultado na resposta frequência
do controlador será obtido apenas somando as respostas frequência de cada termo.
Assim a parte PD será responsável por fornecer a margem de fase
necessária na frequência desejada de corte de 0 dB, ômega c.
O ganho Kp será ajustado de maneira a fazer com que o
cruzamento de fato ocorra ômega c.
Seguida escolhe-se o 0 do PI de maneira a que a frequência de quebra
suficientemente menor do que ômega c visando evitar perda de margem de fase.
Não é surpresa que isso lembre bem o procedimento anotado no projeto
do compensador de avanço e atraso de fase, dadas as analogias
que fizemos entre PD e avanço e entre PI e atraso.
Vamos empregar esse procedimento para realizar o projeto de PID para o seguinte
sistema: G de s igual a 0,01 sobre s
mais 0,05 vezes s mais 0,07.
Os requisitos serão: Mp menor ou igual a 0,1,
tr menor ou igual a 15 segundos e erro
regime estacionário igual a 0 para entrada degrau unitário.
Para o nosso projeto vamos usar os valores máximos de sobressinal e
tempo de subida dos requisitos.
Mp igual a 0,1 e tr igual a 15 segundos.
Isso resultará fator de amortecimento e frequência de
cruzamento de 0 dB dados por csi igual a 0,59 e ômega c
igual a 0,18 radianos por segundo respetivamente.
Para acomodar efeitos de aproximações e a perda de fase devida
ao PI somamos 5 graus na margem de fase, PM igual a 100 vezes csi mais 5 graus,
que é igual a 59 graus mais 5 graus, o que dará 64 graus.
O diagrama de Bode para o sistema sem controlador pode ser visto na
figura de onde vemos que o ganho ômega c é de cerca de menos
11,2 dB e a fase de aproximadamente menos 144 graus,
resultando margem de fase de 36 graus.
Assim, o módulo de G de j ômega c será igual a menos
11,2 sobre 20 que é igual a 0,275
e a fase fi a ser adicionada será igual a PM
menos fase de G de j ômega c menos 180 graus
que é igual a 64 graus mais 144 graus
menos 180 graus resultando 28 graus.
De onde podemos calcular Kp igual a cosseno de fi sobre módulo
de G de j ômega c que é igual a cosseno de 28 graus sobre
0,275, que dá 3,2 e Kd igual a seno
de fi sobre ômega c vezes o módulo de G de j ômega
c que é igual a seno de 28 graus sobre 0,18
vezes 0,275, que é igual a 9,5.
Agora impondo que o polo p1 tenha frequência de quebra 100 vezes maior
do que ômega c, p1 igual a 100 ômega c que é igual a 100 vezes 0,18 que dá 180.
Seguida, basta incluir o tema integrador para obter o erro regime
nulo escolhendo o 0 do PI com frequência de quebra 10 vezes
menor do que ômega c tem-se z1 igual a ômega c sobre 10,
que é igual a 0,18 sobre 10 que dá 0,018.
O controlador finalmente fica com a função de transferência C de
s igual a 3,2 vezes 1 mais 9,5 sobre
3,2 vezes s dividido por s sobre 180 mais
1 tudo isso vezes s menos 0,018 sobre s,
que dá 3,2 mais 9,5 s sobre s
sobre 180 mais 1 vezes s menos 0,018 sobre s.
Simulando o sistema malha fechada para a entrada degrau unitário o
resultado pode ser visto na figura.
O sobressinal é de exatamente 10%,
ao passo que o tempo de subida ficou 12 segundos.
Como esperado, o termo integral faz com que o erro regime estacionário seja nulo,
dessa forma, os requisitos de projeto foram atendidos.
O PID é ainda a forma de controle mais usada na indústria e
toda a sorte de equipamentos.
Você já sabe projetar PID agora de forma a ajustar a resposta transitória e zerar o
erro regime estacionário.
Seguida você visualizará o efeito do PD,
do PI e do PID na carta de Nichols-Black a fim de verificar o efeito
de cada na resposta frequência de malha fechada do sistema.