好，那我們繼續針對 rocation matrix 再做後續的說明
那我們這裡想講的是 rotation matrix 的第二個功能
那剛剛講的第一個功能是說，我們常常用 rotation matrix
來描述兩個座標繫之間的相對關係 那這裡的第二個功能，是想講的是說，rotation
matrix 也可以用來 讓我們本來在某個座標上面的某個點
的表達法轉換到另外一個座標上面 那我們現在就是由 PPT
上來看說，這個要怎麼去推導 像這個 PPT 上面右上角的這個圖，各位同學可以看到說，我現在就把
兩個座標繫畫出來，一個是所謂的，就像之前的 World Frame A 跟
Body Frame B，那我們現在就，我們先任意地指定一個點
在空間中，就是這裡的 P ，或者說一個向量畫在這裡
那我們現在也知道說，今天這個向量 P，我們可以用 Body Frame
來表達 那 Body Frame 來表達的話，基本上就可以把它想成說，我就是把這個向量
P 分別投影到 Body Frame 的 X、 Y，跟 Z
上面 所得到的三個分量就是我的，這個表达的一个所谓的座標 譬如說，我今天 P
如果說在 B Frame 上面來看是 1，2，3 的話 間接代表說，我這個
P 的向量投到 XB 上面 長度就是 1，投到 YB 是 2，投到 ZB 是 3
那這個比較學理的寫法就像是我這裡的第一行一樣，我的 BP
就寫成 PXB PYB，PZB 三個分量，那
XB、 YB 跟 ZB 各自代表著一個方向，那剛剛講的 1、 2、 3
就是 PXB、 PYB 跟 PZB 就等於說，這是把一個向量拆解成標準的寫法，是像這樣子
那麼同樣也可以把這個向量 把它拆到 {A}
上面來看，就等於說，就像是這下面寫的 我的 P 由 {A}
來表達的話，它就是，也一樣拆成 XA、 you 跟 ZA
三個方向，那針對這三個方向，各有一個長度，就是 PXA PYA 跟 PZA。
就等於說，我們今天這個向量只是用不同的投影方式 然後投影到
{A} 跟 {B} 這兩個 Frame 上面 那我們今天這兩個之間要怎麼做轉換？
我們今天就可以先針對這個 PXA 的部分再去看看 我們今天
PXA，基本上它想講的就是說，它是把一個向量投到 XA
上面，就等於說是把 P 的這個向量 投到 XA 上面，那我們也可以把
P 的這個向量，原本就先把它想成 它是以 {B} 的座標上面把它寫出来的，就是這裡的第一行這裡
所以我今天等於說，可以把 PB 的向量投影到 XA 上面 那這個
BP 的向量在上面就已经寫出来它的投影法，投到 XB、 YB、 ZB
的投影法，我們把它代進來，乘開之後 就發現說，我今天
PXA 可以拆成 最下面這一行的最右側的這三個項，就等於說，我可以把它拆成
PXB、 PYB 跟 PZB，然後各自再乘上兩兩向量的相乘
所以就變成說是一個，兩兩向量相乘會得到一個數字，兩兩向量相乘得到一個數字 兩兩向量相乘得到一個數字，就變成是像這樣子的寫法
那我今天針對 PYA 跟
PZA，如法炮製，都有一樣的方式可以推導出來它所對應的式子 以
PZA 來說的話，我一樣是把 P 的向量投到ZA
的方向，那我本來 P 的向量一樣是先寫在 {B} 上面 那再把這個
{B} 上面的向量代進來，展開來之後也跟 之前算 PXA
一樣，可以得到兩兩向量的相乘 然後各自再乘上 PXB、 PYB 跟
PZB 那我們現在這樣子的寫法，當三個方程式一起看了之後
我們事實上整個可以匯整成一個矩陣的式子，我們最左側 就像上面寫的這三個，就是我們的一個
column vector，它基本上就是 PX、 PY、 PZ 在 {A}
的 Frame 下面看的座標，所以我們一般也寫成，就是 P 點在 {A}
的坐標下面的表達 那拆開來就是 PXA，PX、 PY、 PZ 都在
{A} 上面 那我們右側這個兩兩相乘，以及
相加的式子，我們就可以用矩陣的寫法把它寫出來 那基本上中間的這個矩陣，就是有一大堆的向量互相投影的矩陣
就是跟我們之前在推導旋轉矩陣的時候長得一模一樣，所以間接代表這個寫法，中間這個
就是我們的旋轉矩陣，那右側這個所拉出來的這個 PXB、 PYB
跟 PZB，基本上 就是 P 點在 B Frame
上面的表達法，所以就等於說我們今天把這個式子整個一起看的話 就變成說，我
P 點在 B Frame 上面的表達法 乘上 {B} 相對於 {A}
的旋轉矩陣之後 我就可以得到 P 點在 A Frame 下面的表達法
所以就等於說，今天就間接就讓我們知道這個 {B} 對 {A}
這個旋轉矩陣的第二個功能 它等於說可以把我們本來有一個點，或是一個向量，從某個座標下的表達法
換到另外一個座標，那等於說，那中間所乘的這個旋轉矩陣正是代表著這兩個座標之間的
相對關係，所以這是我們這一個式子想要講的 整個推導的過程數字比較繁雜，同學們可以回去想一下，然後比較、
去吸收一下 基本上想講的就是這個旋轉矩陣的第二個功能，它有辦法把
座標點從某個 Frame 轉到另一個 Frame，那轉的過程利用的旋轉矩陣
它所背後所隱含的，就是說這個旋轉矩陣代表的就是這兩個 Frame
之間的相對幾何 好，我們現在就針對剛剛講的一些觀念來做一些練習，那各位同學
可以看到這個 PPT 上面，我們在這裡一樣畫出了兩個 Frame
那這兩個 Frame 的相對姿態，在之前『轉動-3』 的那個頁面，我們就有練習過 就等於說，一個
World Frame 是藍色，Body Frame 是紅色，它們兩個的相對姿態是已知的 那那個
r 等於說就當成是已知，那我們這裡呢，我們想要計算就是一個 P 點在
不同 Frame 下面的表達法，以及它們之間的轉換，所以我在這裡就畫了一個新的向量是這裡
黃色的這個向量是一個 P 向量，那這裡 P 點 我們就等於說，先給了條件是說，它在
B Frame 上面的表達法的時候 是投影到 X、 Y、 Z，就各自是
1.732、 1 跟 0 就等於說，它是一個長度是 2 的向量。
那我們現在想要算的 就是說，我們知道了 r 是什麼，r 的 {B}
相對 {A} 是什麼 知道了 P 在 B Frame 下面的表達法是什麼
我們想要各位同學去求出來說，我們 P 在 A Frame 下面的表達法是什麼
那這個做法，就像是我們剛剛前一頁所講的，我們今天 P 在 A Frame
下面的表達 基本上就是 P 在 B Frame 下面的表達，乘上 {B} 相對於
{A} 的 rotation matrix，那 {B} 相對於 {A} 的 rotation matrix
在我們『轉動-3』的頁面有得到說是這一個圖 PPT 上面 show 了這個矩陣，那
P 在 B Frame 上面的表達 就是剛剛講的，只是現在把它寫成一個
color，所以就不用 再附上左上角的這個 transpose 的圖形，就是
1.732、 1 跟 0 那這個矩陣跟這個向量相乘之後
我們就可以得出來說，P 在 A Frame 下面的表達法是 1、 1.732
跟 0 那這個是我們用前一頁所教的公式以及用代數的方式去解出來的
那我們現在就來用幾何的方式來做一個確認 那這個是我們針對這個圖形，兩個相對座標
所投影出來的上視圖，就等於說我們現在從上視圖的角度來看這兩個座標 那我們的
P 點，就是這個向量，一樣是黃色的 那我們一開始的題目給的是這樣子，就是我們的
P 點是在 投影在 B Frame 上面，以 B Frame 來表達，那這裡就可以清楚看出來說，誒，我這裡 P 點的這個向量，投影到
XB 上是 1.732，投影到 YB 上面是 1
所以這個是 P 以 B Frame 來表達時候的投影法，那我們今天這個同樣的向量
我們要投影到 A Frame 上面，就是基本上要投影到上面的藍色的這個向量
那我們現在把它畫出來之後，我們的 P 點投影到 {A} 上面的時候，在
X 方向上面，它的長度就是 1 它在 Y 方向上面，它長度就是 1.732。
所以基本上從這個幾何上面，我們可以知道說 我們的 P
的這個向量投影到 A Frame 上面的時候是 1 1.732
跟 0，所以等於說，我們從幾何上面也可以得到跟剛剛代數上面一樣的解
所以間接也確認說我們剛剛代數的這個算法是正確的
林沛群教授兼副系主任 (Professor and Associate Chair)
