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1-4_Rotation Matrix 2

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機器人學一 (Robotics (1))

National Taiwan University

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本課程主要在學習機械手臂在分析面的運動學和軌跡規劃。學習目標： 1.瞭解物體在空間中運動的描述方式 2.瞭解多關節機械手臂的順逆運動學 3.瞭解運動軌跡的規劃方式。

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物體在空間運動之描述 (一)

1.描述一個剛體在空間中3個自由度的移動狀態 2.瞭解描述空間中轉動的旋轉矩陣（Rotation matrix）的運算和使用方法

機器人學導論13:37

1-4_Rotation Matrix 114:15

1-4_Rotation Matrix 29:37

1-4_Rotation Matrix 313:49

Taught By

林沛群
教授兼副系主任 (Professor and Associate Chair)

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Transcript

好，那我們繼續針對 rocation matrix 再做後續的說明那我們這裡想講的是 rotation matrix 的第二個功能那剛剛講的第一個功能是說，我們常常用 rotation matrix 來描述兩個座標繫之間的相對關係那這裡的第二個功能，是想講的是說，rotation matrix 也可以用來讓我們本來在某個座標上面的某個點的表達法轉換到另外一個座標上面那我們現在就是由 PPT 上來看說，這個要怎麼去推導像這個 PPT 上面右上角的這個圖，各位同學可以看到說，我現在就把兩個座標繫畫出來，一個是所謂的，就像之前的 World Frame A 跟 Body Frame B，那我們現在就，我們先任意地指定一個點在空間中，就是這裡的 P ，或者說一個向量畫在這裡那我們現在也知道說，今天這個向量 P，我們可以用 Body Frame 來表達那 Body Frame 來表達的話，基本上就可以把它想成說，我就是把這個向量 P 分別投影到 Body Frame 的 X、 Y，跟 Z 上面所得到的三個分量就是我的，這個表达的一个所谓的座標譬如說，我今天 P 如果說在 B Frame 上面來看是 1，2，3 的話間接代表說，我這個 P 的向量投到 XB 上面長度就是 1，投到 YB 是 2，投到 ZB 是 3 那這個比較學理的寫法就像是我這裡的第一行一樣，我的 BP 就寫成 PXB PYB，PZB 三個分量，那 XB、 YB 跟 ZB 各自代表著一個方向，那剛剛講的 1、 2、 3 就是 PXB、 PYB 跟 PZB 就等於說，這是把一個向量拆解成標準的寫法，是像這樣子那麼同樣也可以把這個向量把它拆到 {A} 上面來看，就等於說，就像是這下面寫的我的 P 由 {A} 來表達的話，它就是，也一樣拆成 XA、 you 跟 ZA 三個方向，那針對這三個方向，各有一個長度，就是 PXA PYA 跟 PZA。就等於說，我們今天這個向量只是用不同的投影方式然後投影到 {A} 跟 {B} 這兩個 Frame 上面那我們今天這兩個之間要怎麼做轉換？我們今天就可以先針對這個 PXA 的部分再去看看我們今天 PXA，基本上它想講的就是說，它是把一個向量投到 XA 上面，就等於說是把 P 的這個向量投到 XA 上面，那我們也可以把 P 的這個向量，原本就先把它想成它是以 {B} 的座標上面把它寫出来的，就是這裡的第一行這裡所以我今天等於說，可以把 PB 的向量投影到 XA 上面那這個 BP 的向量在上面就已经寫出来它的投影法，投到 XB、 YB、 ZB 的投影法，我們把它代進來，乘開之後就發現說，我今天 PXA 可以拆成最下面這一行的最右側的這三個項，就等於說，我可以把它拆成 PXB、 PYB 跟 PZB，然後各自再乘上兩兩向量的相乘所以就變成說是一個，兩兩向量相乘會得到一個數字，兩兩向量相乘得到一個數字兩兩向量相乘得到一個數字，就變成是像這樣子的寫法那我今天針對 PYA 跟 PZA，如法炮製，都有一樣的方式可以推導出來它所對應的式子以 PZA 來說的話，我一樣是把 P 的向量投到ZA 的方向，那我本來 P 的向量一樣是先寫在 {B} 上面那再把這個 {B} 上面的向量代進來，展開來之後也跟之前算 PXA 一樣，可以得到兩兩向量的相乘然後各自再乘上 PXB、 PYB 跟 PZB 那我們現在這樣子的寫法，當三個方程式一起看了之後我們事實上整個可以匯整成一個矩陣的式子，我們最左側就像上面寫的這三個，就是我們的一個 column vector，它基本上就是 PX、 PY、 PZ 在 {A} 的 Frame 下面看的座標，所以我們一般也寫成，就是 P 點在 {A} 的坐標下面的表達那拆開來就是 PXA，PX、 PY、 PZ 都在 {A} 上面那我們右側這個兩兩相乘，以及相加的式子，我們就可以用矩陣的寫法把它寫出來那基本上中間的這個矩陣，就是有一大堆的向量互相投影的矩陣就是跟我們之前在推導旋轉矩陣的時候長得一模一樣，所以間接代表這個寫法，中間這個就是我們的旋轉矩陣，那右側這個所拉出來的這個 PXB、 PYB 跟 PZB，基本上就是 P 點在 B Frame 上面的表達法，所以就等於說我們今天把這個式子整個一起看的話就變成說，我 P 點在 B Frame 上面的表達法乘上 {B} 相對於 {A} 的旋轉矩陣之後我就可以得到 P 點在 A Frame 下面的表達法所以就等於說，今天就間接就讓我們知道這個 {B} 對 {A} 這個旋轉矩陣的第二個功能它等於說可以把我們本來有一個點，或是一個向量，從某個座標下的表達法換到另外一個座標，那等於說，那中間所乘的這個旋轉矩陣正是代表著這兩個座標之間的相對關係，所以這是我們這一個式子想要講的整個推導的過程數字比較繁雜，同學們可以回去想一下，然後比較、去吸收一下基本上想講的就是這個旋轉矩陣的第二個功能，它有辦法把座標點從某個 Frame 轉到另一個 Frame，那轉的過程利用的旋轉矩陣它所背後所隱含的，就是說這個旋轉矩陣代表的就是這兩個 Frame 之間的相對幾何好，我們現在就針對剛剛講的一些觀念來做一些練習，那各位同學可以看到這個 PPT 上面，我們在這裡一樣畫出了兩個 Frame 那這兩個 Frame 的相對姿態，在之前『轉動-3』的那個頁面，我們就有練習過就等於說，一個 World Frame 是藍色，Body Frame 是紅色，它們兩個的相對姿態是已知的那那個 r 等於說就當成是已知，那我們這裡呢，我們想要計算就是一個 P 點在不同 Frame 下面的表達法，以及它們之間的轉換，所以我在這裡就畫了一個新的向量是這裡黃色的這個向量是一個 P 向量，那這裡 P 點我們就等於說，先給了條件是說，它在 B Frame 上面的表達法的時候是投影到 X、 Y、 Z，就各自是 1.732、 1 跟 0 就等於說，它是一個長度是 2 的向量。那我們現在想要算的就是說，我們知道了 r 是什麼，r 的 {B} 相對 {A} 是什麼知道了 P 在 B Frame 下面的表達法是什麼我們想要各位同學去求出來說，我們 P 在 A Frame 下面的表達法是什麼那這個做法，就像是我們剛剛前一頁所講的，我們今天 P 在 A Frame 下面的表達基本上就是 P 在 B Frame 下面的表達，乘上 {B} 相對於 {A} 的 rotation matrix，那 {B} 相對於 {A} 的 rotation matrix 在我們『轉動-3』的頁面有得到說是這一個圖 PPT 上面 show 了這個矩陣，那 P 在 B Frame 上面的表達就是剛剛講的，只是現在把它寫成一個 color，所以就不用再附上左上角的這個 transpose 的圖形，就是 1.732、 1 跟 0 那這個矩陣跟這個向量相乘之後我們就可以得出來說，P 在 A Frame 下面的表達法是 1、 1.732 跟 0 那這個是我們用前一頁所教的公式以及用代數的方式去解出來的那我們現在就來用幾何的方式來做一個確認那這個是我們針對這個圖形，兩個相對座標所投影出來的上視圖，就等於說我們現在從上視圖的角度來看這兩個座標那我們的 P 點，就是這個向量，一樣是黃色的那我們一開始的題目給的是這樣子，就是我們的 P 點是在投影在 B Frame 上面，以 B Frame 來表達，那這裡就可以清楚看出來說，誒，我這裡 P 點的這個向量，投影到 XB 上是 1.732，投影到 YB 上面是 1 所以這個是 P 以 B Frame 來表達時候的投影法，那我們今天這個同樣的向量我們要投影到 A Frame 上面，就是基本上要投影到上面的藍色的這個向量那我們現在把它畫出來之後，我們的 P 點投影到 {A} 上面的時候，在 X 方向上面，它的長度就是 1 它在 Y 方向上面，它長度就是 1.732。所以基本上從這個幾何上面，我們可以知道說我們的 P 的這個向量投影到 A Frame 上面的時候是 1 1.732 跟 0，所以等於說，我們從幾何上面也可以得到跟剛剛代數上面一樣的解所以間接也確認說我們剛剛代數的這個算法是正確的

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