[音樂] [音樂]
[音樂] 各位同學，大家
好，我們今天要在針對 Rotation matrix 的部分，再做進行進一步的解說
那如果同學還記得的話，我們上一次主要是教 Rotation matrix
有三個用法 那第一個用法就是，描述一個 frame 相對於另外一個 frame 的姿態
所以大家可以看到說，在講義上面我上面灰色的這個部分，就是 B 相對於 A 的 Rotation
matrix 它就等於說，基本上是三個 我們被轉動的那個
frame 或者被表達的那個 frame 三個主軸方向，以 A 的座標繫來看
那第二個用法就是，我們可以把 Rotation matrix
當成是一個 frame 之間轉換的一個機制
就等於說，我們下面假設說我們今天有一個點，它首先是在 B frame 上面表達
那我們想把這個表達換成在 A frame 上面表達的話，我們可以就把把中間乘上一個
B 對 A 的 Rotation matrix，就是 B 對 A 的 R，我們就可以達到這樣子的功能
那第三個，我們上次有講過說 Rotation matrix 它本身也是具有轉動的功能，因為等於說這也是它為什麼會叫做
Rotation matrix 的原因 那等於說，我們來看說，我們今天假設在某個
frame 上面 就像最下面 show 出來的這個 P 點，它在 A frame 上面
我們經過一個 Rotation matrix 的旋轉之後，它會到達一個新的點叫做 P prime
就像在圖中，我們本來的向量，在下面這個藍色的這個向量，它是 P
點 經過某個轉角之後，它就到達了 P prime 那在我們上一次的解說裡面，我們這一個旋轉的操作
我們僅有做針對三個主要轉軸來做，就是說對 X 軸的轉動，對
Y 軸的轉動 對 Z 軸的轉動，那各自對這三個軸的轉動，它到底 Rotation matrix 長 什麼樣子。
那大家可以知道說，其實在空間中的轉動有三個自由度 那我們如果說，要把空間中的三個自由度想成三個轉動的話
那這個三個轉動的角度跟 Rotation matrix 到底要怎麼去做個對應
那我們今天就是要來處理這個部分 好，這個就是我剛剛講的問題。
就是說我們今天要做個對應的話 我們要拆成三個角度的旋轉，因為我們空間當中的旋轉有三個自由度
Rotation matrix 本身也是三個自由度，我們在想說，有沒有一個機制 可以把這個轉動跟
Rotation matrix 的數字所代表的，能夠去做一個連接？ 那這裡拆解上來說，其實
Rotation matrix 比 應該說轉動比移動要複雜，第一個是說
Rotation 本身不是 commutable，所謂的 commutable
就是說，它前後的順序可以互換 舉例來說好了，我們以移動來講，我們先在
我們一個物體對 X 軸移動 5，對 Y 軸移動
3 那如果說，我們今天把順序反過來，先對 Y 軸移動 3
再對 X 軸移動 5，它本身是會到達同一個位置 可是轉動就不會是這樣。
轉動先對一個軸轉一個角度，再對第二個軸轉第二個角度
如果今天我們把順序反過來，它其實最後的姿態會不一樣，那這個不一樣的部分，我們其實等- 一下就會舉幾個
例子，各位同學就可以看得比較清楚。
那現在等於說各位同學先裝上一個想法就是說，至少知道它本身 旋轉的前後順序不能夠互換。
那第二個就是說旋轉也跟 轉軸是有關係的，我們必須要知道轉軸在哪裡，我們才知道說我們東西該怎麼轉
對於一個空間中一個東西，你隨著轉動的軸不一樣，它就會轉到不一樣的方向 所以我們必須知道轉軸是在哪裡，然後因為我們東西就一直在轉
我們必須得知道說，轉到新的狀態之後，我們的轉動是要針對新的狀態下的轉軸去看
還是針對本來的狀態下的轉軸去看，這個也必須要定義清楚 所以我們才說這個是兩個，我們在做旋轉的時候，需要去特別注意的兩個點
那也因為上面的這兩個點，我們其實在 Rotation
matrix 上面這跟角度之間拆解的關係，有兩套常常用的方式 第一套就是所謂的
fixed angles 等於說，基本上我們在用這一套方式的時候 是把轉軸的假想成是在空間中是固定不動的方向，就等於說空間
中，我們先定義好一個既定的 X 軸、 既定的 Y 軸跟既定的 Z
軸 那我們東西在空間中轉的時候，就是針對這個既定的三個軸去轉動
那第二個就是說，我們叫做所謂的 Euler Angles
它基本上等於說我們東西在轉的時候 我們可以假想說，在我們的物體上面本來就有一個座標繫
那我們在轉的過程中，一直是針對這個 物體上面的座標繫去做轉動。
假設本來，譬如說我們東西在這裡，它轉了一個角度之後 我們剛剛轉的這一軸，現在轉到這裡來，變成說現在就要
對著這一軸來做轉動，所以這個的轉動，我們就叫它叫做 Euler Angles
林沛群教授兼副系主任 (Professor and Associate Chair)
