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2-1_Rotation Matrix與轉角

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機器人學一 (Robotics (1))

National Taiwan University

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本課程主要在學習機械手臂在分析面的運動學和軌跡規劃。學習目標： 1.瞭解物體在空間中運動的描述方式 2.瞭解多關節機械手臂的順逆運動學 3.瞭解運動軌跡的規劃方式。

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物體在空間運動之描述 (二)

1.瞭解Fixed angles和Euler angles的運算和使用方法 2.瞭解可描述移動和轉動的transformation matrix的運算和使用方法

2-1_Rotation Matrix與轉角5:22

2-2_Fixed Angles 19:31

2-2_Fixed Angles 26:44

2-3_Euler Angles 19:27

2-3_Euler Angles 29:37

2-4_Mapping14:32

2-5_Operators 110:04

2-5_Operators 25:54

2-6_Trans Matrix18:14

Taught By

林沛群
教授兼副系主任 (Professor and Associate Chair)

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Transcript

[音樂] [音樂] [音樂] 各位同學，大家好，我們今天要在針對 Rotation matrix 的部分，再做進行進一步的解說那如果同學還記得的話，我們上一次主要是教 Rotation matrix 有三個用法那第一個用法就是，描述一個 frame 相對於另外一個 frame 的姿態所以大家可以看到說，在講義上面我上面灰色的這個部分，就是 B 相對於 A 的 Rotation matrix 它就等於說，基本上是三個我們被轉動的那個 frame 或者被表達的那個 frame 三個主軸方向，以 A 的座標繫來看那第二個用法就是，我們可以把 Rotation matrix 當成是一個 frame 之間轉換的一個機制就等於說，我們下面假設說我們今天有一個點，它首先是在 B frame 上面表達那我們想把這個表達換成在 A frame 上面表達的話，我們可以就把把中間乘上一個 B 對 A 的 Rotation matrix，就是 B 對 A 的 R，我們就可以達到這樣子的功能那第三個，我們上次有講過說 Rotation matrix 它本身也是具有轉動的功能，因為等於說這也是它為什麼會叫做 Rotation matrix 的原因那等於說，我們來看說，我們今天假設在某個 frame 上面就像最下面 show 出來的這個 P 點，它在 A frame 上面我們經過一個 Rotation matrix 的旋轉之後，它會到達一個新的點叫做 P prime 就像在圖中，我們本來的向量，在下面這個藍色的這個向量，它是 P 點經過某個轉角之後，它就到達了 P prime 那在我們上一次的解說裡面，我們這一個旋轉的操作我們僅有做針對三個主要轉軸來做，就是說對 X 軸的轉動，對 Y 軸的轉動對 Z 軸的轉動，那各自對這三個軸的轉動，它到底 Rotation matrix 長什麼樣子。那大家可以知道說，其實在空間中的轉動有三個自由度那我們如果說，要把空間中的三個自由度想成三個轉動的話那這個三個轉動的角度跟 Rotation matrix 到底要怎麼去做個對應那我們今天就是要來處理這個部分好，這個就是我剛剛講的問題。就是說我們今天要做個對應的話我們要拆成三個角度的旋轉，因為我們空間當中的旋轉有三個自由度 Rotation matrix 本身也是三個自由度，我們在想說，有沒有一個機制可以把這個轉動跟 Rotation matrix 的數字所代表的，能夠去做一個連接？那這裡拆解上來說，其實 Rotation matrix 比應該說轉動比移動要複雜，第一個是說 Rotation 本身不是 commutable，所謂的 commutable 就是說，它前後的順序可以互換舉例來說好了，我們以移動來講，我們先在我們一個物體對 X 軸移動 5，對 Y 軸移動 3 那如果說，我們今天把順序反過來，先對 Y 軸移動 3 再對 X 軸移動 5，它本身是會到達同一個位置可是轉動就不會是這樣。轉動先對一個軸轉一個角度，再對第二個軸轉第二個角度如果今天我們把順序反過來，它其實最後的姿態會不一樣，那這個不一樣的部分，我們其實等- 一下就會舉幾個例子，各位同學就可以看得比較清楚。那現在等於說各位同學先裝上一個想法就是說，至少知道它本身旋轉的前後順序不能夠互換。那第二個就是說旋轉也跟轉軸是有關係的，我們必須要知道轉軸在哪裡，我們才知道說我們東西該怎麼轉對於一個空間中一個東西，你隨著轉動的軸不一樣，它就會轉到不一樣的方向所以我們必須知道轉軸是在哪裡，然後因為我們東西就一直在轉我們必須得知道說，轉到新的狀態之後，我們的轉動是要針對新的狀態下的轉軸去看還是針對本來的狀態下的轉軸去看，這個也必須要定義清楚所以我們才說這個是兩個，我們在做旋轉的時候，需要去特別注意的兩個點那也因為上面的這兩個點，我們其實在 Rotation matrix 上面這跟角度之間拆解的關係，有兩套常常用的方式第一套就是所謂的 fixed angles 等於說，基本上我們在用這一套方式的時候是把轉軸的假想成是在空間中是固定不動的方向，就等於說空間中，我們先定義好一個既定的 X 軸、既定的 Y 軸跟既定的 Z 軸那我們東西在空間中轉的時候，就是針對這個既定的三個軸去轉動那第二個就是說，我們叫做所謂的 Euler Angles 它基本上等於說我們東西在轉的時候我們可以假想說，在我們的物體上面本來就有一個座標繫那我們在轉的過程中，一直是針對這個物體上面的座標繫去做轉動。假設本來，譬如說我們東西在這裡，它轉了一個角度之後我們剛剛轉的這一軸，現在轉到這裡來，變成說現在就要對著這一軸來做轉動，所以這個的轉動，我們就叫它叫做 Euler Angles

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