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各位同學大家好，歡迎收看機器人學（一）的線上課程，我是林沛群
今天是我們這一門課的最後一個單元 那在這個單元裡面呢，我們希望用一個例題
來把整門課程中間所教的一些比較關鍵的一些知識點來做一個匯總和應用
那這個例題基本上也是機械手臂在，我們真實在使用上面和操作上面常常
遇到的，那我們現在就來看一下 那事實上，這個例題的情境我們在之前在教逆向運動學的時候有舉例過
我們想做的事情就是把一個放在桌上的杯子拿手臂把它夾起來
然後再沿著一個特定的軌跡然後把這個杯子放到在墻上的杯架上面
那在這整個例題的過程，我們事實上就會把我們這學期教的 順向運動學、
逆向運動學、 軌跡規劃等等的一些關鍵通通都會使用到 那我們就一步步慢慢來看這個要怎麼去操作
那這個現在只是把動畫放一遍，所以我剛剛講的就是說
今天手臂把杯子放上去，事實上整個過程包含了移動跟轉動
所以各位同學，如果從杯子的重心去想，它重心有一個特定的軌跡
或者說，重心可以把它想成說是手臂夾爪的重心，軌跡從桌面上漸漸地移動到
墻壁上的杯架，那在轉動方面，我們也看到說杯子的姿態事實上是有改變的，所以等於說手臂- 在動作的時候
是移動跟轉動同時都要操作，那這個只是一個回顧的畫面
各位同學如果還記得我們這個六軸的手臂也是跟著我們整個學期這樣子在使用
那這個手臂基本上是六個旋轉的自由度，所以我上邊寫的是六個 R
那各位同學如果還記得的話，我們前三個自由度主要在負責移動，第一個 Z
軸是對上的 對上的，那 2、 3 軸是水平的，等於說，應該說是水平的方向的
那我們借由 2、 3 軸的這兩個轉角，讓我們手臂的 4、 5、 6
軸的這個端點能夠離開我們的那個基座的位置 那第一軸等於說，比較像是說要看我們今天的手臂要分佈在
這個基座相對的哪一個角度上面，那 4、 5、 6 軸 如同我們上課講的，我們常常都會希望把
4、 5、 6 軸跟 Z 軸交在同一點 這樣我們 Pieper solution
才可以使用，所以基本上這個手臂就像是我們上課之前講的，前三個自由度 主要在負責產生移動，后三個自由度主要在負責產生姿態
那這個手臂的各個自由度下，X、 Y、 Z
的定義 或者說這個 DH Table 在我們之前的課程中都有一步步地說明過，那這裡就不再詳細地介紹
如果各位同學對這個部分內容還有一些疑問，可以回過頭去看之前幾個課程的內容 那
這個是就是作為一個複習，就是說，我們之前在教 IK 的時候
事實上我們就已經稍微有一點在解我們今天想做的題目的一部分 各位同學如果還記得我們在
IK 的時候，我們想做的就是說我們今天的杯子先放在桌上 好，它放在某個特定的位置，有某個特定的姿態
那借由下方的這個空間中的一個立體視圖跟一個上視圖 我們可以看出說，今天這個杯子相對於手臂的
一些幾何參數或者說幾個空間狀態的分佈是怎麽樣，都可以看得清楚 那麼之前在
IK 的那個部分，我們就實際地由這個幾何狀態
來推算說這個手臂的六個自由度的 各自的
θ 是什麼，等於說，是在做所謂的逆向運動學的運算
所以這個部分的解答也是我們今天在整個過程中其中的一個環，一個要素
好 那這裡實際上就是我一開始用口語說明的
我們今天想要做的就是把這個杯子從下面的這個位置
移動到上面的杯架，那我這裡有先標出了幾個特定的點，這就等於說 我今天的這個
Cup frame 有 initial 是零在這裡，就是這個 FcO，是 initial,
Fc0 那那個 final position 在這裡，它等於說這幾個點畫的是一個
可以想成說是杯子的重心，或者說是這個夾爪抓點的中心 這有兩個我們要起始跟到達跟末端點的位置
那這裡也特別把第 0 個 frame 的原點跟第 6 個 frame 的原點也特別標出來 因為我們真正在做
IK 的時候，事實上是在考慮這兩個之間的關係，然後把中間的角度算出來
那各位同學可以看到說我們今天 如果說就直接以起點跟終點去做軌跡規劃的話
事實上可能會有點小問題跑出來，所謂的小問題就是說我們其實沒有辦法確保說
在這個自動生成的這個軌跡裡面，它不會一開始讓 杯子有一點點稍微地向下擠壓或者向下轉動的可能
因為我們等於說軌跡如果自動生成的話，這個可能軌跡會自動以一個它認為圓滑的方式 去跑，可是事實上在空間幾何上面，它是相斥的
所以我們今天在針對這樣子的任務，我們必須加上幾個所謂的 via point
，幾個輔助點 讓我們整個軌跡的規劃會比較順一點 所以各位同學可以看到說，我今天在這裡面已經打了兩個點上來
就等於說，我今天除了一開始的起始點 C0 跟 末端點
Cf，我們在中間放了兩個 via point 等於說借由這兩個 via point
的定義，可以比較確保說，好，我今天手臂一開始在動的時候 它是向上動的，就等於說可以確保我們在拿杯子的一開始的過程
是把杯子向上抬起來，那最後一步其實也是，因為我們這個勾子是有一個水平的方向 所以等於說我的第二個
via point 我就設定在這個勾子這個方向的前方 可以先確保說我今天的杯子是先舉到前邊的這個位置
然後再沿著一個水平方向把杯子放到勾子上面 所以等於說，這兩個
via point 的設定是等於說是有經過我們人為思考說確定這個是一個 比較不讓它規劃出來的軌跡跟本身空間條件衝突的一個設定
那這個就是我剛剛講的，我們今天就是做一個設定
第一個是讓杯子舉起來一小段，然後第二個是讓杯子水平放到杯架上面
那真實不同的任務可能會有一些不同的需求 那等於說各位同學在真實在規劃軌跡的時候
可以針對我們的需求去稍微想一下說 會不會有必要在我的起始跟終點之間再加上一些必要的
via point 那我們現在就可以來看說，好，我今天加上了這兩個
via point 之後 我要怎麼開始定義我的整個題目
這裡有一個動畫 我們先把它看完，這其實剛剛有播過，各位同學可以看到說
其實這個軌跡當然是已經規劃好的，我們在這個動畫上面 show
出來其實是已經規劃好的 那各位同學也看出說，手臂在動的過程中的確有依照我們想要的設定
先上舉一點點，然後在最後的一段也是水平放入
好 那我們現在就開始把剛剛所講的那四個點
以及一些相關的設定先把它跑完，那我們設定的第一步就是我們先要清楚地定義說
我在這四個點的姿態下的時候 我的手臂到底它的
坐標以及它的姿態以及它的時間各是什麼 我們可以知道說一開始在這個
P0 的位置 那第一個 via point 我們把它叫做 P1，第二個 via point
叫做 P2，最後一個叫做 Pf 所以我們等於說今天我們定義了四個位置跟姿態，那我們等於說要各自給這四個位置
給它上一個時間，等於說大致上規劃一個我大概需要的時間
然後再同時也需要針對這四個位置給一個空間的坐標
那另外也要給這四個位置我們這個杯子要到達的姿態 那我們等於說把剛剛
規劃的那些事情把它列成一個表，就像這裡講的 我今天從
P0 開始到兩個 via point 到 final point，這裡有四個點，我都給了一個時間
上去，可能一開始是 0 秒、 2 秒、 6 秒、 9 秒，要到達 我的
final point ，等於說我放上杯架，等於說我們用一個比較安全的
方式，它需要 9 秒的時間，比人要放要久一點嘛，是一個比較安全的設定
那我就把整個空間的關係有找出來 等於說一開始的杯子的位置在
P0，是 550、 270 跟 19.5 那最後 final 的位置是
330、 472 跟 367，這個是我們等於說假想的情境的一個
頭跟尾的位置，那一開始杯子等於說是 Z 軸朝上放置的嘛，所以等於說
Z 軸有故意偏一個角度，然後杯子有斜一個角度放著 那最後掛在墻上的時候，它這是整個有斜一個角度
杯子會斜一個角度掛在上面，所以它現在變成在定義的 Y
方向上面 那在這裡的角度定義是以對世界坐標來
看，就等於說今天 X Y Z 的角度是從世界坐標的角度來看
等於說我們定義了一個它想要傾斜的姿態 那這是其中一個定義的方式。
那當然說，各位同學如果覺得說 我直接從一個坐標系掛在那裡三軸的方向來想，也是可以
那你要等於說，這個角度就要寫成 rotation matrix
不過真實在運算的時候，就像之前講的，我今天不可能 是針對 rotation
matrix 的九個參數各自去做軌跡規劃，因為那樣的話在中間的過程中 它中間所自動形成的
rotation matrix 的九個數字就不會 依照著 rotation matrix
本身定義所需求的，因為旋轉上只有三個自由度 所以等於說我在這裡才特別說，我們今天在定義上就先寫成這樣子是比較安全的
如果各位同學覺得說直接這樣想三個角度有困難的話 可以先 rotation
matrix 或是說三個坐標軸的方向去想 可是真實在運算的時候還是要把它換回來
那這裡可以看出說，我們中間設定的兩個 via point
的方式 剛剛就有講過說，我的第一個 via point 是要讓杯子向上
舉到一個位置，讓它等於說確保說它第一段軌跡是 往離開桌面的方向前進。
所以各位同學可以看到說，我今天 P0 跟 P1 的差別只有在 Z 方向 上面，它就上移了 60。
那最後一個從 P2 到 Pf
也是相似的道理 我等於說希望說杯子先伸到杯架的前方，然後沿著
杯架那個支撐部分伸出來的方向，把杯子往裡面推 那那個是在 Y 方向上面。
所以各位同學也可以看到說，我從 P2 到 Pf 我的 X 跟 Z
就沒有改變，我的 Y 等於說就是 水平移動了 100。
好，那等於說這是我們 P1 P2 是我們後來加的 那加的這兩個點的設定方式就像剛剛講的，等於說一個是上提
一個是水平移動，那在姿態方向就沒有改變 所以我就把這個設定有差異的部分用橘色標識出來
好，那我們今天有了這個表之後
我們的第一步就必須要先把這些相對關係的參數 先寫到我們的 transformation
matrix 裡面 因為我們知道說在後續在運算的時候，我們在解
Ik 或是 Fk 的時候 我們通常是用 transformation matrix
的方式來表達，所以等於說我們今天可以先把我們的需求條件 或者可以把它講成說，我今天我想要知道的末端
點、 手臂末端點或是說那個夾爪，或是說那個杯子的姿態 相對於手臂基座的姿態要先找出來，所以等於說我要找的是
這四個操作點下面 C 對 0 的 transformation matrix
是什麼 那所以我們就等於說從上面的這個表的資料，就可以算出下面列出來的這四個矩陣
那這個矩陣的右下角的那個 0 1 2 f 代表的是
它從起始點到第一個 via point、 到第二個 via point、 到最後一個 via
point，等於說這是四個不同的姿態 那寫成矩陣之後呢，這個姿態本身等於說它所對應出來的樣子
也跟上面的表中所列的數字是符合的 所以各位同學可以看到說，我們知道說
transformation matrix 的最後一個 column 講的就是那個
cup 那個 frame 相對於 D 坐標的姿態 所以等於說這後面三個數字
550 270 19.5 就會跟我在 P0 上面的 X Y Z 是一樣的
那其他在 P1、 在 P2、 在
Pf 上面事實上都是一樣的，會發現最後一個 column 的前三個數字基本上就是 我上表的 X Y Z。
那這個角度的部分，我們就事實上是 在把這三個角度把它轉成旋轉矩陣的表達法，所以說這裡等於說會
左上角的 3×3 就是我們這個角度所形成的旋轉矩陣 好，這是下一步的設定，我們就必須要把
cup 對 D 坐標，或是說第 0 個 frame 的一個 transformation matrix
找到 那在下一步呢，因為我們整個計算其實
基本上所有會可變的角度都在 θ1 到 θ6
所以就是等於說我們事實上我們主要需要的是 6 對 0 的 transformation
matrix 所以這時候其實就是一個簡單的坐標轉換。
因為我們知道說 我們的 C 對 0，所謂的 cup 對 0
是包含了 C 對 6 和 6 對 0 所以我們如果今天需要 6 對 0 的 transformation
matrix 我們就可以把 C 對 0 的 transformation matrix 再乘上 C 對 6 的 transformation
matrix inverse 就可以了 就如同這裡所寫的，這樣就可以把在這四個姿態下面
在這四個時間點下面，就等於說從一開始，兩個 via 跟
final 這四個時間點下面 6 對 0 的 transformation matrix 找到
那在這裡的運算的實際的量值上面 我們今天 cup
對第六個 frame，我們就也可以知道說它的定義就像是這裡的右圖這樣子
我們 6 的定義會照著本來手臂的轉軸，所以是 Z 是朝前的
那麼 cup 定義的方向比較像是接近於世界坐標，我們的
Z 是向上的 所以我們今天從 cup 到 6 的轉換，今天基本上從這個
相對 cup 或者說這個夾爪的中心相對於 6 的轉換
等於說基本上來看起來它是一個距離上面的平移 跟三個坐標軸順序的調換
因為這三個坐標軸順序的調換，所以我們發現說它的一些角度都是 90
度的，所以才會說它這裡只有 1 跟 -1 那我們距離的平移就等於說是在
Z 軸上面 那這樣的話等於說我們就找到了 C 對 6 的
那這個有了之後，我們再從前一個設定所算出來的 C
對 0 就可以反推出來 6 對 0 的所有的姿態 它就是像下面這個表中所列的。
那這個跟剛剛其實是基本上是相近的，只是把剛剛 C 對 0
的矩陣再乘上一個這裡列出來的這個反矩陣 而已，本身並沒有太大的一個運算
好，那我們剛剛求得了 6
對 0 的 transformation matrix 之後呢，我們事實上就可以 把
6 對 0 的這個所有需要做 軌跡規劃的一個表再把它畫出來
那這個時候其實的話，各位同學可以發現說，我今天的這個表上面 就可以把我們的移動
那這個移動事實上就是剛剛 6 對 0 transformation matrix 的第四個 column
的前三個數字都把它 抄過來，所以四個時間點的第四個 column 抄過來是這樣子的數字
然後我們的旋轉矩陣再把它經由一個 反算，就可以把三個角度都算出來。
好，就等於說這我們是在 針對這三個角度到時候去做内插，就可以開始進行我們的軌跡規劃
那各位同學也可以發現說，我今天到這一步為止 我都是命名為設定，因為這等於說這個是我們任務的本身
所以等於說今天到這一步為止，我們在意的只是說我今天杯子
到底是從手臂的基座的角度來看，它要從哪一個位置 哪一個姿態到達另外一個位置、
另外一個姿態 那各位同學也發現說，今天這一個的本身，我們還沒有做軌跡的
規劃，所以跟規劃的細節還無關，我們定義的只是我們的需求 那另外我們定義的是 6 對
0，它等於說今天其實 那個手臂事實上也可以用不同形態的手臂。
因為等於說不同形態的手臂 它到時候的 Fk Ik 會不一樣。
可是這個是我們的需求，等於說我們可以針對這樣的需求
基本上不管我們用什麼樣的手臂，只要滿足這個需求，代表我的杯子，就可以從桌上
移動到墻上的杯架，等於說所以才說這個是設定 那真實我們等一下要開始做運算的時候
我們在做 Fk，做 Ik 的時候，那時候手臂的參數才會進來 等於說那個時候所做的內容就跟特定的手臂是有關的
到這一步為止，我們只是設定我們的任務需要是這樣子 好，各位同學可以稍微去想一下
