[MUSIQUE] [MUSIQUE] [MUSIQUE] [MUSIQUE] >> Bienvenue à cette leçon sur les relations spatiales et la topologie. Le positionnement des objets géographiques, les uns par rapport aux autres et leur connectivité, sont des éléments très importants dont il faut tenir compte lorsqu'on analyse les réseaux, par exemple. >> Nous avons donc vu dans les 2 premières leçons que >> la modélisation du territoire implique de pouvoir identifier et discriminer des objets spatiaux, puis de pouvoir caractériser leur géométrie en les positionnant dans un référentiel, référentiel généralement constitué par un système de coordonnées planes qui dérive d'un système de projection. Nous avons également noté au passage que la description de la géométrie des objets porte non seulement sur leur positionnement absolu dans l'espace, mais s'intéresse également au positionnement des objets les uns par rapport aux autres, autrement dit à leurs relations spatiales et à ce sous-ensemble de relations spatiales particulier que constitue les relations topologiques. Cette thématique est importante car l'intégrité d'une base de données spatiale dépend de la validité ou de la vérification de ces règles topologiques. Cette intégrité étant nécessaire pour que la base de données en question puisse être exploitée par des logiciels SIG. Cette leçon vise donc à décrire les relations qu'entretiennent les entités spatiales et la notion de règles topologiques, de sorte que vous soyez en mesure d'expliquer ces notions, et de décrire les principales formes de relations topologiques. Dans cette leçon, nous aborderons donc successivement le thème des relations spatiales, puis la notion de topologie, pour finir par décrire les principales relations topologiques. [MUSIQUE] Travailler sur des entités spatiales implique donc la capacité de les localiser, de les décrire individuellement, mais également la capacité de les appréhender collectivement en décrivant leur relation dans l'espace. La question de ces relations se pose par exemple dans le cas de 2 villes reliées entre elles, indépendamment de leur éloignement, par exemple par des liaisons aériennes ou comme ici maritimes, de 2 communes de montagnes situées dans 2 vallées voisines qui ont une frontière commune, mais qui pourtant sont éloignées, en termes de distance à parcourir, pour aller de l'une à l'autre. Dans le cas de réseaux routiers, dans la recherche du plus court chemin permettant de relier 2 points ou encore de la distance d'une habitation à l'école, ou au poste de santé le plus proche. Les relations spatiales identifient toute propriété que des entités spatiales partagent entre elles. Elles sont indissociables de la notion de voisinage ou de liaison qui rend, selon une propriété donnée, deux entités dépendantes. Les relations spatiales s'appuient donc sur les notions de contact. Dans le cas d'une parcelle X, est-ce que la parcelle A est en contact? Qu'en est-il de la parcelle B? Ou encore de la parcelle C? Sur la notion de connexion, est-ce que le chemin de l'école est en connexion avec le chemin de Perroset? Les notions de proximité et de distance, quelle est la distance des différentes maisons au chemin de l'école? Ou encore finalement les notions d'atténuation, par exemple l'atténuation, la propagation du bruit de la circulation sur le chemin de l'école. En tant que propriété partagée par deux entités spatiales, les relations spatiales peuvent s'exprimer par la géométrie de ces entités, avec les notions de voisinage et les relations de proximité, comme on vient de le voir, ou par les notions d'agencement et de réseau, comme l'illustre cette figure qui montre les formes les plus classiques d'arrangement d'objets, en étoile, en maille, en boucle, en arbre, etc. Les relations spatiales peuvent également s'exprimer par un attribut lié aux entités, traduisant les propriétés de l'espace par rapport à des processus de diffusion ou de déplacement, par exemple. On parle alors, dans ce cas, de relations fonctionnelles. Dans cette figure, les zones rouges représentent les zones urbanisées les plus inaccessibles à la faune sauvage, et les zones vertes, les réservoirs naturels, en particulier les forêts du Jura, et les couloirs qui suivent en fait les cours d'eau et qui permettent la communication entre le massif du Jura et le lac. On peut relever également le tracé de l'autoroute, qui représente un obstacle difficile à franchir pour la faune. [MUSIQUE] [MUSIQUE] La notion de topologie s'est développée à partir du problème des sept ponts de Königsberg, aujourd'hui Kaliningrad, abordé par Euler, au XVIIIe siècle. Dans cette ville traversée par une rivière et comptant 2 grandes îles connectées entre elles et où 2 rives partent sept ponts, le problème consistait à trouver un cheminement à travers la ville qui ne franchirait chaque pont qu'une et une seule fois, en admettant que les îles ne sont accessibles qu'en empruntant les ponts, et qu'une fois la traversée d'un pont entamé, elle doit être poursuivie jusqu'à son autre extrémité. Euler a relevé le fait que la trajectoire empruntée dans les diverses parties de la ville, n'a aucune importance et que seule importe la séquence de traverser des ponts. Ce qui lui a permis de schématiser le problème et de le reformuler en termes abstraits, posant ainsi les bases de la théorie des graphes, qui repose sur une schématisation en nœuds liés par des connexions. Par définition, la topologie est la branche des mathématiques qui s'intéresse aux propriétés de l'espace, qui sont préservées lors de déformations continues, c'est-à -dire l'étirement, le pliage, mais sans déchirure, ni trou, ni collage. Dans cet exemple de déformations continues par aplatissement, on voit bien que des grandeurs, comme l'angle entre les deux droites ou les surfaces des rectangles, ne sont pas préservées, alors que d'autres notions, comme l'intersection des deux droites ou le fait que les deux rectangles se touchent, sont des choses qui sont préservées. Les relations topologiques sont donc des relations ou des propriétés spatiales qualitatives, indépendantes de toute mesure et invariantes sous déformations continues. Dans ces quelques exemples, on voit que les relations de voisinage qu'entretiennent les pairs d'entités spatiales, restent les mêmes quelle que soit la géométrie des objets concernés. C'est ainsi que l'on parle d'espaces topologiques par opposition à l'espace métrique. Dans un espace topologique, les concepts utilisés sont du type un point est situé à l'extrémité d'une ligne, situé sur le contour d'un polygone, à l'intérieur d'un polygone ou d'une région, un polygone est connecté à une ligne, une aire est simple, non trouée, etc. Alors que dans l'espace métrique, les concepts utilisés sont plutôt ceux de la distance entre deux points, de la longueur d'une ligne, de l'angle formé par deux lignes, du périmètre ou de la surface d'un polygone, etc. On voit donc que la forme, la dimension et la distance ne jouent aucun rôle, l'intérêt porte essentiellement sur les notions de voisinage, d'agencement et de réseau, avec un accent particulier sur les notions d'intérieur, de limite et d'extérieur. Nous avons donc vu les fondements de la notion de topologie, reste maintenant à voir en quoi cette notion est importante, dans le monde des systèmes d'information géographique. Dans le monde du SIG, la topologie s'exprime par un ensemble de règles portant sur les relations entre entités spatiales, de type point, ligne ou polygone. Le respect de ces règles définit la cohérence topologique et cette cohérence est indispensable pour toute forme d'analyse spatiale. Comme exemple de règles topologiques, on peut citer le fait que des lignes jointives doivent avoir un nœud commun, ce qui permet par exemple de s'assurer que dans le cas d'un réseau hydrographique, les rivières s'écoulent bien les unes dans les autres, que les limites de polygones jointifs sont uniques, ce qui est nécessaire si l'on veut représenter par exemple le cadastre foncier, avec des parcelles juxtaposées les unes aux autres, on ne peut pas se permettre d'avoir des superpositions de polygones ou des trous entre polygones, le fait qu'un polygone est défini comme un ensemble topologique formé d'un centroïde et d'un contour, et que ce contour doit être fermé. [MUSIQUE] Les relations topologiques sont donc des relations spatiales invariantes sous déformations continues. Elles sont basées sur les notions de voisinage, de proximité, de limite, d'agencement et de réseau. Nous allons, dans la suite de cette partie du cours, aborder les quatre formes principales de relations topologiques, que sont l'adjacence, la connectivité, l'inclusion et l'intersection. La notion d'adjacence ou de continuité implique que les entités spatiales possèdent en commun un côté ou un sommet. On parle d'adjacence au sens strict lorsqu'ils ont un côté commun, d'adjacence au sens large, dans le cas d'un sommet commun. Par ailleurs, l'adjacence peut être de premier ordre si les deux entités sont en contact direct, de second ordre si une autre entité s'intercale, etc. La connectivité exprime l'adjacence pour les réseaux linéaires. Elle peut être orientée, comme c'est le cas dans cet exemple pour un réseau hydrographique. La connectivité peut être décrite par des graphes et des matrices de connectivité, comme le montre cet exemple de 15 zones contiguës, qui comportent 19 connexions entre éléments et la matrice de connectivité qui va avec. On peut noter au passage que le nombre total de voisins est égal au double du nombre de connexions. Le cas, un peu trivial, de l'inclusion qui est celui d'une entité spatiale située totalement à l'intérieur d'une autre, avec des relations de type Contient ou alors EstContenu. Il s'agit en fait d'un cas particulier d'adjacence. Et enfin, l'intersection qui définit l'espace commun à deux entités spatiales. En s'appuyant sur les notions d'intérieur, de limite, d'extérieur, que l'on a vues tout à l'heure, on voit que dans le cas de deux polygones, la notion d'intersection comporte neuf formes différentes. [MUSIQUE] Dans cette leçon, nous avons donc abordé quelques éléments concernant les relations spatiales, en général. Nous avons abordé la notion de topologie et le rôle des règles topologiques dans les bases de données utilisées par les systèmes d'information géographique. Et finalement, nous avons décrit les quatre principales formes de relations topologiques que sont l'adjacence, la connectivité, l'inclusion et l'intersection. [MUSIQUE]
