Abordamos ahora otro de los problemas tÃpicos de aprendizaje de máquinas, que es el de aproximación de funciones. En este video vamos a contar por qué es posible utilizar sistemas basados en reglas para esta tarea. Y en otros videos mostraremos cómo hacerlo. Comencemos por recordar que nuestros sistemas basados en reglas al final los podremos caracterizar por la curva entrada salida. A cada valor de entrada le corresponde una salida. Pero que dependiendo de muchos ajustes de diseño podemos tener relaciones entrada salida muy distintos. Cambiando algunos parámetros, la forma de la curva puede ser distinta. Inclusive cambios drásticos cuando hacemos cambios en la base de regla, con tendencia de formas muy distintas. Nos preguntamos ahora si podemos construir cualquier curva que querramos. Si dada una relación en cada salida deseada yo puedo encontrarla con algún sistema basados en reglas. Vamos a precisar matemáticamente esa pregunta. Supongamos una función y = f(x), que la podemos ver como un sistema que recibe una entrada X y entrega un resultado Y. Que tiene entonces una forma de verse gráficamente o una curva entrada salida. Y ahora, queremos construir un sistema basado en reglas que tiene su propia curva entrada salida. Y lo que queremos es que los dos sistemas que están ilustrados en este momento tengan el mismo comportamiento. Que el sistema basado en reglas se comporte igual que la función original. ¿Será que puedo diseñar un sistema basado en reglas, en donde las dos salidas sean iguales? O por lo menos aproximadas, que se parezcan. ¿Cómo asà aproximadas? Que cuando yo las compare, es decir cuando las reste, el valor absoluto sea pequeñito. ¿Pequeño? Que sea menor que el valor que yo quiero. ¿Será que puedo diseñar un sistema basado en reglas cuya diferencia en comportamiento sea tan pequeño como yo lo establezca? Esa es la pregunta que la formulamos de otra manera diciendo. ¿Será que puedo diseñar un sistema basado en reglas que aproxime cualquier función que yo quiera? Vamos entonces a intentar dar respuesta a esa pregunta separándola en dos partes. La primera es una pregunta por la existencia de un sistema basado en reglas y luego sobre el diseño. La primera pregunta, formulada de manera distinta a como está en la transparencia, serÃa la siguiente. ¿Sà tiene sentido buscar ese sistema basado en reglas? ¿Existe un sistema basado en reglas que aproxime cualquier función con la precisión que yo quiera? ¿O estoy abordando una tarea que no tiene solución? Esa es la primera pregunta. La segunda pregunta es, bueno, dado que sà existe suponiendo que la primera respuesta es positiva, si existe. ¿Cómo lo encuentro, cómo logro diseñar ese sistema? Son dos problemas por aparte. La respuesta a la primera pregunta es, de manera corta. Existe un grupo muy grande de sistemas basados en reglas. Que permiten hacer esa aproximación con la precisión que se quiera. Hay un gran grupo de sistemas basados en reglas que son. Aproximadores universales de funciones, y entonces vale la pena pensar en utilizarlos. La respuesta a la segunda pregunta, ¿cómo lo diseño? Es a partir de algoritmos que me van a ser útiles para encontrarlos. Son los algoritmos de entrenamiento o algoritmos de optimización. En este video vamos a seguir hablando sobre la primera de esas preguntas y en otros videos sobre la segunda. Entonces, vamos a explicar ese concepto de Aproximadores Universales de funciones. Para eso, vale la pena aprovechar para señalar que hay dos grupos grandes de sistemas basados en reglas. Y nosotros hasta este momento solo hemos hablado de uno de esos tipos, son los que se conocen como los sistemas tipo Mamdani. Y en este momento vale la pena presentar también los sistemas tipo Takagi-Sugeno. Cuando vamos a establecer las reglas de esos sistemas basados en reglas, los dos tipos de sistemas se parecen en el antecedente. Son antecedentes de la forma si X es bajo y X2 es medio por ejemplo, es decir, con términos lingüÃsticos. Donde se diferencian muchÃsimo los dos tipos de sistemas es en los consecuentes. Los consecuentes tipo Mamdani también son lingüÃsticos y son los que hemos estudiado hasta este momento, entonces Y es alto. Los sistemas tipo Takagi-Sugeno tienen una expresión matemática en el consecuente, una función de las entradas. Entonces, son dos enfoques muy distintos de sistemas basados en reglas. Y esto es importante a la hora de hablar de aproximadores universales. En todo caso, los sistemas basados en reglas, lo que hacen es interpolar comportamientos. Los sistemas tipo Mamdani interpolan una interpretación lingüÃstica del comportamiento. Recuerden, por ejemplo que una regla como, si el calor es mucho en el ejemplo que trabajamos anteriormente. Entonces el riesgo es inaceptable, cubre una zona de la gráfica entrada salida, aporta algo. Y cada una de las reglas aporta algo a un trozo de esa curva. Bueno, en los sistemas tipo Takagi-Sugeno también sucede lo mismo. Lo que pasa es que lo se está interpolando ahora son funciones matemáticas. Por ejemplo, podrÃamos tener una base de reglas en donde los consecuentes fueran lÃneas rectas. Y lo que estarÃamos haciendo es tomando trozos de lÃneas rectas e interpolarlos. Gracias a un sistema basado en reglas, basado en lógica difusa. Pero en principio, ambos esquemas son interpoladores. Y esto lo digo porque a la hora de hablar de aproximación de sistemas lo que queremos es aproximar una curva. En últimas, la solución se da en la manera en que interpolemos. En general, lo que necesitamos para hacer una buena aproximación de una función son un número suficiente de reglas. Cada una cubriendo un trocito de la curva y una forma de interpolar adecuada, bien sea tipo Mamdani o tipo Sugeno. ¿Son o no son aproximadores universales los sistemas tipo Mamdani, los sistemas tipo Takagi-Sugeno? La respuesta fue apareciendo paulatinamente en la historia. La primera persona que nos dio una respuesta al rededor de eso fue Wang en el año 1992. Él estudiaba en particular los problemas de control difuso, las aplicaciones al control. Y encontró que cierto tipo especial de sistemas tipo Mamdani eran aproximadores universales, demostró ese teorema. Pero eran unos sistemas muy curiosos, en particular tenÃan que ser conjuntos con forma gausiana. La agregación debÃa usarse con un producto y uno you se pregunta por qué. Si la agregación suele ser la unión de los resultados de cada regla. La unión es una S-norma y el producto es una T-norma, y otras condiciones. Entonces, fue un primer resultado. Simultáneamente, prácticamente, Buckley encuentra un resultado válido para los sistemas tipo Takagi-Sugeno. Y esto supuso un impulso muy grande para este tipo de sistemas, pero no todos los Takagi-Sugeno. El teorema que logra demostrar Buckley dice, necesitamos que en los consecuentes pongamos polinomios. Y de pronto de un orden elevado para lograr hacer esa aproximación de sistemas. Y el concresor no es especÃficamente el de Sugeno, sino una variación sobre el de Sugeno. Pero esto le dio un impulso muy grande a esos sistemas. Posteriormente llegó un teorema que abarca los dos tipos de sistemas, los tipo Mamdani, los tipo Sugeno. Este teorema lo desarrollaron los profesores Castro y Delgado de la Universidad de Granada en el año 1995. Cuando aplicamos el teorema a los sistemas tipo Mamdani. Lo que encontramos es que prácticamente todos los sistemas basados en reglas forman parte de ese conjunto de aproximadores universales. Porque las condiciones que se le ponen son muy, muy poquitas, muy débiles, entonces prácticamente todos lo cumplen. Por ejemplo, los conjuntos de las variables lingüÃsticas lo único que se le pide es que el soporte sea un intervalo. Que en prácticamente todas las definiciones que tienen un sentido lingüÃstico cumplen esta condición. La restricción de agregación es utilice cualquier S-norma, cualquiera. Además tiene el sentido de la agregación de la unión de resultados. En la implicación puedo utilizar cualquier T-norma. Es más, puedo utilizar no solo T-norma, sino otro tipo de funciones que son las R-implicaciones. Y a los concresores solo le pide una cosa muy sensata. Que el resultado numérico esté contenido en el soporte del conjunto. Es decir, es un conjunto muy, muy amplio de sistemas basados en reglas. Y si aplicamos este teorema a los sistemas tipo Takagi-Sugeno. La condición que le pone a las funciones es también muy débil. Usted puede utilizar en el consecuente algo tan simple como un valor, un valor númerico, un número. Si quiere complicarlo más puede hacerlo, puede poner lÃneas, puede poner polinomios. Pero lo que necesita como condición mÃnima es un valor numérico. Y el concresor, use el concresor que sugirió Sugeno. Entonces, este teorema abarca una enorme cantidad de sistemas basados en reglas. Y por eso es que podemos decir que es buena idea intentar utilizar sistemas basados en reglas. Bien sea Mamdani, bien sea Takagi-Sugeno, para la tarea de aproximación de funciones. Necesitamos saber si hicimos bien la tarea o no. Lo que vamos a hacer es medir qué tanto nos estamos equivocando a la hora de hacer la aproximación de las funciones. Y lo que haremos será comparar, restar el resultado si aplicamos la función o si aplicamos nuestro sistema. Ese error lo podemos calcular punto a punto, puede ser el error absoluto, el error relativo. Pero lo usual es tomar el error relativo de una gran colección de puntos. Hacer un barrido completo de los datos que tengamos disponible. Y ese será el criterio que utilizaremos para saber si hicimos bien la tarea de aproximación de funciones. El objetivo es minimizar la suma de los errores cuadráticos relativos. ¿Por qué podemos estar interesados en hacer un aproximación de funciones? ¿Por qué no utilizamos directamente la función? Bueno, en general hay dos situaciones para justificar esta preocupación por la aproximación de funciones. La primera es que, en realidad, no tenemos la función. A veces tenemos son los datos, sabemos cómo se comporta esa función pero no tenemos la expresión analÃtica. Y necesitamos encontrarla en lugar de buscar la función, buscamos algo que se le aproxime. Y otra situación usual que justifica esta preocupación. Es cuando sà tenemos la función pero es tan complicada que hacer los análisis. O inclusive hacer las simulaciones en computador de esa expresión puede ser impráctico. Y por tanto, buscamos un sistema que lo haga de manera más eficiente. Esta es la razón por la que en general se estudia el problema de aproximación de funciones. Bien, en los próximos videos mostraremos cómo utilizar ciertos procedimientos, ciertos algoritmos. Para lograr esa aproximación con sistemas basados en reglas, gracias.
