Hola, vamos a presentar unas definiciones más. La primera de ellas, producto cartesiano, seguro la han encontrado en otros cursos de matemáticas, aquà solo la recordamos. Presentaremos la extensión cilÃndrica, la proyección cilÃndrica, también conocidas como extensión ortogonal y proyección ortogonal. Bueno, producto cartesiano, cuando tenemos dos conjuntos como en este caso. El conjunto A formado por dos deportes, y el conjunto B por tres animales. El producto cartesiano de esos dos conjuntos es el conjunto de todas las posibles parejas de elementos. Donde cada pareja tiene un elemento del primer conjunto y un elemento del segundo conjunto. Como se ve claramente en este ejemplo. Si vamos a unos universos continuos, por ejemplo la recta real. Tenemos la misma situación, solo que hay que representarla graficamente de otra manera. Por ejemplo, el primer conjunto, vamos a suponer que es ese intervalo [2, 3] y el segundo conjunto el intervalo [2, 5]. Para representar el producto cartesiano de esos dos conjuntos, necesitamos el plano cartersiano R2. Y lo que hacemos es encontrar todas las posibles parejas de elementos de A, con elementos de B. El resultado es el rectángulo AxB, que es esta gráfica B. Vamos ahora al segundo concepto, el concepto de extensión cilÃndrica. Imaginemos que tenemos dos universos de discurso, el universo U formado por los deportes y el universo V, formado por animales. En esta tabla cada casilla es una pareja de deporte y animal. Es decir, esta tabla representa el producto cartesiano de esos dos universos de discurso. Ahora supongamos que tenemos definido un elemento sobre el primer universo de discurso. Sobre el universo U en este caso, hay un conjunto C con esos grados de pertenencia. ¿Cuál es el grado de pertenencia al levantamiento de pesas? 0.4, ¿y por qué no hemos escrito nada para el atletismo y los otros que están en vacÃos? Porque es 0, solo escribimos los grados de pertenencia del soporte. Bueno, tenemos ese conjunto, pero ahora necesitamos llevarlo al producto cartesiano de U cruz V, ¿cómo lo hacemos? Nuestra tarea es cómo llevar ese conjunto que está definido solo en U al producto cartesiano. La solución es extender esos grados de pertenencia al producto cartesiano. Como se extenderÃa una circunferencia para generar un cilindro. Extensión cilÃndrica, perpendicularmente, ortogonalmente, extensión ortogonal. Bueno, los demás valores que no hemos escrito aquÃ, pues serÃan 0, pues podrÃamos llenar toda la tabla con ceros. Cuando tenemos universos de discurso continuo, ¿cómo se verÃa esta situación? Supongamos un conjunto difuso como este conjunto A definido sobre los reales. Y ahora queremos llevarlo a R2, porque tenemos dos universos de discurso definidos. Uno en R, otro en R y el producto cartesiano está en R2, ¿cómo hacemos? Necesitamos una dimensión más para graficar el grado de pertenencia. En este caso será el eje vertical y el producto cartesiano queda en el plano horizontal. Dibujamos el conjunto que queremos extender, es esa lÃnea que aparece sobre el plano de U y lo proyectamos. Perpendicularmente, ortogonalmente. Este es un nuevo conjunto difuso, ahora definido sobre un universo de discurso, que es el producto cartesiano UxV. Bien, ¿cuál es el valor entonces de ese grado de pertenencia para un punto (x, y)? El que tiene en x, asà se extiende. La siguiente definición, que es la de proyección cilÃndrica, es el problema contrario. Estamos en un producto cartesiano y queremos ver un conjunto difuso. Solo en uno de los universos de discurso que definen el producto cartesiano. Es decir, tenemos este ejemplo o el producto cartesiano U cruz V, representado por toda esa tabla. Quedémonos con el soporte, para ver claramente como es ese conjunto difuso y ahora queremos proyectar. Ese conjunto difuso solo sobre uno de los universos de discurso. Por ejemplo, sobre el universo U, el universo de los deportes. ¿Cómo se ve ese conjunto que está definido en el producto cartesiano en solo uno de los universos de discurso? Lo que hacemos es trasladar hacia ese universo de discurso el valor mayor de los grados de pertenencia que se encuentren. Por ejemplo, para el levantamiento de pesas, los grados de pertenencia que aparecen son 0.3, 0.5 y 0.7. ¿Cómo lo ve el universo de discurso? Como el mayor valor, 0.7. Trasladamos entonces el valor más grande de todos los que hay para cada uno de los elementos del universo de discurso. Algo semejante podrÃamos hacer para proyectar ese conjunto difuso hacia V, lo proyectarÃamos mirando ahora en otra dirección. En la dirección perpendicular, ortogonal hacia B. Y por ejemplo, para el búho tendrÃamos el valor de 1.0. Porque desde la perspectiva del búho, los grados de pertenencia que se ven son 0.7, 1.0 y 0.7. Veámoslo ahora, desde el caso continuo. Tenemos un conjunto difuso definido sobre R2 con la forma que ustedes ven allÃ. Y queremos ahora proyectarlos sobre los universos de discurso. A la hora de intentar hacer la proyección sobre U, lo que haremos es, para cada valor de x. Averiguar cuál es el máximo valor y lo tomaremos como la proyección para ese valor de x. Una forma fácil de visualizarlo es imaginarse una fuente de luz que proyecta una sombra de forma perpendicular. Como si fuera un fuente plana de luz que proyecta una sombra y lo que se ve en el universo de discurso es la sombra. TendrÃamos que revisar en este caso, todos los valores de V, para encontrar cuál es el máximo valor para uno de los X. Podriamos hacer el mismo ejercicio proyectando en la dirección contraria. Y tendrÃamos la proyección sobre el otro universo de discurso. HabrÃa que poner entonces la fuente de luz en otra dirección, en la dirección perpendicular, ortogonal al universo de discurso. Bien, estos son entonces tres definiciones que van a ser bastante útiles. Producto cartesiano, extensión cilÃndrica, proyección cilÃndrica, gracias.
