В этом видео мы введем
несколько распределений, которые являются
производными от нормального, и поговорим о том, как они возникают.
А в следующих видео вы увидите, как эти распределения применяются.
Давайте для начала быстренько вспомним про нормальное распределение.
У нормально распределенной случайной величины два параметра: μ и σ,
μ равна матожиданию, а сигма — квадрат дисперсии.
Вот так выглядит ее плотность и функция распределения.
Обратите внимание, что функция распределения не выражается аналитически,
то есть вот этот интеграл не берется,
а график плотности распределения похож на знакомую вам шляпу.
Давайте теперь представим, что у нас есть k независимых одинаково распределенных
нормальных случайных величин, то есть со средним 0 и дисперсией 1.
Определим новую случайную величину X, равную сумме квадратов наших Xi.
Распределение такой случайной величины называется распределением
хи-квадрат с k степенями свобод.
К сожалению, формулы для плотности и функции распределения хи-квадрат
выглядят ужасно, поэтому мы даже не будем на них смотреть.
Точно так же не будем смотреть на формулы для функции распределения и плотности
следующих распределений.
При k, равном 1 и 2, график для плотности хи-квадрат — это
монотонно убывающая функция с максимумом в 0.
При k, начиная с 3, у плотности появляется максимум,
который с ростом k начинает постепенно уезжать вправо по числовой оси.
Пусть теперь у нас есть случайная величина X1 из стандартного нормального
распределения и X2 из распределения хи-квадрат с числом степеней свободы ν.
Определим новую случайную величину X, равную отношению X1 к √X2 / ν.
Такая случайная величина будет
иметь распределение Стьюдента с числом степеней свободы ν.
Перед вами графики плотности распределения Стьюдента при разных ν.
На первый взгляд они кажутся похожими на плотности нормального распределения,
а так у них более тяжелые хвосты,
то есть для них более вероятны большие по модулю значения случайной величины.
Кроме того, они всегда центрированы в 0, то есть они не могут никуда сдвигаться по
числовой оси, в отличие от нормального распределения.
Чем больше ν, тем меньше отличие распределения Стьюдента от нормального.
При ν, начиная с 30, визуально практически невозможно отличить
распределение Стьюдента и нормальное.
Пусть теперь X1 имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы d1,
X2 — хи-квадрат с числом степеней свободы d2.
X1, X2 — независимы.
Отношение X1 и X2, нормированных на свои числа степеней свободы,
имеет распределение,
которое называется распределением Фишера с числом степеней свободы d1 и d2.
Варьируя d1 и d2,
можно получать очень разные виды для функции плотности распределения Фишера.
Некоторые из них вы видите на рисунке.
Зачем эти распределения нужны?
Для того чтобы начать с этим разбираться, давайте возьмем выборку объема N из
нормального распределения с математическим ожиданием μ и дисперсией σ².
Про выборочное среднее такой выборки мы уже знаем,
что оно распределено тоже нормально,
с тем же самым математическим ожиданием μ и дисперсией в n раз меньше — σ² / n.
Что мы можем сказать про выборочную дисперсию?
Если мы внимательно посмотрим на выражение для выборочной диспресии, мы увидим,
что оно представляет собой сумму квадратов чего-то.
Вот это что-то — это независимые,
одинаково распределенные нормальные случайные величины.
Поэтому неудивительно, что распределение выборочной дисперсии имеет какое-то
отношение к распределению хи-квадрат.
Действительно, специальным образом нормировав выборочную дисперсию,
поделив ее на истинную дисперсию σ² и умножив на n − 1, мы получим величину,
которая имеет распределение хи-квадрат с числом степеней свободы n − 1.
Рассмотрим теперь еще одну полезную статистику,
которая называется T-статистикой.
Она представляет собой отношение разности выборочного среднего и истинного
математического ожидания μ к корню из выборочной дисперсии,
деленной на n, то есть в знаменателе стоит S / √n.
Такая статистика имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы n − 1.
Наконец, пусть теперь у нас есть две выборки, объемов N1 и N2,
каждая из своего нормального распределения.
Параметры первого — μ1, σ1, параметры второго — μ2, σ2.
Если мы возьмем отношение выборочных дисперсий этих двух выборок,
поделим их каждая на свою истинную дисперсию — σ1²,
σ2², — то такая величина будет иметь распределение Фишера
с числом степеней свободы, определяемых объемами наших выборок.
Число степеней свободы распределения Фишера = (n1 − 1, n2 − 1).
Итак, в этом видео мы поговорили о том, как выглядят распределения
хи-квадрат Стьюдента и Фишера, как они связаны с нормальным расперделением,
а также увидели, какие статистики могут иметь такие распределения.
Начиная со следующих видео, мы начнем разбираться с тем, как эти распределения и
эти полученные знания можно использовать для построения доверительных интервалов.
Evgeniy Riabenko
Evgeny Sokolov
Victor Kantor
Emeli Dral
