Le cours expose la théorie de Galois, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier. Le thème général de cette théorie est l'étude des racines d'un polynôme et concerne en particulier la possibilité de les exprimer à partir des coefficients de ce polynôme. Evariste Galois considère les symétries de ces racines et associe ainsi à ce polynôme un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il dégage à cette occasion pour la première fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omniprésente en mathématiques. Son étude lui permet d'expliquer pourquoi les racines d'une équation prise au hasard ne s'expriment en général pas par des formules algébriques faisant intervenir ses coefficients à partir du degré 5, un résultat démontré auparavant par Abel. Plus généralement, l'étude du groupe de Galois du polynôme permet de dire exactement quand une telle formule existe. C'est ce que l'on appelle la correspondance de Galois : elle relie d'une part la théorie des corps, d'autre part la théorie des groupes.Ce cours expliquera cette théorie en n'utilisant que des résultats de base d'algèbre linéaire. Nous étudierons d'un côté la théorie des corps, c'est-à-dire la façon dont les corps s'emboîtent les uns dans les autres, en introduisant la notion de nombre algébrique (essentiellement les racines de polynômes). D'un autre côté, nous introduirons les éléments nécessaires à l'étude des groupes de permutations. Cela nous permettra d'expliquer la théorie de Galois, non seulement dans son cadre d'origine, c'est-à-dire quand les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, mais aussi dans un cadre plus général, par exemple lorsqu'on réduit ces coefficients modulo un nombre premier p. Le cours culminera avec une comparaison des groupes de Galois dans ces deux situations (« entière » et après réduction modulo p), fournissant ainsi un outil de calcul puissant de ces groupes. Ce cours est l'occasion d'aborder des notions d'algèbre variées, essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques, de manière très simple pour très rapidement aboutir à des résultats tout à fait remarquables. Nous n'avons pas cherché la généralité maximale mais au contraire à aller rapidement à l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur intéressé sera alors armé pour aller plus loin, notamment grâce à la bibliographie ou à des cours plus avancés.
Complément : deux exemples de calcul
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From the course by École normale supérieure
Introduction à la théorie de Galois
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From the lesson
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extension cyclotomique générale, théorie de Kummer
Meet the Instructors
Olivier DebarreProfesseur
Département de mathématiques
Yves LaszloProfesseur
Directeur adjoint Sciences
[MUSIQUE] Bonjour, nous avons maintenant suffisamment d'outils pour donner
des exemples de polynômes dont le groupe de Galois est le plus gros possible,
c'est-à-dire le groupe symétrique, tout entier.
Vous avez vu la semaine dernière, dans le cours, que pour n au moins égal à 5,
le groupe symétrique, S n, n'est pas résoluble.
Et vous verrez la semaine prochaine,
que lorsque le groupe de Galois d'un polynôme n'est pas résoluble,
l'équation polynomiale correspondante n'est pas résoluble par radicaux.
Alors, on se place comme d'habitude dans le cas d'un corps de base, petit k,
qui est, soit fini, soit de caractéristique zéro,
ce qui permet de définir le groupe de Galois d'un polynôme sur ce corps.
Rappelons un résultat du premier exercice de la semaine six.
Si P, appartenant à k, crochets, X, est de degré, n supérieur ou égal à 1.
S'il est irréductible, alors n divise le cardinal de son groupe de Galois sur,
petit k.
Dans la suite, on va se simplifier la vie,
en supposant que le degré du polynôme que l'on regarde est premier.
Alors c'est assez utile, car, pour p, premier,
on dispose du critère suivant pour engendrer le groupe, S p.
La proposition dit simplement que une transposition et un
p-cycle quelconque engendrent, S p.
Alors ce résultat se combine bien avec la proposition précédente, en effet,
si grand P, appartenant à K, crochets, X, est de degré premier petit p,
le cardinal du groupe de Galois, de grand P sur petit k, est divisible par petit p,
et, d'après le lemme de Cauchy, que vous avez vu en exercice la semaine cinq,
on dispose d'un élément d'ordre p dans le groupe de Galois.
Comme le groupe de Galois est inclus dans, S p, cet élément d'ordre p n'a d'autre
choix que d'être un p-cycle.
On obtient donc le corollaire suivant.
Si P est irréductible, de degré premier petit p, et si son groupe de Galois
contient une transposition, alors ce groupe de Galois est, S p, tout entier.
Voyons un premier exemple où on peut utiliser ce corollaire.
Regardons le polynôme à coefficient entier,
X5 plus 3 X3 moins 18X plus 12.
J'affirme que son groupe de Galois est S5, tout entier.
Commençons par montrer que il existe une transposition dans ce groupe de Galois.
Pour ça, on regarde les racines réelles et complexes du polynôme.
Déterminons le nombre de racines réelles grâce à l'analyse.
Alors on calcule, P prime de x, c'est, 5 x4, plus, 9 x2, moins 18,
et on a de la chance, c'est un polynôme de degré 2, en x2.
Et on établit donc facilement que, P prime de x,
est strictement négatif, pour x dans l'intervalle, moins racine de 6 sur 5,
racine de 6 sur 5 ; et strictement positif lorsque,
valeur absolue de x, est strictement plus grand que, racine de 6 sur 5.
Comme la valeur de P en, moins racine de 6 sur 5, est strictement positive,
et la valeur de P en, racine de 6 sur 5, est strictement négative,
on conclut que P s'annule exactement une fois, sur chacun des intervalles suivants,
moins l'infini, moins racine de 6 sur 5 ; moins racine de 6 sur 5,
racine de 6 sur 5 ; et racine de 6 sur 5, plus l'infini.
Le polynôme P a donc exactement trois racines réelles.
Comme il est de degré 5, ça nous laisse deux racines complexes, non réelles,
qui sont nécessairement conjuguées,
puisque P est à coefficients réels, et donc, la conjugaison complexe
fournit un élément du groupe de Galois qui est une transposition.
Vérifions maintenant que P est irréductible sur Q.
Pour cela on va appliquer le critère d'Eisenstein, qui a été vu en exercice,
lors de la semaine trois, avec le nombre premier 3, justement.
Le polynôme est à coefficients entiers, il est unitaire,
et 3 divise tous les coefficients sauf le coefficient dominant, et de plus,
9 ne divise pas le coefficient constant 12.
Le critère d'Eisenstein s'applique donc, et notre polynôme est irréductible sur Q.
On a donc les trois ingrédients qui interviennent dans notre corollaire.
Le polynôme est irréductible de degré premier, 5.
On a une transposition dans le groupe de Galois.
Et il est irréductible sur Q.
On en conclut que le groupe de Galois de ce polynôme, sur Q, est S5, tout entier.
Regardons maintenant un deuxième exemple de polynôme, à coefficients rationnels,
de groupe de Galois, S5.
Alors on va prendre, P égale, X5 moins X moins 2.
Et on va, dans un premier temps, montrer que sa réduction modulo 5 est irréductible
; en déduire que, ce polynôme, lui-même, P est irréductible sur Q ; et enfin,
grâce au corollaire énoncé par Olivier, vous allez pouvoir dire que,
si vous obtenez une transposition, ce que vous allez aller chercher,
le groupe de Galois du polynôme, sur Q, est isomorphe à S5.
Commençons par les énoncés d'irréductibilité.
Notons, P barre, la réduction de, P modulo 5.
Alors vous savez, par le résultat d'un exercice de la semaine
quatre, que P barre est irréductible,
si et seulement si, il ne contient pas de racines dans F5, ou dans F25.
Donc si et seulement si, il ne contient pas de racines dans F25.
Vous allez donc prendre petit x,
une racine de P barre, dans une clôture algébrique oméga, fixée de F5.
Et vous allez montrer que ce petit x n'appartient pas à F25,
c'est-à-dire qu'il ne vérifie pas l'équation x à la puissance 25 égale x.
Bon, calculons x à la puissance 25.
C'est x à la puissance 5, à la puissance 5, donc c'est, x plus 2, à la puissance 5.
Donc, élevé à la puissance 5, c'est le morphisme de Frobénius.
C'est, x à la puissance 5, plus, 2 à la puissance 5.
Alors, 2 à la puissance 5, c'est 32, c'est, 2 modulo 5.
Et x à la puissance 5, c'est, x plus 2.
Donc ça vous donne, x plus 4, et x plus 4 est différent de x.
Alors, votre racine x n'appartient pas à F25, et le polynôme,
P barre, est bien irréductible sur F5.
Alors, parce que maintenant P est un polynôme unitaire, à coefficients entiers,
vous savez, par le résultat d'un exercice de la semaine trois,
que votre polynôme P est en fait irréductible sur Q.
Alors l'argument que vous a donné, précédemment, Olivier,
vous dit que, du coup le groupe de Galois, disons G,
de votre polynôme P sur Q, contient un 5-cycle.
Et, pour dire que ce groupe de Galois, G, est isomorphe à S5,
il vous reste à trouver une transposition.
Dans le premier exemple, on avait considéré la conjugaison complexe,
et ça nous avait permis de récupérer cette transposition.
Malheureusement, ici, votre polynôme P a une seule racine réelle.
Du coup, si vous utilisez la conjugaison complexe, vous n'allez pas y arriver.
Alors on va d'abord montrer, dans un premier temps, que le groupe de Galois, G,
n'est pas un sous-groupe de A5, et en déduire le résultat voulu.
Alors, calculons ce discriminant, delta.
Alors, delta.
Si on a écrit donc, P comme le produit des, x moins x k ; donc les, x k,
sont les racines de P, vous savez,
par le résultat d'un exercice de la semaine précédente,
que c'est le produit des, P prime de, x k.
Alors, P prime c'est 5 x k, 4, moins 1.
Écrivez simplement ça, c'est le produit des 5 x k à la puissance 4 moins 1.
Alors vous savez que, x k, est racine de votre polynôme,
ça veut dire que chaque x k, vérifie, x k à la puissance 5, égale, x k,
plus 2, et, comme x k est non nul, vous allez pouvoir diviser par x k,
et obtenir, x k à la puissance 4, égale, 1 plus, 2 sur x k.
Alors, c'est nettement plus simple une fois que vous
allez mettre ceci dans l'expression du discriminant.
Donc nous écrirons ça,
c'est le produit sur k, de 5
moins 1, 4 plus, 10 sur x k.
On va vouloir factoriser par, moins 4 sur x k.
En faisant ça, moins 4 sur x k.
et le produit de ce qui reste, moins x k, moins 5 demi.
Alors ici, qu'est ce qui se passe?
Vous reconnaissez ceci, c'est exactement, P évalué en moins 5 demi.
Delta est alors égal à, moins 2 à la puissance 10, sur le produit
sur k des, x k, fois P à moins 5 demi.
Alors le produit des, x k, vous regardez, c'est, moins le
coefficient devant 1, de votre, le coefficient constant de votre polynôme P.
Donc le produit des, x k, vaut 2.
Et moins 2 puissance 9 P, moins 5 demi.
Reste à calculer la valeur de P en moins 5 demi.
Un petit calcul, mais ce n'est pas très difficile,
il n'y a plus qu'à faire du calcul mental, moins 5 demi à la puisance 5,
ensuite vous avez, plus 5 demi, mais vous voulez les réduire au même dénominateur,
je mets, 5 fois 2 puissance 4 sur, 2 puissance 5,
et moins 2, toujours en réduisant
au même dénominateur, vous avez ceci, alors,
5 à la puissance 5, c'est 3 125, 5 fois 16, c'est 80,
et puis ici 2 à la puissance 6, 64,
vous obtenez au final, moins 3 109, sur 32, et enfin,
delta voilà, 2 à la puissance 4 fois 3 109.
Vous observez, 3 109 est un nombre premier,
de ce fait delta n'est pas le carré d'un rationnel.
Le discriminant delta, que l'on vient de calculer, n'est pas un carré sur Q.
Cela veut dire que, le groupe de Galois du polynôme sur Q,
n'est pas un sous-groupe du groupe alterné, A5.
Aussi ce groupe de Galois va donc contenir une permutation,
donc dans, S5, qui est de signature, moins 1.
On va lister les différents cas possibles de permutations de signature, moins 1.
Ou bien on a une transposition, ou bien cette permutation a une décomposition
en cycles à supports disjoints qui contient un 3-cycle et une transposition,
ou bien on a un 4-cycle.
Voyons que dans le premier cas, c'est fini ; alors ça, c'est juste
le corollaire énoncé par Olivier, puisque le polynôme est irréductible, le groupe de
Galois contient une transposition, le groupe de Galois est, S5, tout entier.
Dans le second cas, ce n'est pas bien plus difficile.
En fait, on va éliminer la permutation qu'on a trouvée, au cube,
ça va supprimer le 3-cycle, ça nous garde la transposition, et encore une fois,
on utilise le corollaire énoncé par Olivier, et c'est gagné.
Ensuite, il nous reste le cas du 4-cycle, alors pour ça,
il va falloir l'examiner grâce aux outils de la semaine dix, et je vous invite donc,
à revenir d'ici deux semaines.
Pourquoi est-ce qu'on vous a présenté ces deux exemples de polynômes
de groupe de Galois, S5?
Alors c'est aussi une sorte de publicité pour la semaine prochaine,
puisque vous allez voir, avec Yves et Olivier,
que cela veut dire que les polynômes sont non résolubles par radicaux.
Merci pour votre attention, à bientôt.
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