Bonjour et bienvenue dans cette vidéo de supplément sur les anneaux quotients et les idéaux. Alors, il y a quelques semaines déjà , vous avez appris comment quotienter un groupe par un autre lorsque le sous-groupe du premier groupe était distingué dans celui-là . Là , on va faire ce même type d'opération, mais avec les structures d'anneaux, et on va pour cela définir la notion d'un idéal d'un anneau A. Donc on commence par prendre un anneau, A, qui va être commutatif unitaire ; on prend I, un sous-groupe du groupe additif sous-jacent à A. Dans ce cas là ce que l'on sait déjà c'est que donc le groupe additif sous-jacent à A est commutatif et donc I va être nécessairement distingué dans A muni de la loi additif et dans ce cas là on peut former A sur I en tant que groupe quotient par la lois additif. Alors maintenant qu'on a ce A sur I qui est formé en tant que groupe quotient on veut lui donner une structure d'anneau et aussi définir ainsi une projection canonique de A vers A sur I, un morphisme d'anneau de ce type là . Alors, bien sûr, vous avez défini le groupe quotient A sur I pour l'addition, donc l'addition est définie sur A sur I. Vous définissez juste, pardon, A+I + B+I comme A+B+I. Maintenant vous voulez définir une multiplication sur cet anneau quotient A sur I. Vous voulez que ce soit un anneau. Donc qu'est ce que vous voulez faire, vous voulez définir A + I facteur de B + I comme étant égal à AB + I. Mais lorsque vous développez vous avez quoi? Vous avez AB + AI + BI + II. Alors pour que les deux choses coïncident, vous avez besoin que, en fait, AI soit inclu dans I. Et ce pour tout élément A de A. Donc cela amène à la définition suivante : donc une partie I de A va être dite un idéal de A si d'une part I est un sous groupe pour A additivement, et si d'autre part pour tout A dans A et tout I, donc dans I le produit AI appartient encore à I. Vous notez notamment que cette partie I qui est un idéal et nécessairement non-vide contient 0, le neutre, pour l'addition. Maintenant que l'on a cette belle définition, regardons ce que cela donne sur quelques exemples. Par exemple prenons pour commencer l'anneau des entiers, Z. Vous pouvez prendre un élément, N, dans Z, et regarder l'idéal NZ, c'est à dire l'idéal formé des éléments qui sont multiples de N, des éléments qui s'écrivent NM avec M dans Z. Alors cela forme un idéal de Z et vous pouvez prouver que tous les idéaux de Z sont sous cette forme-là . Et cela vient du fait que dans Z il y a une division euclidienne. Maintenant un autre exemple tout à fait similaire : si vous avez K un corps vous savez que vous avez l'anneau K crochet X des polynômes à une indéterminée sur ce corps. Et si vous prenez P un polynôme, donc à crochet X, vous pouvez aussi regarder l'idéal engendré par P qui est constitué des éléments qui sont de la forme PQ avec Q dans K crochet X. Alors, là encore cela forme un idéal de K crochet X et tous les idéaux de K crochet X sont de cette forme-là , toujours parce que vous avez une division euclidienne. Si vous avez un anneau tout à fait général par contre grand A, vous pouvez aussi regarder l'idéal engendré par un élément petit A dans grand A. Alors, ce sont les AB avec B dans A. Par contre faites attention, en général cela ne décrit pas tous les idéaux de A. Et vous voulez pouvoir décrire un idéal engendré par plusieurs éléments donc A1 jusqu'à AR dans A donc un idéal engendré par les AI est constitué par les sommes des AI BI avec BI dans A. Alors le fait que c'est un idéal de A relève du fait général très simple que si vous avez I et J 2 idéaux de A, leur somme, c'est-à -dire qui est constituée des éléments qui sont les sommes de I + J avec petit I dans grand I et petit J dans grand J est encore un idéal de A. Voyons que les idéaux apparaissent naturellement lorsque vous avez à faire à des morphismes d'anneaux. Prenons F un morphisme d'anneaux de A vers B. Alors le noyau de F est naturellement un idéal de A. Attention, la même chose ne se passe pas pour l'image, l'image de F n'est pas nécessairement un idéal de B. Par exemple vous pouvez prendre l'endomorphisme de la k-algèbre K crochet X qui envoie X sur X2. Maintenant, prenons I un idéal de A. Alors, F se factorise par A sur I, c'est-à -dire que F est la composée de la projection canonique de A vers A sur I puis d'un morphisme induit F barre de A sur I vers B si et seulement si I est inclu dans le noyau de F. Enfin, troisième point, si F est surjectif alors le morphisme induit dans le deuxième point, lorsque vous prenez I = F le noyau de F est une déjection, c'est un isomorphisme d'anneau c'est-à -dire que l'isomorphisme, le morphisme induit F barre du quotient A sur ker(f) vers B est un isomorphisme. La preuve de ces points est en fait très facile, c'est formel, et elle sera laissée à vos soins. Maintenant, parmis les idéaux, il y en a certains qui sont plus intéressants que d'autres. Par exemple les idéaux maximaux. Alors les idéaux maximaux au sens de la définition suivante : Donc un idéal M de A est maximal si d'abord M est distinct de A et si tout idéal I contenant strictement M est égal à A. Alors, un anneau A possède toujours un idéal maximal. En général c'est une conséquence du lemme de Zorn. Dans ce cours, cependant, vous allez utiliser le cas où vous avez une k-algèbre et un idéal I qui est dans ce k-algèbre tel que le quotient A sur I est un k-espace vectoriel de dimension finie. Dans ce cas-là , vous allez voir qu'il existe un tel idéal maximal et c'est très facile. Une propriété intéressante réside d'abord dans la propriété suivante qui est presque une équivalence de définition. Donc un idéal M de A est maximal si et seulement si le quotient A sur M est un corps. Alors, c'est une équivalence, prouvons les 2 sens, alors le sens direct d'abord. Donc vous supposez que M est un idéal maximal de A. Alors vous voulez savoir que tout élément du quotient non nul est inversible. Qu'est ce que vous faites, vous relevez ce petit X de A sur M qui était non nul en un élément X tilde dans A, parce que M est maximal l'idéal X tilde A plus M est en fait A tout entier et de ce fait, il existe un Y dans A et il existe un petit M dans votre idéal M tel que X tilde Y + M = 1. Mais alors vous reprojetez cette relation dans le quotient A sur M et vous avez obtenu que Y barre, l'image de Y dans A sur M est un inverse de X. Qu'est ce que vous avez fait à tout élément non nul de A sur M? Vous avez trouvé un inverse à lui associer, c'est que A sur M est un corps. Réciproquement, supposons que le quotient A sur M est un corps. Prenez un idéal I de A qui contient strictement M et vous voulez prouver que I est A tout entier. Alors vous prenez un X qui est dans I mais pas dans M parce que I contient strictement M. Ensuite vous projetez cela dans A sur M et vous notez X barre son image. Son image est non nulle dans A sur M, elle est inversible. Donc vous prenez Y maintenant, un relèvement dans A de l'inverse de X barre dans A sur M. Qu'est-ce qui se passe? alors il existe un petit M dans votre idéal M tel que XY + M vaille 1. Et ce 1 est alors dans I, ce qui veut dire que I est l'anneau A tout entier. Cela prouve bien que M est maximal. Énonçons maintenant un corollaire de cette proposition. Prenons K un corps et considérons l'anneau K crochet X, l'anneau des polynômes à une indeterminée sur K. Prenez un polynôme P, donc un crochet X Alors, si P est irréductible, le quotient K crochet X sur l'idéal engendré par P est un corps. En vertu de la proposition précédente vous voulez montrer que l'idéal engendré par P est maximal. Prenons alors I un idéal qui contient l'idéal engendré par P comme tous les idéaux de K crochet X, I est engendré par un certain polynôme Q. Maintenant parce que I contient l'idéal engendré par P, Q divise P. Alors de deux choses l'une : ou bien Q est un inversible, c'est un élément de K étoile, ou bien Q est à constante près égal à P. Alors, dans le cas où Q est un élément de K étoile cela vous dit que votre idéal I est A tout entier. Et dans le second cas lorsque Q est égal à une unité fois P, votre idéal I est juste l'idéal engendré par P. Cela vous prouve bien la condition de maximalité sur l'idéal engendré par P et par la proposition précédente K crochet X sur P est un corps. Finissons la vidéo par une proposition qui va vous être utile au cours de la semaine suivante. Soit M un idéal maximal de A et soit φ un automorphisme d'anneau de A. Alors vous avez une partie qui est tirée en arrière de M par phi, phi -1 de M. C'est une partie de A qui se trouve être un idéal maximal de A. Alors pour la preuve il y a une partie de l'énoncé qui est facile, d'abord c'est de dire que phi -1 de M d'un idéal de A. C'est tout à fait formel et je vous laisse le vérifier par vous même. Maintenant, pourquoi est-ce que cet idéal est-il maximal, vous regardez dans un premier temps la composée donc de phi par la surjection canonique qui envoie A sur A sur M. Alors cette composée est encore surjective et son noyau est exactement phi -1 de M. Alors qu'est ce que ça vous dit? vous factorisez, cela vous dit que vous avez un isomorphisme d'anneau entre le quotient A sur phi -1 de M et A sur M. Alors par la proposition précédente, comme M est maximal, A sur M est un corps. Mais alors comme on a un isomorphisme d'anneau, le quotient A sur phi -1 de M est aussi un corps. Mais alors vous utilisez à nouveau la proposition précédente, mais dans l'autre sens, cela vous dit que l'idéal phi -1 de M est maximal. La proposition est prouvée. Vous avez maintenant le bagage de survie sur les anneaux quotients et les idéaux. Merci de votre attention et à bientôt.
