Bonjour, dans cette session nous allons démontrer que si une équation polynomiale est résoluble par radicaux alors son groupe de Galois est un groupe résoluble. La réciproque est vraie mais nous ne la démontrerons pas car en fait on ne s'en servira pas. Cela va fournir des critères concrets permettant de prouver que certaines équations explicites ne sont pas résolubles par radicaux. Comme on l'a déjà expliqué, une équation polynomiale P de X égal zéro, est résoluble par radicaux si on peut exprimer toutes ses racines par des formules n'utilisant que les quatre opérations de l'arithmétique et l'extraction de racine. Donc je vais donner une formalisation mathématique un peu plus précise pour cette notion et je commence par une définition, soit grand K sur petit k une extension de corps, on dit qu'elle est radicale s'il existe une suite de sous-extensions, K0 contenu dans K1, et cetera, jusqu'à Kn, où le plus petit corps K0 est égal au corps petit k et le plus grand Kn est égal à grand K, et telle que pour tout i, il existe xi dans Ki et un entier di strictement positif tel que, Ki soit engendré au dessus de Ki- 1 par xi et xi puissance di appartient à Ki- 1. Donc ça signifie en d'autres termes qu'on obtient Ki en adjoignant xi qui est une racine d-ième d'un élément de Ki- 1. Donc c'est bien la définition que l'on cherche, chaque élément de grand K peut s'exprimer à l'aide des éléments de petit k avec les quatre opérations et une succession d'extractions de racines d-ièmes. Une petite remarque évidente, c'est que si grand K sur petit k et grand K prime sur grand K sont des extensions radicales, alors K prime sur petit k l'est aussi puisqu'il suffit de concaténer les deux suites qui apparaissent dans la définition. Un autre exemple tout aussi évident, c'est qu'une extension cyclotomique est radicale puisque, elle est obtenue en ajoutant toutes les racines n-ièmes de l'unité pour un certain n. Donc j'en viens maintenant à la définition à laquelle on en avait au départ. Je dis qu'une équation polynomiale donc P de X égal zéro où P est un polynôme à coefficients dans k, est résoluble par radicaux s'il existe une extension radicale de petit k dans laquelle P est scindé. On demande ainsi dans cette définition que toutes les racines de grand P soit dans l'extension radicale c'est-à -dire expressible à partir des éléments de k par les quatre opérations et l'extraction de racine. Une autre façon de formuler la définition, c'est de dire que le corps des racines de grand P dans un corps algébriquement clos contenant petit k est contenu dans une extension radicale de petit k. Un petit quizz maintenant pour tester votre compréhension de cette nouvelle notion d'extension radicale. Prenons, maintenant un exemple tout simple, celui de l'équation x cube- 2 = 0. Elle est bien résoluble par radicaux sur grand K comme on peut s'y attendre. Plus formellement, pour tester la définition, on remarque que ce polynôme est scindé dans l'extension de Q obtenue en adjoignant la racine cubique réelle de 2 et une racine cubique de 1 e puissance (2i pi sur 3). cette extension peut s'obtenir comme concaténation de deux extensions, la première on ajoute à Q la racine cubique de deux, ça donne un corps K1 égal Q crochet de racine cubique de 2 puis on ajoute e puissance (2i pi sur 3) et on obtient l'extension K2 avec e puissance (2i pi sur 3) au cube égal 1 qui est bien dans K1. Donc c'est bien une extension radicale, elle contient toutes les racines de x cube- 2 et donc, cette équation est résoluble par radicaux. Alors une petite remarque sur la résolubilité des équations à coefficients disons rationnels, je prends P un polynôme à coefficients dans Q et je suppose que l'équation P de X égal zéro est résoluble par radicaux. Alors il se peut que toutes les racines de cette équation soient réelles mais que le corps des racines de P qui est alors un sous-corps de R puisqu'il est engendré par les racines ne soit contenu dans aucune extension radicale de Q contenue dans R. Alors en termes plus concrets, cela veut dire que l'écriture des racines de P qui est donc par définition possible à l'aide des quatre opérations et d'extraction de racine fait nécessairement intervenir des nombres complexes non réels, on doit nécessairement passer par une extension qui n'est pas contenue dans R, ce phénomène arrive dès le degré 3 lorsque le polynôme est irréductible, il est apparent sur les formules de Cardan qui donnent l'expression exacte des racines et on s'aperçoit que ces expressions nécessitent d'extraire des racines cubiques de nombres complexes non réels même si le résultat final est réel. Nous allons faire maintenant le lien entre ces définitions des extensions radicales et la théorie de Galois dont on va devoir se servir pour démontrer notre résultat. Alors une extension radicale n'a pas de raison en général d'être galoisienne mais on a le résultat suivant, proposition : toute extension radicale de corps de caractéristique nulle est contenue dans une extension radicale galoisienne. Donc c'est un résultat fondamental, il va nous permettre d'appliquer la théorie de Galois à cette situation. Pour démontrer ce résultat, on va procéder par récurrence sur l'entier n qui intervient dans la définition d'une extension radicale grand K sur k, c'est-à -dire le nombre de sous-extensions qu'on doit introduire entre petit k et grand K, chacune étant tenue à l'aide de la précédente par une extension de racine. Alors si n = 0 il y a rien à faire puisque grand K égal petit k. On suppose donc n strictement positif, la situation est donc résumée dans le diagramme qui apparait sur l'écran, donc la première ligne du diagramme c'est simplement la suite d'extensions dont j'ai parlée, chacune obtenue à l'aide de la précédente par une extraction de racine. On applique l'hypothèse de récurrence à l'extension radicale Kn- 1 de K0 et donc l'hypothèse de récurrence nous dit que Kn- 1 est contenu dans une extension galoisienne radicale que j'appelle K prime n- 1. Alors la première remarque est la suivante : vu la caractérisation des extensions galoisiennes, il existe un polynôme à coefficients dans petit k dont K prime n- 1 est le corps des racines dans l'extension grand oméga algébriquement close. Soit maintenant, Q le polynôme minimal de xn sur k, nous allons maintenant construire un corps K prime n qui contient à la fois K prime n- 1 et grand K et qui soit une extension galoisienne de petit k alors on procède de la façon suivante. Tout d'abord vu la caractérisation des extensions galoisiennes, il existe un polynôme grand P à coefficients dans petit k dont K prime n- 1 est le corps des racines. D'autre part, si grand Q est le polynôme minimal de xn sur petit k, le corps des racines K prime n de P Q sur k, est une extension galoisienne de petit k qui contient grand K. En effet, c'est l'extension de K prime n- 1 qui est engendrée par les racines de Q, c'est-à -dire les conjugués de xn sur k. D'après le lemme de calcul des conjugués dans les extensions galoisiennes, ceux-ci sont les g de xn pour g décrivant le groupe de Galois de K prime n sur k. Or, il existe un entier dn strictement positif tel que xn puissance dn soit dans K prime n- 1, c'est la définition de l'extension radicale. Pour tout élément petit g du groupe de Galois de K prime n sur k, on a alors g de xn puissance dn appartient à g de K prime n- 1. Mais comme l'extension K prime n- 1 de k est galoisienne, g de K prime n- 1 est égal à K prime n- 1 et on a donc g de xn puissance dn appartient à K prime n- 1. Donc en résumé l'extension K prime n de K prime n- 1 est engendrée par tous les g de xn pour g décrivant le groupes de Galois et les puissances d n-ièmes de ces éléments sont dans K prime n- 1. On ajoute un certain nombre de racines d n-ièmes et donc on a bien une extension radicale de K prime n- 1 et donc l'extension K prime n de petit k est bien radicale est galoisienne bien sûr par construction puisque K prime n est un corps de racines. Voilà donc la fin de la démonstration de la proposition. Je vais terminer cette séquence par une petite remarque sur notre définition de la résolubilité d'une équation polynomiale par radicaux. Donc je rappelle que si on a une telle équation, P de x égal zéro, on a demandé que toutes les racines de l'équation soient dans une extension radicale. Alors on peut se poser la question de savoir s'il suffit que, une seule racine soit dans une extension radicale pour que toutes aient la même propriété. Alors posée dans cette généralité, la question a une réponse négative, il suffit de prendre une équation du type x fois P de x égal zéro. Alors évidemment, il y aune racine évidente qui est x = 0 qui est donc dans une extension radicale mais il y a aucune raison que les autres racines, c'est-à -dire les racines de P aient cette propriété, en revanche, si on fait l'hypothèse supplémentaire que le polynôme P est irréductible dans K de x, alors la réponse est oui, il suffit qu'une racine soit dans une extension radicale pour qu'elles y soient toutes. En effet, si x est donc une racine contenue dans une extension radicale, on peut quite à agrandir cette extension la supposer en outre galoisienne, ça ça provient de la proposition qu'on vient de démontrer. Et alors les autres racines sont les conjugués de x puisque le polynôme P est irréductible et sont donc aussi dans l'extension radicale car elle est galoisienne. Donc si on ne considère que des polynômes irréductibles, avoir une ou toutes les racines dans une extension radicale, c'est la même chose, ce qui est plutôt rassurant. Je vous remercie de votre attention et à bientôt.
