[MUSIQUE] Bonjour, dans les deux vidéos de cette semaine, on va s'intéresser à des équations très simples, visiblement résolubles par radicaux, qui sont, d'abord, les équations, X n, égale 1. Alors évidemment, X n égale 1, c'est résoluble par radicaux, puisque les solutions sont les racines nièmes de l'unité, racines nièmes donc c'est résoluble par radicaux. C'est ce qu'on appelle les équations cyclotomiques, qui ont donné lieu aux extensions cyclotomiques, qu'on va étudier maintenant. La semaine prochaine, on va, un petit peu, compliquer le jeu, et on va regarder les équations, X n égale a, où a est un élément du corps de base. Donc commençons par fixer quelques notations. Alors d'abord n désigne un entier strictement positif ; k sera notre corps de base, de caractéristique nulle, on verra comment généraliser au cours de la vidéo ; et on désigne par oméga un corps algébriquement clos qui le contient. Et je définis, mu n, comme étant l'ensemble des racines nièmes de l'unité dans oméga. Alors, mu n, est, visiblement, un sous-groupe multiplicatif de oméga étoile ; oméga étoile, l'ensemble des éléments non nuls, de notre corps, oméga ; mu n, est donc ce qu'on appelle le groupe des racines n-ièmes de l'unité. Alors regardons, rapidement, dans le cas complexe, à quoi ressemble ce groupe, mu n. Eh bien, évidemment, les racines nièmes de l'unité sont les puissances de l'exponentielle de, 2 i Pi sur n. Autrement dit, l'application de, Z sur, n Z, dans, mu n, qui à une classe, modulo n, associe, l'exponentielle de, 2 i Pi, l, sur n, est un isomorphisme de groupe ; mu n, est un groupe cyclique de cardinal n. Alors, une fois qu'on a ça, on a la notion de racine primitive ; une racine de l'unité, primitive, est par définition une exponentielle de, 2 i Pi, l, sur n, où, l et n, sont premiers entre eux. C'est une définition possible, qui est la définition terre à terre. Et on vérifie que une racine est primitive, si et seulement si, elle est d'ordre n, le cardinal du groupe. Alors, regardons ce qui se passe dans le cas général. Premièrement, calculons le cardinal de, mu n. Alors, comme n est différent de zéro, dans le corps de base, la seule racine du polynôme dérivé de, X n moins 1, c'est zéro. En tout cas, si n est strictement supérieur à 1, sinon il n'a pas de racine du tout. Et zéro n'est pas racine de, Xn moins 1. Autrement dit, X n moins 1, est à racines simples dans oméga, il a exactement, n racines. De sorte que le cardinal de, mu n, comme dans le cas complexe, est égal à n. Maintenant, nous savons que, mu n, est un sous-groupe fini du groupe multiplicatif, oméga étoile ; et Olivier vous a expliqué que ça implique que ce groupe est cyclique, qu'il peut être engendré par un unique élément, qu'il existe des éléments d'ordre n. Ainsi, mu n, est isomorphe à , Z sur, n Z. Comme dans le cas complexe, on définit alors la notion de racine primitive de l'unité. Une racine de l'unité, un élément de, mu n, donc, est dite primitive, si et seulement si, elle est d'ordre, exactement n, le cardinal de, mu n. Donc une définition complètement analogue ; et le résultat précédent vous montre qu'il existe des racines primitives dans, mu n. Ce qui n'était pas tout à fait évident au départ. Bien, maintenant je suis en mesure de définir la notion d'extension cyclotomique, avec les notations de tout à l'heure. Je note, K indice n, le corps des racines, dans oméga, du polynôme, Xn moins 1. On appelle, K n sur K, l'extension cyclotomique, d'ordre n, de petit k. Alors, comme c'est un corps des racines, K n sur K, est une extension galoisienne ; et vous avez des éléments primitifs à votre disposition, ce sont les racines primitives nièmes de l'unité, qui sont visiblement des éléments primitifs de cette extension. On va maintenant s'intéresser au calcul du groupe de Galois de cette extension. Il va faire intervenir un groupe, qui est relié à , Z sur, n Z, qu'on va définir maintenant. Alors, Z sur, n Z, a une structure plus riche que celle de groupe additif, qui est induite par la multiplication des entiers. Z sur, n Z, est un anneau. La multiplication des entiers vous permet de définir une multiplication sur, Z sur, n Z, qui en fait un anneau. Alors, une fois qu'on sait qu'on a un anneau, on peut s'intéresser au groupe multiplicatif de cet anneau, (Z/nZ*) qui est l'ensemble des éléments qui sont inversibles dans, Z/nZ, pour la multiplication. Alors attention, (Z/nZ*) n'est pas l'ensemble des éléments non nuls, en général, dans Z sur, n Z. Prenez l'exemple, n égale 4, prenez la classe de 2, 2 fois 2, ça vaut 4 ; la classe de 4 c'est zéro ; donc 2 fois 2, vaut zéro dans Z sur, 4Z. Ce qui empêche 2 d'être inversible. Donc 2 est bien un élément qui est non nul, mais ce n'est pas un élément inversible ; donc, (Z/nZ*), c'est quelque chose d'un petit peu subtil. Alors, pour avoir une bonne idée de ce qu'est, (Z/nZ*), je vous propose de faire l'exercice suivant. Bon, alors, premier point, caractérisons les éléments de, (Z/nZ*) J'affirme tout simplement que, (Z/nZ*) c'est l'ensemble des classes des éléments qui sont premiers avec n. En particulier, le cardinal de (Z/nZ*) est l'indicateur d'Euler, phi de n, où, par définition, phi de n, c'est le nombre d'entiers compris entre zéro et, n moins 1, qui sont premiers avec n. Deuxième point. Partons d'une racine primitive zêta, de mu n. On sait que ça existe. Alors j'affirme que, l'ensemble des racines primitives nièmes de l'unité, c'est l'ensemble des puissances, zêta d, où d est un élément de Z sur nZ, étoile. Troisième point. Montrez sur des exemples que, (Z/nZ*) peut ne pas être un groupe cyclique. Alors, la proposition principale de cette semaine est la suivante. Premier point. J'affirme qu'il existe un unique morphisme de groupe, khi indice n, qui va du groupe de Galois de l'extension cyclotomique, dans le groupe, (Z/nZ*). qui est caractérisé par la propriété suivante. Étant donné n'importe quel élément g de Galois, n'importe quelle racine de l'unité zêta, g de zêta, est égal à , zêta à la puissance, khi n de g. Cette application, khi n, qui va de Galois dans, (Z/nZ*) ainsi définie, s'appelle le caractère cyclotomique. Deuxième point. J'affirme que le morphisme, khi n, est injectif, et qu'en particulier, comme le groupe (Z/nZ*) le groupe de Galois de l'extension cyclotomique est un groupe commutatif. Troisième point ; khi n, est bijectif, si et seulement si, le degré de l'extension cyclotomique est égal à phi de n, ou phi est l'indicateur d'Euler, qui a été précédemment défini. Alors voyons comment prouver ça. Alors commençons par choisir une racine primitive de l'unité, on sait que ça existe, et je la note, disons, zêta n. Alors, la clef de cette histoire est l'observation suivante. Partons de g dans Galois, arbitraire, et regardons l'action de g, sur, mu n. Alors, si vous avez zêta appartenant à , mu n, c'est-à -dire que, zêta puissance n, est égal à 1, puisque g est un morphisme, g de zêta, à la puissance n, est égal à 1. Donc, g de zêta appartient encore à , mu n. Ainsi, g induit une application de, mu n, dans, mu n, qui est visiblement un morphisme ; g moins 1, fait la même chose, induit un morphisme de, mu n, dans, mu n ; de sorte que votre g, induit de mu n, dans mu n, est un isomorphisme du groupe, mu n. En particulier, ce morphisme envoie élément d'ordre n, sur élément d'ordre n, il conserve l'ordre des éléments, et donc il envoie racine primitive sur, racine primitive. Ainsi, g de zêta n, est une racine primitive de l'unité. D'après l'exercice précédent, il existe un élément d, de (Z/nZ*), tel que, g de zêta n, égale, zêta n, à la puissance d. Évidemment, ce d, est bien défini, par la donnée de g, et on notera, d, égale, khi n de g, c'est la définition du caractère cyclotomique. Donc, g de zêta n, est égal à , zêta n, à la puissance, khi n de g. Alors, si vous élevez maintenant cette identité à n'importe quelle puissance, en utilisant le fait que les puissances de, zêta n, arbitraires, décrivent le groupe, mu n, vous obtenez que, quelque soit zêta appartient à mu n, g de zêta est égal à zêta à la puissance khi n de g. Alors, c'est un simple calcul que de vérifier que l'application ainsi définie, qui à g associe khi n de g, est un morphisme de groupe, je vous laisse faire ce calcul. Vous calculez le noyau, vous vérifiez que ce noyau est trivial, et vous avez obtenu que khi n est un morphisme injectif. Alors, pour terminer la preuve de l'énoncé précédent, je m'intéresse à la condition de bijectivité de khi n. À quelle condition? Khi n est bijectif. Puisque khi n est déjà injectif, la question est de savoir à quelle condition khi n est surjectif. Aussi je m'intéresse au cardinal de l'image de khi n. Alors, puisque khi n est injectif, le cardinal de l'image de khi n c'est le cardinal de l'espace de départ, donc le cardinal de cette image, c'est le cardinal de Galois. Le cardinal de Galois c'est le degré de l'extension cyclotomique. Ainsi le cardinal de l'image de khi n c'est le degré de l'extension cyclotomique. Ce cardinal de l'image est donc égal au cardinal de l'espace d'arrivée si et seulement si on a phi de n, cardinal de (Z/nZ*), égal le degré de l'extension cyclotomique. Et donc, phi n est, khi n, pardon, est surjectif si et seulement si phi de n est égal au degré de l'extension cyclotomique, c'est le point 3 de la proposition précédente. Alors cette preuve a été faite dans un cadre de caractéristique nulle, elle se généralise sans aucune difficulté à un cadre un petit peu plus général, qui est celui des corps finis. Précisément, si vous avez un corps fini de caractéristique p un nombre premier, et n un entier qu'on va supposer premier à la caractéristique petit p, tous les résultats précédents se généralisent à cette situation. Le cardinal de mu n est encore égal à n, c'est ici que sert l'hypothèse que n est premier avec p, c'est le fait que n est non nul dans le corps petit k qu'on a utilisé tout à l'heure, et l'énoncé sur les groupes de Galois est exactement le même, je vous laisse vérifier ce point-là qui n'a aucune difficulté, mais qui sera utile à la toute fin de ce cours. Alors, pour terminer, je vais reformuler le point 3, de la proposition précédente, en terme de polynôme cyclotomique. Alors, qu'est-ce que c'est qu'un polynôme cyclotomique? Par définition, on appelle polynôme cyclotomique disons, d'ordre n, le polynôme phi indice n et de k si on veut, de x, défini par le produit des X- zêta où zêta décrit l'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité dans mu n, d'après ce qui précède, c'est aussi le produit sur d appartient à (Z/nZ*) des X- zêta n à la puissance d. Alors, visiblement, c'est un polynôme qui a pour degré phi de n ou phi et l'indicateur d'Euler que nous avons défini précédemment. Alors, d'abord, une petite observation. Le groupe de Galois, disons de l'extension cyclotomique, agit sur le polynôme cyclotomique. Maintenant on a vu que le groupe de Galois permutait les racines primitives de l'unité. De sorte que le polynôme cyclotomique est invariant par Galois. On en déduit, comme d'habitude, que le polynôme cyclotomique est à coefficients dans petit k. Ce qui est important pour nous. On montrera sans difficulté dans l'exercice qui vous sera proposé que ce polynôme cyclotomique est en fait à coefficients dans Z. Mais c'est pas utile pour nous ici. Alors, qu'est-ce qu'on va déduire de tout ça? Premier point : avec une notation précédente, zêta n, une racine primitive de l'unité choisie au hasard, zêta n est un élément primitif de l'extension Kn/k. Ainsi, le degré de son polynôme minimal est le degré de l'extension cyclotomique Kn/k. Maintenant, le polynôme minimal de zêta n divise le polynôme cyclotomique puisque par définition, zêta n est une racine du polynôme cyclotomique qui est à coefficients dans petit k. C'est le polynôme qui est à coefficients dans petit k, pas la racine. Alors on déduit de ça, la version en terme de polynôme cyclotomique du point 3 précédent, qui est la suivante : le caractère cyclotomique khi indice n est un isomorphisme, ou de façon équivalente, comme on l'a vu, le degré de l'extension Kn/k Kn/k est égal à phi de n, phi indicateur d'Euler, si et seulement si polynôme cyclotomique phi n est irréductible sur le corps de base petit k. Alors, pourquoi c'est vrai, ça? Il y a deux sens, regardons le sens direct. Supposons donc que le degré de l'extension cyclotomique est égal à phi de n. Alors, on sait que le minimal de zêta n divise phi n de k. Or, le degré du minimal c'est le degré de l'extension, le degré de phi n de k, c'est phi de n, indicateur d'Euler, et on a égalité. C'est donc que le minimal est égal au polynôme cyclotomique, pour des raisons de degré, puisque l'un divise l'autre. Mais on sait que le minimal est un polynôme irréductible, et ainsi phi n de k est irréductible sur K. On a démontré le sens direct. Alors regardons dans l'autre sens. Donc, supposons que phi n de k est irréductible sur K. Le polynôme minimal divisant phi n de k, par irréductibilité, on déduit que phi n de k est égal au polynôme minimal de zêta n. Ce polynôme minimal de zêta n a donc pour degré le degré de phi n de k, qui est phi de n, mais on a vu que de toute façon son degré, c'est le degré de l'extension, on en déduit que, le degré de l'extension cyclotomique est égal à phi de n. Alors, dans ce qui précédait, parfois j'ai parlé de phi n indice k, parfois j'ai parlé de phi de n, et on verra même en exercice que phi n ne dépend pas vraiment du corps de base, c'est un polynôme à coefficients entiers qui est toujours le même. La raison pour laquelle je l'ai appelé phi n indice k, c'est que ses propriétés dépendent fortement dépendent fortement du corps de base petit k. Voyons un quizz qui illustre ce phénomène. Alors dans le quizz nous avons vu que, par exemple, sur C, le polynôme cyclotomique n'est pas du tout irréductible, à l'inverse, nous démontrerons dans les dernières vidéos un résultat, en fait assez difficile qui est dû à Gauss, un très grand mathématicien du XIXe siècle, qui est que le polynôme cyclotomique d'ordre n est toujours irréductible sur Q, qui est un résultat très important. Je vous remercie d'avoir suivi ce cours, la prochaine fois nous aborderons le cas des extensions de Kummer, qui est le deuxième point important de cette semaine, et je vous dis à bientôt. Au revoir!
