Bonjour, nous allons maintenant démontrer le résultat principal de cette session qui fait le lien entre la résolution par radicaux des équations polynomiales, telle qu'on l'a définie précédemment, et la notion de résolubilité dans le monde des groupes. Donc le théorème s'énonce très simplement, c'est le suivant : le groupe de Galois d'une extension radicale galoisienne de corps de caractéristique nulle est un groupe résoluble. La réciproque de ce résultat est vraie, si le groupe de Galois est résoluble, l'équation l'est aussi mais c'est uniquement du sens qui est énoncé ici dont nous nous servirons afin de montrer que certaines équations ne sont pas résolubles par radicaux. Alors, la preuve du théorème est un petit peu compliqué, on va y aller lentement. Le but est d'appliquer les théories à la fois de Galois et de Kummer de façon judicieuse. Donc je pars de l'extension de départ, grand K sur petit k dont on suppose qu'elle est galoisienne et radicale, je peux donc la décomposer en une suite d'extensions comme d'habitude que j'appelle Ki, chaque Ki est obtenu à partir de Ki- 1 en ajoutant une racine d-ième d'un élément de Ki- 1. D'autre part on sait que la grande extension, grand K sur petit k est galoisienne de groupe G. La théorie de Galois permet donc d'associer à cette suite d'extensions une suite de sous-groupes de G que j'ai notée Gn, triviale, contenue dans Gi Gi- 1. Je rappelle que la correspondance de Galois inverse le sens des inclusions et dans cette suite, Gi c'est le groupe de Galois de l'extension galoisienne K sur Ki. Alors on aimerait appliquer la théorie de Kummer pour dire que Ki qui est obtenu à partir de Ki- 1 par adjonction d'une racine d-ième en est une extension galoisienne de groupe de Galois commutatif. Simplement pour appliquer cette théorie il faut que les racines d-ièmes de l'unité soient dans Ki- 1 ce qui est, a priori, pas le cas. Pour se mettre dans une situation où on va pouvoir appliquer cette théorie de Kummer, je vais introduire pour chaque i l'extension K prime i de Ki obtenu en lui adjoignant toutes les racines d-ièmes de l'unité où d est le produit de tous les dj. Comme ça K prime i - 1 contient toutes les racines d-ièmes et en particulier les racines d-ièmes de l'unité. On obtient ainsi le diagramme d'extension suivant, alors il a l'air un petit peu compliqué, simplement sur la première ligne, y a la suite d'extensions qu'on a déjà considérée qui provient du fait que grand K est une extension radicale, sur la deuxième ligne, y a la suite d'extensions k prime i que je viens de définir, et on a une suite d'extensions verticale, chaque k prime i est une extension de ki. Alors dans ce diagramme, y a plusieurs propriétés qui ressortent. des extensions verticales qui sont obtenues par adjonctions des racines d-ièmes de l'unité sont des extensions cyclotomiques donc comme on l'a vu dans les sessions précédentes, radicales et galoisiennes de groupe de Galois commutatif. La grande extension grand K prime de petit k est radicale. Donc ça c'est simple, c'est simplement que l'extension grand K de k est radicale est l'extension k prime de k l'est aussi comme on vient de le mentionner. Et l'extension k prime de k est aussi galoisienne alors pourquoi, c'est un raisonnement qu'on a déjà utilisé. Grand K est le corps des racines d'un polynôme P à coefficients dans petit k, puisque c'est une extension galoisienne de petit k et k prime est le corps des racines sur grand K du polynôme Xd- 1 c'est-à -dire le corps des racines sur petit k du polynôme P de X fois X puissance d- 1, il est engendré par les racines de ce polynôme. Enfin, les extensions k prime i de k prime i- 1 sont maintenant par la théorie de Kummer galoisiennes de groupe de Galois cyclique. Alors revenons maintenant à la théorie de Galois qu'on va appliquer à la deuxième ligne du diagramme d'extension, elle fournit de nouveau une suite de sous-groupes emboîtés, numérotés en partant de G prime n qui est trivial contenu dans G prime n- 1 et caetera, on arrive à G prime 0 et lui même contenu dans G prime qui est le groupe de Galois de K prime sur k où G prime i est le groupe de Galois de K prime sur K prime i. Donc je traduis la théorie de Galois dans ce cadre. Elle nous dit les choses suivantes : d'une part, pour tout i d'extension K prime i, de K prime i- 1 et galoisienne de groupe de Galois cyclique, donc G prime i est distingué dans G prime- 1 et le groupe quotient est cyclique en particulier commutatif. L'extension k prime 0 de k est galoisienne de groupe de Galois commutatif, G prime 0 est distingué dans G prime et le groupe quotient est commutatif. Tout cela mis ensemble nous dit que le groupe G prime est donc résoluble. Donc le groupe G prime c'est pas celui auquel on en a, c'est le groupe de Galois de K prime sur k mais on applique une dernière fois la théorie de Galois à la suite d'extensions galoisiennes, petit k dans grand K, grand K dans grand K prime, toutes les extensions qui apparaissent sont galoisiennes par construction, ou par hypothèse, la théorie de Galois entraîne que grand G, le groupe de Galois de grand K sur petit K est un quotient de G prime donc c'est aussi un groupe résoluble comme on l'a vu dans un exercice. On en vient maintenant à un corollaire, qui est le résultat vraiment qu'on va utiliser dans la pratique. Le corollaire est le suivant : en caractéristique nulle, le groupe de Galois d'un polynôme résoluble par radicaux est un groupe résoluble. La preuve donc je prends, petit k un corps de caractéristique nulle, P un polynôme à coefficients dans k et grand K le corps des racines de P sur petit k dans une extension algébriquement close. Il existe par hypothèse puisque le polynôme est résoluble par radicaux, une extension grand L de petit k, radical contenant grand K et qu'on peut par la proposition qu'on a démontré la dernière fois supposée galoisienne. Par le théorème le groupe de Galois de l'extension galoisienne grand L de petit k est résoluble. La théorie de Galois appliquée à la suite d'extensions galoisiennes petit k dans grand K, grand K dans grand L entraîne que le groupe de Galois du polynôme qui est par définition le groupe de l'extension grand K de petit k est un quotient du groupe de Galois de L sur k donc est aussi résoluble. Ce qui montre le corollaire. Voilà , alors on a vraiment démontré le résultat qui va nous permettre de travailler ce qu'on fera dans la session suivante et en attendant, je vous remercie de votre attention et à bientôt.
