[MUSIQUE] Bonjour, dans cette session, nous allons parler de conjugué d'un nombre algébrique, et de prolongement d'extension de corps. Alors de quoi s'agit-il? Tout d'abord, je rappelle qu'on a admis le théorème de Steinitz, qui dit que, pour tout corps k il existe un corps algébriquement clos, grand oméga, contenant k. Lorsque k égale Q, on peut prendre par exemple, oméga égale C, le corps des complexes. Fixons donc un tel corps, grand oméga, et prenons un élément, petit x, de oméga, algébrique sur k. Le polynôme minimal de x sur k, est alors scindé dans oméga, puisque oméga est algébriquement clos, c'est-à -dire qu'il est produit de facteurs du premier degré. On appelle, conjugué de x dans oméga, les racines du polynôme minimal de x dans oméga. Ces conjugués engendrent ce qu'on doit appeler le corps des racines du polynôme minimal. Donc, comme le nombre des racines d'un polynôme est, au plus, égal à son degré, on a, au plus, degré de, P min, conjugués. En caractéristique zéro, de plus, le polynôme irréductible, P min, est à racines simples dans oméga, donc il y a exactement, degré de P min, conjugués. Je rappelle que le degré de P min est ce qu'on a appelé le degré de x sur k. Donc reprenons les exemples qu'on a présentés dans la session précédente. Lorsque k égale R, et oméga égale C, l'ensemble des conjugués d'un nombre complexe z est l'ensemble, z, z barre. Lorsque k égale Q, les conjugués de, racine de 2, sont, racine de 2 et moins racine de 2 ; puisque ce sont les racines du polynôme minimal, x 2, moins 2. Le corps des racines est le corps Q, de racine de 2. Lorsque k égale Q, toujours, les conjugués de, racine cubique de 2, sont les racines du polynôme minimal, x 3 moins deux. Toutes les racines complexes, c'est-à -dire, racine cubique de 2 ; e puissance, 2 i pi sur 3, racine cubique de 2 ; et e, puissance 4 i pi sur 3, racine cubique de 2. Le corps des racines est le corps engendré sur Q par racine cubique de 2, et, e puissance, 2 i pi sur 3. Toujours k égale Q, les conjugués de, racine de 2 plus racine de 3, sont racine de 2 plus racine de 3, racine de 2 moins racine de 3, moins racine de 2 plus racine de 3, et moins racine de 2 moins racine de 3. Ce sont les racines du polynôme minimal qu'on avait données dans la session précédente. Le corps des racines est donc le corps, engendré sur Q par racine de 2 et racine de 3. Toujours k égale Q, les conjugués de n'importe quelle racine complexe de, X 5 moins x moins 2 sont les cinq racines complexes de ce polynôme. Vous pouvez maintenant tester votre compréhension de ces nouveaux concepts dans le quizz qui suit. Avant de parler de prolongement d'extension de corps, je vais expliquer ce qu'est un morphisme de corps. Donc un tel morphisme, entre des corps petit k et grand K, est une application, petit u, de k dans grand K, qui envoie l'élément neutre pour la multiplication, 1 indice petit k, sur l'élément neutre pour la multiplication, 1 indice grand K. Et, de plus, il doit respecter l'addition et la multiplication, c'est-à -dire qu'on a, pour tout, x y, dans petit k, u de, x plus y, égale u de x, plus, u de y, et, u de, x y, égale u de x, fois, u de y. Une telle application est nécessairement injective, en effet, si x dans k est non nul, on peut regarder le produit, u de, 1 sur x, fois u de x ; comme u respecte la multiplication, c'est égal à , u de, 1 sur x fois x, c'est-à -dire, u de 1, qui est, par définition, égal à 1, qui est, aussi par définition, différent de zéro. Donc cela entraîne que, u de x, est non nul. Cette remarque montre que le noyau du morphisme de groupe abélien u, est juste l'élément neutre pour l'addition, zéro. Donc u est injectif. Alors, u n'est pas, à strictement parler, une inclusion ; mais on considèrera souvent, dans cette situation, d'un morphisme de corps entre un corps, petit k, et un corps grand K, que grand K est une extension du corps petit k. Donc j'en viens maintenant au théorème principal de cette session, qui est le prolongement des extensions. Alors, de quoi s'agit-il? Je pars d'une extension finie de corps, grand K sur petit k, et d'un corps algébriquement clos, oméga, contenant petit k. La conclusion du théorème, est que, il existe un morphisme de corps, grand K dans oméga, dont la restriction à k est l'extension donnée, k inclus dans oméga. On dit ainsi qu'on a prolongé l'extension oméga de k, à grand K. Passons maintenant à la preuve du théorème. Comme grand K est un, K espace vectoriel, de dimension finie, on peut l'écrire, petit k, crochets, x1, x n, avec x1, x n, dans grand K. Et nous allons procéder par récurrence sur l'entier n, le cas, n égale zéro, c'est-à -dire grand K égale petit k, étant vide. Supposons donc, K égale, petit k, x1, x n, avec n supérieur ou égal à 1. Et notons, k prime, le sous-corps engendré par x1, x n moins 1, c'est un sous-corps de grand K. Par hypothèse de récurrence, on peut prolonger l'extension grand Oméga de petit k, à k prime, puisqu'on n'a que n moins 1 générateurs. Il faut donc maintenant prolonger l'extension oméga de k prime, en un morphisme de corps de grand K dans oméga, sachant que grand K est maintenant égal à k prime, crochets, x n. Posons pour simplifier, x égale, x n. Donc, par définition de, k prime, crochets, x, tous les éléments de grand K s'écrivent, P de x avec P appartenant à k prime, crochets, grand X. De plus, on a P de x, égale, Q de x, en tant que éléments de grand K, si et seulement si, P moins Q est divisible par le polynôme minimal de x sur k prime. Cela résulte d'une proposition qu'on a démontrée dans la session précédente. On choisit alors une racine, petit a, du polynôme minimal de x sur k prime, dans oméga, ce qui est possible puisque oméga est algébriquement clos, et on définit un morphisme de corps, de k prime, crochets x, dans oméga, en envoyant un élément de k prime, crochets x, qu'on écrit, P de x, sur, P de a. Alors il faut vérifier que ce morphisme est bien défini, puisque l'écriture, P de x, n'est pas unique. Mais, si P de x, égale, Q de x, alors, comme je l'ai remarqué tout à l'heure, le polynôme P moins Q est divisible par le polynôme minimal, donc, on a, P de a égale, Q de a, dans oméga ; puisque P min de a, égale zéro. Donc ce morphisme est une application bien définie, je vous laisse vérifier que c'est bien un morphisme de corps, c'est facile. Et, sur le sous-corps k prime de k prime, crochets, x, c'est bien l'extension donnée, k prime, dans oméga. Donc, sur petit k, c'est l'extension petit k dans oméga, de départ. Ce morphisme satisfait donc aux propriétés demandées, et ceci termine la démonstration du théorème. Alors pour finir, j'aimerais remarquer que ce prolongement n'est en général pas unique. On a vu que la démonstration faisait intervenir le choix d'une racine, quelque part. C'est aussi facile de le voir sur un exemple. Si on considère l'extension, C, du corps Q, et qu'on veut la prolonger à , Q de racine de 2, il y a deux façons de le faire. On peut envoyer, racine de 2, soit sur racine de 2, mais aussi sur, moins racine de 2. On a plus généralement l'énoncé suivant. Donc, proposition. Soit grand K sur petit k, une extension finie de corps, oméga, un corps algébriquement clos, contenant grand K, et petit x, un élément de grand K. Alors, l'ensemble des, u de x, pour tous les prolongements, u à grand K de l'extension, petit k dans oméga, est exactement l'ensemble des conjugués de x dans oméga. Alors démontrons cette proposition. La première remarque c'est que, si on a un prolongement, u, à grand K, de l'extension, petit k dans oméga, comme dans l'énoncé de la proposition, alors, u de x, est nécessairement une racine du polynôme minimal de x, sur petit k. En effet, on a, P min de, u de x, égale, u de, P min de x, égale, u de zéro, égale zéro. Ceci parce que P min est à coefficients dans petit k. Inversement, il faut montrer maintenant que, on peut atteindre ainsi toutes les racines du polynôme minimal, c'est-à -dire tous les conjugués de x dans oméga. Revenons à la preuve du théorème précédent. Celle-ci montre qu'on peut prolonger l'extension, petit k dans oméga, au corps, k, crochets, petit x ; en envoyant, petit x, sur n'importe quelle racine de son polynôme minimal. C'est-à -dire n'importe quel conjugué de x. Il suffit alors d'appliquer le théorème pour prolonger de nouveau chacune de ces extensions, de, K petit x, à grand K. Ainsi, on a bien montré la proposition. En caractéristique zéro, le théorème de l'élément primitif nous dit qu'il existe petit x dans grand K, tel que grand K égale, k, crochets, petit x. C'est-à -dire qu'il suffit d'un seul générateur. La proposition dit alors que le nombre de prolongements possibles est le nombre de conjugués de x dans oméga, c'est-à -dire, toujours parce qu'on est en caractéristique zéro, exactement le degré du polynôme minimal, qui est aussi le degré de l'extension, grand K sur petit k. Ces résultats sur le prolongement des extensions de corps seront de grande utilité pour la théorie de Galois. En attendant je vous remercie de votre attention, et au revoir, et à bientôt.
