Le cours expose la théorie de Galois, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier. Le thème général de cette théorie est l'étude des racines d'un polynôme et concerne en particulier la possibilité de les exprimer à partir des coefficients de ce polynôme. Evariste Galois considère les symétries de ces racines et associe ainsi à ce polynôme un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il dégage à cette occasion pour la première fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omniprésente en mathématiques. Son étude lui permet d'expliquer pourquoi les racines d'une équation prise au hasard ne s'expriment en général pas par des formules algébriques faisant intervenir ses coefficients à partir du degré 5, un résultat démontré auparavant par Abel. Plus généralement, l'étude du groupe de Galois du polynôme permet de dire exactement quand une telle formule existe. C'est ce que l'on appelle la correspondance de Galois : elle relie d'une part la théorie des corps, d'autre part la théorie des groupes.Ce cours expliquera cette théorie en n'utilisant que des résultats de base d'algèbre linéaire. Nous étudierons d'un côté la théorie des corps, c'est-à-dire la façon dont les corps s'emboîtent les uns dans les autres, en introduisant la notion de nombre algébrique (essentiellement les racines de polynômes). D'un autre côté, nous introduirons les éléments nécessaires à l'étude des groupes de permutations. Cela nous permettra d'expliquer la théorie de Galois, non seulement dans son cadre d'origine, c'est-à-dire quand les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, mais aussi dans un cadre plus général, par exemple lorsqu'on réduit ces coefficients modulo un nombre premier p. Le cours culminera avec une comparaison des groupes de Galois dans ces deux situations (« entière » et après réduction modulo p), fournissant ainsi un outil de calcul puissant de ces groupes. Ce cours est l'occasion d'aborder des notions d'algèbre variées, essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques, de manière très simple pour très rapidement aboutir à des résultats tout à fait remarquables. Nous n'avons pas cherché la généralité maximale mais au contraire à aller rapidement à l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur intéressé sera alors armé pour aller plus loin, notamment grâce à la bibliographie ou à des cours plus avancés.
Vidéo 2 : extensions galoisiennes
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Introduction à la théorie de Galois
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Correspondance de Galois
lemme d'Artin, groupes de Galois, correspondance de Galois
Meet the Instructors
Olivier DebarreProfesseur
Département de mathématiques
Yves LaszloProfesseur
Directeur adjoint Sciences
Bonjour.
Donc aujourd'hui je vais vous parler d'extensions galoisiennes puisque c'est un
élément clé dans la notion de correspondance de Galois que nous verrons
dans la prochaine vidéo.
Alors fixons d'abord quelques notations.
Alors je vais prendre k un corps de caractéristique nulle, et je vais
fixer une fois pour toutes un corps algébriquement clos oméga qu'il contient.
L'exemple typique c'est k égal le corps des rationnels, oméga le corps des nombres
complexes, et on a vu que c'est une situation absolument générale.
Ce que Olivier vous a expliqué, c'est que toutes les extensions finies de petit k
peuvent être supposées contenues dans oméga.
Donc pour nous, c'est pas une restriction de supposer que tous les corps qui vont
intervenir, pour autant que ça soit des extensions finies de petit k,
sont contenus dans oméga.
Donc, essentiellement implicitement, on fera cette hypothèse.
Alors la dernière fois nous avons parlé du lemme d'Artin.
On avait un corps grand K de caractéristique nulle,
G un sous-groupe du groupe des automorphismes, sous-groupe fini.
On a donc une extension grand K sur petit k égal K exposant G,
le corps des invariants, et cette extension a une propriété absolument
remarquable comme on le verra, elle est galoisienne.
D'une certaine manière, je pourrais presque prendre ça comme une définition,
mais je vais vous en donner une seconde qui est plus opératoire pour nous.
Donc on dira qu'une extension finie grand K sur petit k,
de corps de caractéristique nulle pour nous, est galoisienne si les conjugués,
dans oméga disons, de tout élément de grand K, restent dans grand K.
On a vu beaucoup d'exemples où les conjugués d'un élément dans grand
K ne restent pas forcément dans grand K.
Toute extension galoisienne est très certainement le corps des racines
d'un polynôme P à coefficients dans petit k.
Pourquoi? Ben parce que une extension galoisienne
a un élément primitif, on est en caractéristique nulle donc il
y a un élément primitif, donc si je regarde le polynôme minimal,
les racines du polynôme pi minimal sont exactement les conjuguées de cet élément
primitif, et les conjugués de l'élément primitif restent dans grand K.
On déduit que cette extension galoisienne est exactement le corps des
racines de ce polynôme minimal d'un élément primitif choisi au hasard.
Eh bien on a une réciproque.
Les extensions galoisiennes de petit k sont exactement
les corps des racines de polynômes P dans k de x.
Alors pourquoi c'est vrai ça?
J'ai juste la réciproque à prouver, c'est-à-dire, je pars de grand K égal
k de x 1 x n, le corps des racines d'un polynôme qui est, disons, produit
des x moins x i où les x i sont les racines dans oméga de notre polynôme P.
Donc j'affirme que c'est une extension galoisienne donc
je dois considérer un élément y appartenant à grand K
et prouver que tous ces conjugués restent dans grand K.
Mais Olivier vous a expliqué que les conjugués d'un élément petit y s'écrivent
sigma de y où sigma est un plongement petit k linéaire de grand K dans oméga.
Donc sigma de y il appartient à sigma de k de x 1 x n, mais sigma laisse fixe petit
k, donc ce n'est rien d'autre que k de sigma de x 1, sigma de x 2, sigma de x n.
Maintenant notre polynôme P c'est un polynôme à coefficients dans petit k
donc il est invariant sous l'action de sigma.
Ça veut dire que nos sigma de x i sont des racines du polynôme sigma de P,
donc sont les racines du polynôme P, c'est-à-dire sont une permutation des x i.
Donc en tout cas, k de sigma de x 1 x n,
ce n'est rien d'autre que k de x 1 x n, c'est grand K.
Ainsi, sigma de y appartient à grand K, ça c'est vrai pour tout sigma,
ça veut dire que tous les conjugués de y restent dans grand K.
On a bien montré que n'importe quel corps des racines d'un polynôme à coefficients
dans petit k est une extension galoisienne du corps petit k.
Alors faisons un petit quizz.
Donc maintenant qu'on a défini la notion d'extension galoisienne,
on peut définir la notion de groupe de Galois d'une extension galoisienne.
Donc donnons nous grand K sur petit k, une extension finie
galoisienne, et P un polynôme à coefficients dans le corps petit k.
Alors je définis le groupe de Galois de l'extension galoisienne grand K sur petit
k comme le groupe des automorphismes petit k linéaires du corps grand K.
De même, je définis le groupe de Galois d'un polynôme P
comme le groupe de Galois du corps des racines de P.
Alors tout ça, c'est sous-entendu sur le corps petit k, ça dépend du corps petit k.
Alors sujet de discussion intéressant pour vous ou entre vous dans le forum, c'est
expliquer pourquoi toutes ces notions ne dépendent pas, ou très peu, dans un sens
que je vous laisse préciser, du gros corps oméga qu'on a choisi au départ.
Et puis je peux vous donner également un autre exercice qui sera très utile,
qui est le suivant : supposez que vous ayez une extension galoisienne grand K sur
petit k, eh bien j'affirme que tout endormophisme k linéaire de K,
c'est-à-dire toute application k linéaire de grand K qui respecte le produit,
est un automorphisme, et automatiquement bijective.
Donc finalement la notion d'endomorphisme k linéaire de corps,
c'est la même chose d'automorphisme ou d'isomorphisme k linéaire de corps.
Alors avec les notations du lemme d'Artin,
on a déjà un calcul très important de groupe de Galois.
En effet, notations du lemme d'Artin grand K, grand G, un sous-groupe du groupe de
tous les automorphismes de grand K, on a calculé que le groupe des automorphismes
de grand K sur le corps des invariants, c'est précisément grand G.
En d'autres termes, le groupe de Galois de grand K sur K G,
c'est le groupe G lui-même.
Donc dans le cas de la situation du lemme d'Artin,
on sait calculer le groupe de Galois.
Alors dans ce cas-là, ça entraîne une assez jolie formule parce que, bien
entendu, on a la formule grand K exposant G égal petit k, c'était la définition.
Petit k c'est précisément le corps des invariants.
Mais comme grand G c'est le groupe de Galois de grand K sur petit k, on a cette
jolie formule que les invariants de grand K sous Galois c'est le corps petit k.
Alors ce qui est assez remarquable,
c'est que cette formule est toujours vraie et ça va être la seconde clé de la
correspondance de Galois comme on le verra bientôt.
Donc la première clé, le lemme d'Artin, la seconde clé,
ça va faire cette formule générale dans le contexte galoisien,
et pas seulement dans le contexte du lemme d'Artin.
Alors commençons par prouver un lemme important.
Quel est ce lemme?
C'est la question suivante.
Comment faire dans une extension galoisienne
pour calculer les conjugués d'un élément donné.
Précisément, donnons nous une extension galoisienne,
contenue dans un certain oméga, eh bien je dis que
l'ensemble des endomorphismes k linéaires de grand K dans oméga, autrement dit des
plongements k linéaires de grand K dans oméga, coïncide avec le groupe de Galois.
En particulier, les conjugués de tout élément x dans grand K
sont de la forme g de x où g décrit le groupe de Galois.
Donc dans une extension galoisienne, pour calculer les conjugués de n'importe quel
élément, eh bien il suffit de calculer l'ensemble des g de x où g décrit Galois.
Alors pourquoi c'est vrai?
Alors par définition,
le groupe de Galois c'est le groupe des automorphismes petit k linéaires du corps
grand K qui est donc un sous-ensemble des plongements de grand K dans oméga.
En effet, les automorphismes petit k linéaires de grand K,
c'est un cas particulier d'application de grand K dans grand K, mais comme grand K
est inclus dans oméga, c'est bien un endomorphisme de grand K dans oméga.
Inversement, partons d'un plongement sigma,
et regardons l'image de grand K par sigma.
Alors sigma de K, quand sigma décrit tous les plongements,
c'est l'ensemble des conjugués de x et puisque
l'extension est galoisienne, l'ensemble de tous ces éléments c'est juste grand K.
Donc ce qu'on voit c'est que sigma de K c'est
inclus dans des conjugués d'éléments de grand K,
mais comme l'extension est galoisienne, c'est des éléments de grand K.
Autrement dit, l'image de sigma est incluse dans grand K.
Ca veut dire que sigma c'est non seulement un endomorphisme de k dans oméga
mais c'est en fait un endomorphisme de k dans grand K
puisque son image est contenue dans grand K.
Maintenant d'après l'exercice que je vous ai proposé, un endomorphisme de k dans
grand K c'est la même chose qu'un automorphisme de grand K dans lui-même.
Donc sigma, c'est un élément du groupe des automorphismes
petit k linéaires de grand K, c'est-à-dire un élément de Galois.
Et le lemme est prouvé.
Continuons dans notre analyse, et calculons ce que j'ai
annoncé tout à l'heure, ce qui nous permettra de montrer la deuxième partie de
la correspondance de Galois, la proposition de calcul des invariants.
Donc je pars d'une extension galoisienne grand K sur k,
j'affirme deux choses : premièrement, les invariants
de grand K sous Galois c'est le corps de base petit k, et deuxièmement,
le degré de l'extension c'est précisément le cardinal du groupe de Galois.
Alors comment on fait pour prouver ça?
Alors ben je vais prendre un élément petit x de grand K,
qui est invariant sous Galois, ben comme ses
conjugués sont les images de x sous Galois
et que x est fixe sous Galois, on voit que tous ses conjugués sont égaux à x.
Mais comme les racines du polynôme minimal sont les conjugués,
qu'il y a un seul conjugué,
c'est petit x, c'est que le polynôme minimal a une seule racine petit x.
Maintenant, comme on est en caractéristique nulle,
on sait que le polynôme minimal est à racine simple.
Donc ce polynôme minimal s'écrit grand X moins petit x.
Un polynôme qui a une seule racine petit x et qui est a racine simple c'est grand
X moins petit x.
Maintenant par définition,
le polynôme minimal il appartient à k de X, c'est donc que son terme constant
ou son opposé si vous préférez petit x appartient à petit k.
L'inclusion de l'autre côté est absolument évidente.
On a montré le premier point.
Une fois que vous savez ça, vous appliquez le lemme d'Artin à grand K
et à grand G égal Galois et vous trouvez le second point.
Pour terminer, je vous propose un exercice qu'il est bon que vous fassiez vous-même,
mais dont les résultats sont très importants et qu'on utilisera souvent.
Alors quel est cet exercice?
Eh bien partez d'une extension galoisienne grand K sur petit k,
et considérez une extension intermédiaire grand L sur k,
c'est-à-dire vous prenez un sous-corps grand L de grand K.
Donc vous avez trois extensions : grand K sur petit k, en haut,
grand K sur grand L, et en bas, grand L sur petit k.
Alors j'affirme deux choses.
La première, c'est que l'extension en haut, grand K sur grand L, est
toujours galoisienne si vous aviez supposé que grand K sur petit k est galoisienne.
Et j'affirme que on peut trouver des exemples où
l'extension en bas, grand L sur petit k, n'est pas galoisienne.
Bien, je vous remercie d'avoir suivi cette vidéo et vous donne rendez-vous pour,
maintenant, la preuve de la correspondance de Galois.
Merci.
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