Bonjour. Dans la vidéo précédente, nous avons étudié les extensions cyclotomiques et leurs groupes de Galois. Aujourd'hui, on va passer à la théorie de Kummer, c'est-à -dire que l'on va passer de l'étude de l'équation X^n = 1 à l'étude de l'équation X^n = a qu'on peut supposer non nulle puisque étudier l'équation X^n = 0 est quelque chose de pas très difficile que je vous laisse faire. Alors, ces 2 équations n'ont pas l'air très différentes mais d'un point de vue galoisien, elles sont très différentes. Regardons un exemple que nous avons déjà étudié, on sait que le groupe de Galois sur Q de (X^3- 2), c'est-à -dire a = 2, n = 3, corps de base égal Q, est le groupe symétrique S3, groupe à 6 éléments qui est un groupe non commutatif. La semaine dernière, nous avons que le groupe de Galois des extensions cyclotomiques était un sous-groupe de (Z/nZ)*, le groupe des éléments inversibles de Z/nZ, et donc, était un groupe commutatif. Donc, on voit bien que du point de vue galoisien, la théorie de Kummer donne lieu à des groupes qui sont, en fait, plus compliqués d'un certain point de vue que les groupes de Galois qu'on obtient dans la théorie cyclotomique. Bon, comme d'habitude, on va commencer par fixer quelques notations, n désigne un entier strictement positif, k un corps de base, disons, de caractéristique nulle, oméga un corps algébriquement clos qui contient petit k. Puis, notations spécifiques au contexte auquel on s'intéresse, a un élément non nul du corps de base petit k et je désigne par alpha une racine n-ième, arbitrairement choisie dans oméga de petit a. Et puis, je choisis également zêta, une racine primitive n-ième de l'unité, on sait d'après, ce que je vous ai expliqué dans la vidéo précédente, qu'il existe des racines primitives n-ième de l'unité, là , oméga (Ω). On s'intéresse donc à l'équation de type Kummer, c'est-à -dire l'équation X^n = 1, de sorte que on s'intéresse au corps des racines de grand K, disons, de X^n- 1. Alors, à quoi ressemble ce corps de racines, bah, c'est pas très compliqué. Le corps des racines, c'est le corps engendré sur petit k par toutes les racines n-ième de petit a. Les racines n-ième de petit a ne sont pas difficiles à calculer, elles s'écrivent : une racine de l'unité arbitraire fois alpha, notre racine n-ième de petit a que l'on a choisi une fois pour toute. Les racines de l'unité, c'est les puissances de zêta. Ainsi le corps des racines du polynôme X^n- 1, c'est le corps engendré par zêta et alpha. Premier point, il contient visiblement k de zéta, le corps cyclotomique K indice n, avec les notations de la vidéo précédente. Ainsi, on a, à notre disposition, trois extensions galoisiennes. Vous avez l'extension dite de Kummer (K/k), vous avez l'extension cyclotomique, Kn sur petit k et puis vous avez l'extension en haut, grand K sur grand Kn qui est engendrée par alpha. Alors, toutes les 3 sont des extensions galoisiennes, grand K sur petit k, c'est le corps des racines de X^n- 1, de toute façon, l'extension en haut est automatiquement galoisienne, grand K sur Kn est toujours galoisienne dans ce genre de situation comme on l'a déjà remarqué et il se trouve que d'après la vidéo précédente, on a déjà observé que grand Kn sur petit k, l'extension cyclotomique, est galoisienne en tant que corps des racines du polynôme X^n- 1. Alors, d'après l'étude de la correspondance de Galois et donc l'étude des extensions cyclotomiques de la vidéo précédente, on a plusieurs points. Premier point, du fait que l'extension en bas, l'extension cyclotomique Kn sur k, est galoisienne, le groupe de Galois grand K sur Kn est distingué dans le gros groupe de Galois de l'extension de Kummer, Gal de grand K sur petit k. De plus, on sait calculer le quotient, le quotient des groupes de Galois, c'est simplement le groupe de Galois de l'extension en bas (Kn/k), le groupe Galois de l'extension cyclotomique, donc le quotien, c'est un groupe commutatif qui est contenu dans (Z/nZ)*. Alors, du coup pour comprendre le groupe de Galois, il nous reste en fait, à comprendre le groupe de Galois intermédiaire, le groupe de Galois de l'extension en haut (K/Kn). C'est à ça que l'on va s'attaquer maintenant. Donc la description du groupe de Galois de (K/Kn), de grand K sur le corps cyclotomique est contenue dans la proposition suivante, à laquelle je ferai référence à la théorie de Kummer, ce n'est qu'un morceau de la théorie de Kummer, mais c'est le morceau qui va nous intéresser par la suite. Alors quel est ce résultat? Alors, j'affirme tout simplement que l'application qui à g, un élément de Galois, associe le quotient (g(α) / α), je vous rappelle que α, c'est une racine n-ième de petit a qui a été choisie une fois pour toute, définit un morphisme de groupe de Galois de (K/Kn) dans dans le groupe des racines de l'unité et que ce morphisme de groupe est injectif. En particulier, le groupe de Galois de (K/Kn) est un groupe commutatif comme le groupe mu n. Le second point, c'est que le groupe de Galois de (K/k), de la grande extension de Kummer, est un groupe qui est résoluble. Donc, on généralise, dans cette proposition, la propriété du groupe de Galois sur Q de X^3- 2 qu'on a rappelé au début, à savoir la résolubilité des groupes de Galois des extensions de type Kummer. Donc, la situation est résumée dans le dessin suivant. Alors on a toujours nos 3 extensions, vous avez la grande extension de Kummer, vous avez l'extension en bas, qui est l'extension cyclotomique et vous avez l'extension intermédiaire (K/Kn), extension de Kummer sur extension cyclotomique. Alors, l'extension en bas, l'extension cyclotomique, a un groupe de Galois commutatif comme on a vu dans la dernière vidéo. L'énoncé du théorème, c'est que l'extension intermédiaire grand K sur l'extension cyclotomique Kummer sur cyclotomique est à groupe de Galois commutatif, et on en déduit que l'extension totale, Kummer sur le corps de base a un groupe de Galois qui est résoluble. Alors, comment on peut prouver ça. Alors, je pars d'un élément arbitraire du groupe de Galois et je calcule g(α)^n, alors comme c'est un morphisme, ça vaut g(α^n), c'est-à -dire g(a), mais a est un élément du corps de base donc il est laissé fixe, autrement dit g(α)^n, c'est égal à α^n. Du coup, le quotient g(α)/α est une racine n-ième de l'unité. Je vous rappelle que j'ai supposé que a est non nul, α est non nul donc j'ai le droit de diviser par α. Autrement dit ce que l'on a appelé kappa (κ) de g est une racine de l'unité puisque finalement c'est le premier point dans la proposition que l'on cherche à démontrer. Alors le deuxième point, c'est que j'affirme dans ce théorème, cette proposition, que kappa (κ) est un morphisme de groupe, donc je dois calculer κ(gh). Alors, qu'est-ce que ça vaut κ(gh), ça vaut g(h(α)) / α, que j'écris comme g appliqué à h de α divisé par α. Alors, comme g est un morphisme, ça vaut g(α) g(h(α)/α) / α. Qu'est-ce que j'ai fait dans cette affaire-là , j'ai écris simplement h(α) égal h(α) sur α fois α, et j'ai appliqué α, g plutôt, et on trouve cette formule, simplement en utilisant que g est un morphisme. Donc, on reconnaît g(α) / α, c'est-à -dire κ(g) fois g appliqué à κ(h), κ(h) h(α)/α. Et c'est là où finalement les hypothèses sont très très importantes, c'est-à -dire que Le fait que l'on s'intéresse au groupe de Galois, de grand K, sur, K n, rentre en jeu. Kappa de h, c'est une racine de l'unité ; ça appartient à , mu n. Mais, mu n, c'est inclus dans le corps cyclotomique, K n. Donc, kappa de h, est un élément du corps cyclotomique, K n. Par définition, le groupe de Galois, Gal de K sur, K n, que j'ai appelé g, ici, fixe les éléments de, K n. Ainsi, g de, kappa de h, est égal à , kappa de h ; kappa de h, est fixé par g. De sorte que l'expression précédente n'est rien d'autre que, kappa de g, fois, kappa de h. Ainsi, j'ai bien montré que, kappa de g h, c'est, kappa de g, kappa de h ; kappa est bien un morphisme de groupe. Alors pour l'injectivité, on calcule le noyau. Supposons que, kappa de g, c'est-à -dire g de alfa, sur alfa, est égal à 1 ; 1, le neutre de, mu n ; ça veut donc dire que, g de alfa, est égal à alfa ; donc que, g et l'identité coïncident sur alfa, qui est un élément primitif de l'extension, K sur, K n ; puisque l'extension, K sur, K n, c'est rien d'autre que, K n de alfa sur, K n, à cause de la description explicite du corps, grand K. Donc g et l'identité sont égaux sur un élément primitif, c'est donc qu'ils sont égaux ; g égale l'identité, et kappa est injective. Donc, on a montré le premier point du théorème, à savoir que, le groupe de Galois de l'extension K sur, K n, est un groupe qui se plonge, grâce à kappa, dans le groupe, mu n, donc est commutatif. Bon, il me reste à démontrer le dernier point, c'est-à -dire la résolubilité du groupe de Galois de la grande extension de type Kummer. Alors, on a le dessin de tout à l'heure, extension de Kummer, extension cyclotomique, extension intermédiaire, dont on vient de démontrer que le groupe de Galois est commutatif. Pour démontrer que le grand groupe de Galois de l'extension de Kummer, est résoluble, je vais simplement construire une suite de composition au sens de la résolubilité des groupes. Alors, regardons la suite de ce groupe. Groupe trivial, disons, inclus dans le groupe de Galois de l'extension intermédiaire de K sur, K n, inclus dans le groupe de Galois de grand K sur petit K. On a déjà observé que chaque groupe était distingué dans le suivant, et il me reste à vérifier que les quotients successifs sont commutatifs. Alors, il y a juste deux quotients qui interviennent ici, alors groupe de Galois de K sur, K n, sur 1, eh bien c'est groupe de Galois de K sur, K n, on vient dé démontrer que c'est un sous-groupe de, mu n, donc c'est un groupe commutatif. Et puis ensuite, je dois étudier le second quotient, Galois de grand K sur petit k, sur le groupe de Galois de l'extension intermédiaire, Galois de K sur, K n ; et ça on a déjà observé que c'était le groupe de Galois de l'extension cyclotomique, K n, sur K. Or ce groupe de Galois c'est un sous-groupe de Z sur, N Z, étoile ; il est commutatif. Donc, cette suite de trois sous-groupes est bien une suite de composition, chacun est distingué dans le suivant, et les quotients correspondant sont commutatifs. On a donc bien démontré que le groupe de Galois de l'extension de Kummer, grand K sur petit k, est résoluble. Pour terminer cette vidéo, je vais donner un résultat qui aurait eu sa place dans les vidéos de la semaine dernière, et que j'avais oublié de démontrer, que je vais démontrer maintenant. Alors la proposition est très simple à énoncer, et comme vous le verrez, en fait, très simple à démontrer. C'est que tout quotient, disons H, d'un groupe résoluble G, est résoluble. Alors, on a démontré que tout sous-groupe d'un groupe résoluble est résoluble ; eh bien là , je vais démontrer que tout quotient d'un groupe résoluble est résoluble. Alors, faisons la preuve de ce résultat. Donc on introduit d'abord l'application quotient, donc un morphisme, surjectif par définition, de G dans H, que j'appelle petit f, disons ; et puis, G étant résoluble, il a une suite de composition que je choisis, G i, disons. Ce qui signifie deux choses ; premièrement que, vous avez une suite décroissante, donc G i plus 1 est un sous-groupe de, G i, c'est un sous-groupe qui est distingué, d'une part ; et d'autre par chaque quotient, G i sur, G i plus 1, est un groupe commutatif, c'est la définition d'un groupe résoluble. Et je vais fabriquer, à partir de cette suite de composition, G i, pour G, une suite de composition, H i, pour H. Alors je n'ai pas énormément de choix pour construire les sous-groupes, donc je définis, H i, comme étant l'image de G i, par f. Hi égal, f de, G i. Bon alors, vérifions le premier point, c'est-à -dire que, pour tout i, H i plus 1, est distingué dans H i. Qu'est-ce que je dois montrer? Je dois démontrer que, le conjugué de, H i plus 1, par n'importe quel élément de H i, reste dans, H i plus 1. Un élément typique de H i, s'écrit f de, G i, où G i c'est un certain élément, du groupe grand G, i. Donc je calcule, f de, Gi, H i plus 1, f de, G i moins 1. Par définition, comme f est un morphisme de groupe, c'est, f de petit g, i, le groupe G indice, i plus 1, g i moins 1. Mais comme, G i plus 1 est distingué dans, G i, f de ce groupe, conjugué, si j'ose dire, est inclus dans, f de, G i plus 1, g i, grand G i plus 1, g i moins 1, est inclus dans grand G i plus 1, donc f de ce groupe est inclus dans f de, Gi plus 1 ; c'est exactement dire que, H i plus 1 est distingué dans H i. Bon, pour terminer je dois simplement vérifier que le quotient, H i sur, H i plus 1, est commutatif. Pour ça j'observe que l'application f, qui va, disons, de G i dans H i, induit un morphisme de G i sur, G i plus 1, dans f de G i sur, f de, G i plus 1. C'est-à -dire un morphisme de Gi sur, G i plus 1, dans H i sur, H i plus 1. Et ce morphisme est clairement surjectif. De même que le morphisme f était surjectif, on trouve ici un morphisme surjectif. Ainsi, les groupes H i sur, H i plus 1, sont des quotients du groupe G i sur, G i plus 1. Gi sur G i plus 1 est supposé commutatif, de sorte que H i sur, H i plus 1, est commutatif. On a bien montré que la suite H i est une suite de composition du groupe H, avec des quotients successifs commutatifs, c'est bien que le groupe H est un groupe résoluble. Voilà , eh bien la semaine prochaine Olivier vous expliquera comment on utilise ces résultats, pour démontrer le théorème de non résolubilité des équations, disons générales, de Galois. Je vous remercie d'avoir suivi cette vidéo, et à bientôt.
