Le cours expose la théorie de Galois, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier. Le thème général de cette théorie est l'étude des racines d'un polynôme et concerne en particulier la possibilité de les exprimer à partir des coefficients de ce polynôme. Evariste Galois considère les symétries de ces racines et associe ainsi à ce polynôme un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il dégage à cette occasion pour la première fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omniprésente en mathématiques. Son étude lui permet d'expliquer pourquoi les racines d'une équation prise au hasard ne s'expriment en général pas par des formules algébriques faisant intervenir ses coefficients à partir du degré 5, un résultat démontré auparavant par Abel. Plus généralement, l'étude du groupe de Galois du polynôme permet de dire exactement quand une telle formule existe. C'est ce que l'on appelle la correspondance de Galois : elle relie d'une part la théorie des corps, d'autre part la théorie des groupes.Ce cours expliquera cette théorie en n'utilisant que des résultats de base d'algèbre linéaire. Nous étudierons d'un côté la théorie des corps, c'est-à-dire la façon dont les corps s'emboîtent les uns dans les autres, en introduisant la notion de nombre algébrique (essentiellement les racines de polynômes). D'un autre côté, nous introduirons les éléments nécessaires à l'étude des groupes de permutations. Cela nous permettra d'expliquer la théorie de Galois, non seulement dans son cadre d'origine, c'est-à-dire quand les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, mais aussi dans un cadre plus général, par exemple lorsqu'on réduit ces coefficients modulo un nombre premier p. Le cours culminera avec une comparaison des groupes de Galois dans ces deux situations (« entière » et après réduction modulo p), fournissant ainsi un outil de calcul puissant de ces groupes. Ce cours est l'occasion d'aborder des notions d'algèbre variées, essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques, de manière très simple pour très rapidement aboutir à des résultats tout à fait remarquables. Nous n'avons pas cherché la généralité maximale mais au contraire à aller rapidement à l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur intéressé sera alors armé pour aller plus loin, notamment grâce à la bibliographie ou à des cours plus avancés.
Vidéo 3 : correspondance de Galois, suite
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Introduction à la théorie de Galois
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Correspondance de Galois
lemme d'Artin, groupes de Galois, correspondance de Galois
Meet the Instructors
Olivier DebarreProfesseur
Département de mathématiques
Yves LaszloProfesseur
Directeur adjoint Sciences
Bonjour. Eh bien je suis très heureux de vous
accueillir aujourd'hui pour voir avec vous comment énoncer d'abord,
puis prouver le premier vraiment grand résultat de ce cours,
donc, je parle ici de la correspondance de Galois.
Alors quelles sont les notations pour cette vidéo, eh bien comme d'habitude,
je fixe une fois pour tout grand K sur petit k une extension galoisienne,
donc nous dans notre contexte en caractéristique nulle,
et je note grand G son groupe de Galois.
Alors de quoi parle la correspondance de Galois?
Alors je vais définir d'abord une application, disons gamma a,
de l'ensemble des sous-groupes de grand G, le groupe de Galois,
dans l'ensemble des sous-extensions de grand K sur petit k,
c'est-à-dire des sous-corps de grand K qui contiennent le corps de base petit k.
Quelle est cette application?
Cette application associe à tout sous-groupe grand H du groupe de Galois
le sous-corps des invariants de grand K sous H, ce qu'on a noté K exposant H.
Je vais considérer maintenant une deuxième application qui va dans l'autre sens.
Donc j'appelle cette application phi.
Elle va donc de l'ensemble des sous-extensions de grand K sur k,
dans l'ensemble des sous-groupes de grand G.
Donc je pars de grand L, inclus dans grand K, qui contient le corps de base,
et je dois lui associer un sous-groupe de grand G.
Eh bien je vais lui associer le groupe de Galois de grand K sur L.
Nous savons que si grand K sur petit k est galoisienne,
l'extension grand K sur grand L est elle aussi galoisienne.
D'autre part,
c'est visiblement un sous-groupe du groupe de Galois parce que le groupe
de Galois grand G c'est l'ensemble des automorphismes petit k linéaire de grand
K, l'ensemble des automorphismes de grand K qui laissent le corps petit k invariant.
Maintenant les éléments du groupe de Galois grand K sur grand L,
sont juste les automorphismes de grand K qui laissent le corps grand L invariant.
Et si vous laissez grand L invariant,
vous laissez a fortiori le corps petit k invariant qui est plus petit.
Donc je suis en mesure maintenant de vous énoncer la correspondance de Galois
et de la prouver.
Donc elle consiste en trois points.
Alors je garde les notations précédentes.
J'affirme que nos applications gamma et phi sont des
bijections strictement décroissantes qui sont inverses l'une de l'autre.
On a donc identifié, grâce à gamma et phi, le monde des sous-groupes
du groupe de Galois et le monde du, des sous-extensions de grand K sur petit k.
Deuxième point qui précise la nature de ces applications,
je me donne petit g un élément de grand G, et une sous-extension grand L de grand K.
Eh bien j'affirme qu'on a des identités de ce groupe de Galois phi de g de L,
qui par définition est le groupe de Galois de grand K sur g de L, et bien je dis que
phi de g de L, c'est le conjugué de phi de L par g, c'est g phi de L g moins 1.
Troisième point, on sait que l'extension grand K sur L est galoisienne mais
on sait aussi qu'il arrive que l'extension grand L sur petit k ne le soit pas.
Et bien la correspondance de Galois vous dit exactement quand c'est le cas.
J'affirme que l'extension grand L sur petit k est galoisienne si et seulement si
le groupe de Galois de grand K sur L
est distingué dans le groupe de Galois grand K sur petit k.
Dans ce cas, on a un morphisme naturel simplement de restriction de groupe
de Galois de grand K sur petit k dans le groupe de Galois de grand L sur petit k
et il s'identifie dans un sens à préciser, à la projection canonique,
surjection canonique, du groupe de Galois de grand K sur petit k, dans le quotient
de ce groupe de Galois par le groupe de Galois de l'extension grand K sur grand L.
Alors voyons comment on prouve ça, ce qui,
grâce à tout le travail qu'on a fait, n'est pas très compliqué, bizarrement.
Alors regardons le premier point.
Alors les décroissances, au moins au sens large, au sens de l'inclusion,
nous ferons l'essai en exercice,
j'ai vérifié simplement que gamma et phi sont inverses l'une de l'autre,
ça donnera la stricte décroissance et ça donnera le premier point.
Ben pour ça,
je vais calculer gamma rond phi et phi rond gamma et voir ce que ça donne.
Alors gamma de phi de L, ben phi de L c'est le groupe de Galois de K sur L,
c'est donc gamma de Gal de K sur L, et par définition, c'est les invariants
de K sous le groupe de Galois K sur L.
Et ça, on sait calculer les invariants sous Galois d'une extension galoisienne,
on sait que c'est grand L.
Donc on obtient gamma rond phi de L égal L, c'est-à-dire que gamma rond phi,
c'est l'identité, l'identité de l'ensemble des sous-extensions.
Alors regardons dans l'autre sens.
Phi rond gamma de H par définition c'est phi du corps des invariants K exposant H,
toujours par définition c'est le groupe de Galois de K sur
le corps des invariants K exposant H et là, on applique le lemme d'Artin, c'est H.
On en déduit phi rond gamma de H égal H pour tout H.
C'est donc bien que phi rond gamma, c'est l'identité, l'identité de quoi?
De l'ensemble de tous les sous-groupes du groupe de Galois.
Ca nous donne le point un, et c'est bien ce que j'avais annoncé,
le lemme d'Artin nous donne la moitié de la correspondance de Galois
puisqu'elle nous donne phi rond gamma égal l'identité, alors que le calcul des
invariants nous donne l'autre moitié, gamma rond phi égal l'identité.
Donc là encore, pour prouver le second point, en fait, il suffit de calculer.
Je prends un élément petit h du groupe de Galois considéré,
K sur g de L, eh bien qu'est-ce que ça veut dire?
C'est que c'est un élément du groupe de Galois de grand K sur petit k qui laissent
g de L invariant, c'est-à-dire que quelque soit lambda appartient à L,
h de g de lambda égal g de lambda.
Ca veut donc dire que, quelque soit lambda appartenant à L, le conjugué g moins
1 rond h rond g de lambda égal lambda, composé à gauche par g moins 1.
Qu'est-ce que ça veut dire?
Ca veut dire que g moins 1 rond h rond g fixe tous les éléments de L.
Autrement dit, ça veut dire que g moins 1 rond h rond g
appartient au groupe de Galois de grand K sur L.
Ca prouve le point deux.
Alors pour le point trois, c'est pas très compliqué non plus.
Les conjuguées de lambda appartenant à L, on sait, on a vu, que c'est l'ensemble
des g de lambda pour g décrivant le groupe de Galois de grand K sur petit k.
C'est le calcul des conjuguées dans une extension galoisienne.
Donc, qu'est-ce que ça signifie?
Ca veut dire que L sur k est galoisienne si et seulement si l'ensemble de tous ses
conjugués, c'est grand L, c'est-à-dire si et seulement si g de L égal L pour tout g,
ou encore, grâce à la bijectivité de phi, si g de phi
de L g moins 1 égal phi de g de L, et ça c'est égal à phi de L.
Et ça, ça doit être vrai pour tout g.
Par définition, ça veut dire que phi de L c'est un groupe distingué,
g phi de L g moins 1 égal phi de L, et quand on reprend les définitions,
ça nous dit que le groupe de Galois de K sur L phi de L
est distingué dans le groupe de Galois K sur k.
Je vous laisse vérifier le troisième point complètement en détails.
Voyons quelques indications.
Donc, supposons que l'extension en bas grand L sur petit k est galoisienne,
c'est-à-dire que le groupe de Galois grand K sur grand L est distingué dans G,
le gros groupe de Galois grand K sur petit k.
Alors dans ce cas-là, tout élément petit g appartenant à grand G,
le groupe de Galois laisse stable L puisque L est galoisienne, les conjuguées
ça reste dans grand L donc g de x appartient à L pour tout x appartient à L.
Du coup ça me permet de restreindre un élément petit g du groupe de Galois à L en
obtenant un élément du groupe de Galois de L sur K.
J'ai donc défini une application simplement de restriction à grand L
qui va du groupe de Galois de grand K sur petit k
vers le groupe de Galois de grand L sur petit k.
Evidemment cette application qu'on dit tautologique en mathématiques
respecte les structures, c'est un morphisme de groupe.
Alors premier point, j'affirme que ce morphisme de groupe est surjectif.
Alors pourquoi? Ça,
c'est une conséquence plus ou moins directe du théorème de
prolongement des morphismes.
En effet, vous partez donc d'un élément du groupe de Galois de grand L sur petit k,
ça veut dire un morphisme en particulier de grand L dans grand L,
c'est un morphisme de grand L dans oméga, grand L est contenu dans oméga, et vous
pouvez le prolonger à grand K, puisque grand K sur petit l est algébrique.
Mais comme grand K sur petit k est galoisienne,
ce morphisme de k dans oméga c'est un morphisme de grand K dans grand K.
Donc vous avez prolongé tout morphisme de grand L dans grand
L en un morphisme de grand K dans grand K, comme il laisse fixe au départ petit k,
eh bien il a pas le choix, il laisse fixe petit k à l'arrivée.
Ça veut donne la surjectivité.
Alors Il n'est pas injectif en général mais on va calculer son noyau.
Qu'est-ce que c'est qu'un élément en petit g du noyau?
Ben un élément en petit g du noyau c'est un élément en petit g qui va
sur l'identité quand il est restreint à grand L.
Ca veut dire que g est restreint à grand L égal l'identité
donc g laisse fixe grand L, c'est-à-dire votre élément g,
c'est un élément du groupe de Galois de grand K sur grand L par définition.
Et bien dire que le groupe de Galois de grand L sur k
est le groupe quotient Galois de K sur k dans Galois K sur L est
une simple conséquence du, de la propriété universelle du quotient.
Cette application de restriction Gal de grand K sur petit k en
Gal de grand L sur petit k est surjective et a un noyau
qui est le groupe de Galois de grand K sur grand L, ça vous donne
exactement cette identification entre le quotient et le groupe de Galois cherché.
Alors pour illustrer la puissance
de cette théorie de Galois, donnons un exemple.
Partez d'une extension de corps,
disons une extension finie en caractéristique nulle,
et bien j'affirme que dans ce cas-là, elle a un nombre fini de sous-extensions.
Alors pourquoi c'est vrai?
Alors d'abord j'affirme qu'on peut supposer que l'extension de départ
grand K sur petit k est en fait galoisienne.
Pourquoi?
Et bien on va construire ce qu'on appelle en fait la clôture galoisienne,
je ne donnerai pas de détails ici, juste la construire comme ça, et bien grand K
sur petit k c'est une extension monogène d'après le théorème de l'élément primitif.
Donc grand K sur petit k s'écrit k de x où x est un élément primitif.
Ce x a un polynôme minimal, P, coefficient dans petit k
et ce polynôme minimal il a un corps des racines K prime contenu dans oméga,
et ce corps K prime bien sûr il contient grand K.
K prime c'est un corps des racines sur petit k c'est donc une extension
galoisienne comme on en a vu,
et donc si on montre que K prime a un nombre fini de sous-extensions, on aura
montré a fortiori que grand K sur petit k a un nombre fini de sous-extensions.
Donc je peux supposer maintenant,
ce que je fais, que grand K sur petit k est galoisienne.
Maintenant on a fini parce qu'on a un dictionnaire entre sous-extensions d'une
part de grand K sur petit k dans le cas galoisien et sous-groupes
de Galois, maintenant Galois c'est un groupe fini, donc les sous-groupes
de Galois ils sont en nombres finis, ça veut dire que les sous-extensions elles
sont aussi en nombres finis puisqu'on a une bijection des deux notions.
Et on a terminé.
Voilà, ben, je vous remercie de votre attention dans cette vidéo qui était
peut-être plus difficile à suivre que les précédentes
mais qui est absolument fondamentale, j'espère qu'elle vous aura intéressés,
et puis je vous donne rendez-vous pour la prochaine fois.
À bientôt.
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