Le cours expose la théorie de Galois, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier. Le thème général de cette théorie est l'étude des racines d'un polynôme et concerne en particulier la possibilité de les exprimer à partir des coefficients de ce polynôme. Evariste Galois considère les symétries de ces racines et associe ainsi à ce polynôme un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il dégage à cette occasion pour la première fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omniprésente en mathématiques. Son étude lui permet d'expliquer pourquoi les racines d'une équation prise au hasard ne s'expriment en général pas par des formules algébriques faisant intervenir ses coefficients à partir du degré 5, un résultat démontré auparavant par Abel. Plus généralement, l'étude du groupe de Galois du polynôme permet de dire exactement quand une telle formule existe. C'est ce que l'on appelle la correspondance de Galois : elle relie d'une part la théorie des corps, d'autre part la théorie des groupes.Ce cours expliquera cette théorie en n'utilisant que des résultats de base d'algèbre linéaire. Nous étudierons d'un côté la théorie des corps, c'est-à-dire la façon dont les corps s'emboîtent les uns dans les autres, en introduisant la notion de nombre algébrique (essentiellement les racines de polynômes). D'un autre côté, nous introduirons les éléments nécessaires à l'étude des groupes de permutations. Cela nous permettra d'expliquer la théorie de Galois, non seulement dans son cadre d'origine, c'est-à-dire quand les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, mais aussi dans un cadre plus général, par exemple lorsqu'on réduit ces coefficients modulo un nombre premier p. Le cours culminera avec une comparaison des groupes de Galois dans ces deux situations (« entière » et après réduction modulo p), fournissant ainsi un outil de calcul puissant de ces groupes. Ce cours est l'occasion d'aborder des notions d'algèbre variées, essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques, de manière très simple pour très rapidement aboutir à des résultats tout à fait remarquables. Nous n'avons pas cherché la généralité maximale mais au contraire à aller rapidement à l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur intéressé sera alors armé pour aller plus loin, notamment grâce à la bibliographie ou à des cours plus avancés.
Vidéo 4 : Galois et groupe symétrique
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Introduction à la théorie de Galois
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From the lesson
Correspondance de Galois
lemme d'Artin, groupes de Galois, correspondance de Galois
Meet the Instructors
Olivier DebarreProfesseur
Département de mathématiques
Yves LaszloProfesseur
Directeur adjoint Sciences
[MUSIQUE] Bonjour, aujourd'hui je vais vous expliquer
le lien qu'il y a entre le groupe de Galois d'une extension galoisienne et
le groupe symétrique d'un ensemble fini à n éléments, en général
ça va être l'ensemble des entiers qui sont compris entre 1 et n, 1, 2, 3, jusqu'à n.
Alors, commençons par fixer quelques notations assez habituelles
depuis le début.
On se donne donc un corps de caractéristique nulle,
petit k, un polynôme à coefficients dans k, que j'appelle P,
ce polynôme a un certain nombre de racines distinctes, z1 différent de z2,
différent de, z n ; donc je choisis ma numérotation en disant ça,
je ne suppose pas que les racines soient simples,
simplement je liste les racines de P qui, éventuellement, peuvent être répétées.
Je note grand K, le corps des racines,
le corps engendré par les, z i ; et G, le groupe de Galois correspondant.
Alors, on sait bien, depuis longtemps, que, étant donné un élément,
petit g de grand G, si je l'applique à une des racines, z i,
je trouve une deuxième racine, z indice j, où j est bien déterminé.
Ainsi, j'ai défini une application que je vais noter,
sigma indice g, qui à i associe, sigma g de i,
qui est caractérisée par l'égalité, g de, z i, égale Z indice, sigma g de i.
Maintenant je me donne un second élément, h, du groupe G, et je vais comparer
les applications sigma associées à, g h, d'une part, à g et à h, d'autre part.
Pour ça, je fais le calcul que vous pouvez lire, g h de z i, par définition c'est,
z indice, sigma g h de i, d'autre part, g h de z i,
c'est, g de Z indice, sigma h de i, c'est donc, Z indice, sigma g, sigma h de i.
On déduit de cette égalité qu'on a, sigma de g h, égale, sigma g, rond sigma h.
Alors, évidemment, si vous faites g égale 1,
vous obtenez, sigma de 1 égale l'identité.
Comme vous avez sigma de g h, égale, sigma g, rond sigma h, vous en déduisez que,
sigma de g moins 1 n'est rien d'autre que l'inverse de sigma g.
En particulier, sigma g est une bijection de l'ensemble
des entiers compris entre 1 et n, 1, 2, 3 jusqu'à n.
Donc, qu'est-ce qu'on a fait?
Et bien on a défini une application de G dans, S n, qui à g associe,
sigma g, puisque on vient de constater que sigma g est une permutation de,
S n, qui, je vous le rappelle, est l'ensemble des bijections des entiers
compris entre 1 et n, 1, 2, 3 jusqu'à n.
D'autre part, la formule, sigma de g h égale, sigma g,
rond sigma h, prouve que cette application de G dans, S n,
n'est pas seulement une application, mais un morphisme de groupe.
Enfin, j'affirme que cette application est injective.
En effet, si vous avez G qui est dans le noyau,
par définition cela signifie que G fixe tous les, z i.
Et puisque les, z i, engendrent le corps des racines grand K,
et que G est petit k linéaire, on déduit que G est l'identité de grand K,
c'est-à-dire G égale 1 dans le groupe de Galois.
Le noyau est donc réduit à 1, c'est une application injective.
En d'autres termes, dès que j'ai choisi une numérotation des racines distinctes de
P, z1, z2, z n, j'ai défini un morphisme injectif de G dans,
S n, donc je peux considérer que G est un sous-groupe du groupe symétrique, S n.
Alors on peut se demander ce qui se passe quand on change de numérotation,
quand on passe d'une numérotation à une autre.
Eh bien, je vous laisse réfléchir à ça,
discuter de ça entre vous sur le forum, et constater que ça ne change
essentiellement rien, que dans un sens que je vous laisse préciser.
Deux numérotations différentes des racines conduisent à des plongements de G dans,
S n, qui sont conjugués.
Bon, pour nous familiariser avec ces notions sur un cas simple,
regardons ce qui se passe, en degré 2.
Donc, je vais vous donner un exercice, comme ici.
Alors, partons d'un polynôme de degré 2, X2 plus a X, plus b.
J'affirme les points suivants.
Premièrement que, grand K, le corps des racines, est simplement le corps engendré
par delta, une racine carrée, choisie comme vous voulez, du discriminant
a2 moins 4b, discriminant au sens usuel pour les trinômes du second degré.
Ensuite on a deux cas.
Soit le discriminant, a2 moins 4b est un carré dans k,
et j'affirme que le groupe de Galois est réduit à l'identité ; soit a2 moins 4b
n'est pas un carré dans k, à ce moment-là le groupe de Galois est de cardinal 2,
et il est engendré par l'automorphisme de sigma, qui envoie delta sur moins delta,
et l'image de sigma dans le groupe S2, ici n égale 2,
est la transposition qui échange 1 et 2.
Plus généralement, regardons ce qui se passe pour un polynôme, disons unitaire,
pour simplifier, P égale le produit des,
X moins, x i ; x i, les racines de ce polynôme dans oméga.
Donc je vais généraliser ici la notion de discriminant,
au cas d'un polynôme de degré quelconque.
Donnons déjà une formule pour le discriminant.
Par définition, le discriminant de P c'est un signe, moins 1 puissance n,
n moins 1 sur 2, fois le produit des, x i moins x j, pour i différent de j.
Donc à priori c'est un élément du corps des racines, ou un élément de oméga,
comme vous voulez.
Alors il y a déjà un point qui est clair,
c'est que ça ne dépend pas de la numérotation des racines, parce que,
on peut le réécrire comme étant le même signe, moins 1 puissance,
n, n moins 1, sur 2, fois le produit de,
x moins y, pour x différent de y, où x et y parcourent les racines de P.
Alors, faisons un petit calcul, avant de donner des propriétés du discriminant.
Donc le discriminant de P c'est, moins 1 puissance, n, n moins 1, sur 2,
fois le produit des, x i moins x j, pour les indices i qui sont plus grands que j,
fois le produit des, x i moins x j, pour les indices i qui sont plus petits que j.
Mais, si je réordonne les indices, x i moins x j, je peux l'écrire comme étant,
moins x j moins x i, pour tous les indices i plus grands que j.
Combien y en a-t-il de tels indices?
Il y en a, n, n moins 1, sur 2.
Donc, moins 1 puissance, n, n moins 1, sur 2, fois le produit des, x i moins x j,
n'est rien d'autre que, le produit, sur i plus grand que j, des, x j moins x i.
Le deuxième terme du produit reste le même, le produit,
sur i plus petit que j, des, x i moins x j.
En définitive, nous avons démontré que le discriminant de P c'est le produit,
sur i plus grand que j, des x j moins x i, fois le produit,
sur i plus petit que j, des, xi moins x j.
Là maintenant, dans le premier membre vous faites le changement d'indice,
vous échangez i et j, et vous constatez que vous obtenez deux fois la même chose.
C'est-à-dire que, le discriminant de P c'est le carré de delta, où
delta c'est le produit, sur i strictement plus petit que j, des, x i moins x j.
Cette formule qui va nous donner, essentiellement,
toutes les propriétés du discriminant.
Alors, il y en a une qui est absolument visible,
c'est que le discriminant de P est non nul, si et seulement si toutes les
racines de P dans oméga sont distinctes, si tous les, x i, sont distinctes.
Autrement dit,
le discriminant de P est non nul, si et seulement si P est un polynôme séparable.
Montrons maintenant la proposition qui résume les propriétés fondamentales de ce
discriminant pour un polynôme arbitraire, disons unitaire,
ça n'a pas beaucoup d'importance ici, à coefficients dans petit k.
Je conserve les notations précédentes.
Premier point, le discriminant de P est nul, si et seulement si, P n'est pas un
polynôme séparable, si et seulement si, P a au moins une racine multiple dans oméga.
Deuxième point,
j'affirme que le discriminant de P est en fait un élément du corps de base, petit k.
Troisième point, si P est séparable le discriminant de P est un carré
dans petit k, si et seulement si, le groupe de Galois de P
est inclus dans le sous-groupe alterné de, S n, des permutations paires,
des permutations dont la signature est 1.
Alors comment démontre-t-on ça?
En fait on fait un petit calcul, je prends g,
un élément du groupe de Galois, et je calcule, g de delta.
Je vous rappelle que delta c'était une racine carré du discriminant qui est
défini par le produit, sur i strictement plus petit que j, des, x i moins x j.
Donc, g de delta, par définition, c'est le produit,
sur i strictement plus petit que j, des, x sigma g de i moins x sigma g de j,
et j'introduis en force delta, donc, on trouve,
c'est le produit sur i plus petit que j, des, x sigma g de i moins x sigma g de j,
divisé par le produit, sur les mêmes indices, des, x i moins x j fois delta.
Or, par définition, le facteur de delta n'est rien d'autre que la
signature de la permutation associée à g,
donc on trouve que g de delta, c'est epsilon sigma g de delta.
Première conséquence : comme g est un morphisme de groupe,
on trouve que g de delta au carré c'est égal à delta au carré.
Autrement dit,
le discriminant est invariant par tous les éléments du groupe de Galois.
Mais nous savons que l'ensemble des invariants,
c'est le corps de base ce qui nous montre le second point,
le discriminant est un élément du corps de base puisqu'il est invariant sous Galois.
Le deuxième point découle là aussi de cette formule,
si le groupe de Galois est inclus dans n, c'est dire que epsilon de sigma g est égal
à + 1 pour tout élément g du groupe de Galois, c'est
donc que g de delta égale delta pour tout g, c'est donc que delta est invariant.
Mais les invariants sont les éléments du corps de base, donc Galois inclus dans n
entraîne que petit delta, la racine du discriminant, est dans le corps de base
et que donc le discriminant est un carré dans le corps de base.
Inversement, si le discriminant de p est un carré dans k,
delta appartient au corps de base et donc delta est invariant.
On en déduit que g de delta sur delta est égal à 1,
et donc que epsilon de sigma g est égal à 1 pour tout g.
Il y a une toute petite subtilité, c'est qu'epsilon de sigma g est égal à 1 où ça?
Il est égal à 1 dans k, dans omega, dans ce que vous voulez, dans le corps.
Mais on sait qu'on a un corps de caractéristiques nulles,
donc si epsilon de sigma g est égal à 1 dans le corps,
c'est qu'epsilon de sigma g est égal à 1 comme entier.
On aurait eu un petit problème si on avait été en caractéristique 2,
parce qu'en caractéristique 2 on a 1 est égal à moins 1, et dire
que quelque chose est égal à 1 ou moins 1 dans un corps de caractéristique 2,
ça ne dit rien sur l'entier lui-même.
Pour rendre toutes ces notions concrètes et palpables, passons à un quiz.
Pour terminer, je vais vous expliquer le lien qu'il y a entre l'irréductibilité
d'un polynôme P appartenant à k de x et
l'action du groupe de Galois G sur les racines, alors de quel groupe de Galois?
Par exemple, du groupe de Galois du corps des racines de P ou de finalement
n'importe quelle extension galoisienne qui contiendrait toutes les racines de P
dans oméga.
De quoi parle-t-on?
On regarde un polynôme P appartenant à k de x qu'on peut supposer unitaire
pour simplifier et que je vais supposer séparable donc à racine simple dans oméga.
Je me donne x, une racine de P dans oméga, donc si vous voulez dans
K le corps des racines de P et j'appelle G le groupe de Galois correspondant.
J'ai un second annulateur de x qui est le polynôme minimal de x sur k.
On sait que ces racines sont les conjuguées de x,
en fait d'une certaine manière par définition, comme P est à racine simple,
c'est un polynôme irréductible, on est en caractéristique nulle, P est donc le
produit de x moins x' où x' décrit l'ensemble de tous les conjugués de x.
Mais on sait que l'ensemble des conjugués de x,
ce sont les images de x par le groupe de Galois de sorte que le polynôme minimal
est aussi le produit de x moins x' lorsque x' décrit gx
l'orbite de x sous Galois, l'ensemble des g de x pour g appartenant à G.
Maintenant, par définition on sait que le minimal divise P puisque P est un
annulateur de x, de sorte que P est égal au minimal si et seulement si
l'orbite Gx est précisément l'ensemble de toutes les racines de P,
si l'orbite de x coïncide avec l'ensemble des racines de P.
Comme le polynôme minimal est irréductible,
on déduit que P est irréductible si et seulement si l'orbite de g,
plutôt l'orbite de x sous g, Gx, est égal à l'ensemble des racines de P.
En termes plus savants, P est irréductible
si et seulement si g agit transitivement sur l'ensemble des racines de P.
Dans ce cas, x est de degré le degré de P puisque P
est le degré de minimal qui est par définition le degré de x.
Dans le cas où P est irréductible, x est de degré de P donc,
mais comme le corps k de x est inclus dans K, K était le corps des racines de P,
on a d'après le terrain de la base télescopique que dans le cas irréductible,
le degré de P va diviser le degré de K sur k, qui est quelque chose
qu'on utilise très fréquemment comme vous le verrez dans les exercices.
Je vous remercie d'avoir suivi cette vidéo et je vous dis à bientôt.
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