Bonjour. Dans cette dernière vidéo de la semaine, je vais vous raconter finalement la théorie de Galois pour les corps finis. Alors a priori, c'est pas le cadre dans lequel on s'est placé puisque un corps fini c'est une caractéristique positive, un nombre premier p, comme vous l'avez vu avec Olivier, et que nous, précisément, la théorie de Galois on la fait pour les extensions de corps de caractéristique nulle. Donc ce que je vous explique, ce que je vais vous expliquer, c'est, à la main, pourquoi la théorie de Galois s'adapte avec des résultats tout à fait analogues dans ce cadre. Alors commençons par quelques notations. Comme d'habitude on va fixer oméga, un corps algébriquement clos qui contient quel corps? Eh bien F p, le corps premier, à P éléments, F p égal z sur P z si vous voulez. Donc c'est un corps algébriquement clos qui contient F p. Et je vais considérer l'endomorphisme ou même l'automorphisme de Frobenius de oméga qui à x associe la puissance p-ième de x, x donne x p, automorphisme de Frobenius que je note grand F. Bien, commençons par quelques points que vous avez étudiés avec Olivier. Alors la première chose c'est que on connait exactement l'ensemble des sous-corps finis contenus dans oméga. C'est l'ensemble des F q où q décrit toutes les puissances de p, et à ce moment-là le corps fini correspondant se note F q et c'est l'ensemble des racines dans oméga du polynôme x q moins x. Alors si j'écris q égal p puissance m disons, cet ensemble est aussi le corps des invariants par le Frobenius F puissance m ou plutôt si vous voulez par l'itéré du Frobénius F puissance m. Le deuxième point c'est que on connait mieux, on connait toutes les extensions de corps finis qui sont contenues dans oméga. Précisément, les extensions de corps finis grand K sur petit k sont de la forme F q puissance n sur F q où q est une certaine puissance de p. Avec ces notations, je peux définir le groupe de Galois d'une extension F q n sur F q. Quel est l'énoncé? Alors j'affirme que l'application du groupe additif z sur n z dans le groupe des automorphismes de F q n qui sont F q linéaires, qui à alpha d'une classe modulo n associe F q à la puissance alpha, est un isomorphisme, en d'autres termes, que ce groupe des automorphismes est isomorphe canoniquement à z sur n z et que le générateur qui correspond à 1 est simplement F q où F q c'est ce qu'on appelle le Frobenius du corps de cardinal q qui est défini par x donne x q. Ce groupe des automorphismes, on va le baptiser groupe de Galois de F q n sur F q, par analogie à ce qu'on a vu en caractéristique nulle. Alors comment on peut prouver ça? Eh bien, on sait déjà que le groupe multiplicatif de F q n étoile est un groupe cyclique. Choisissons un générateur, x, donc on a que toutes les puissances de x entre 1 et q n moins 1 sont distinctes. Je dis que ça entraîne que phi de 0, phi de 1 jusqu'à phi de n moins 1 sont n éléments distincts. Pourquoi? Eh bien, il suffit que j'applique à x, phi de 0, phi de 1, phi de 2 phi de n moins 1, et je trouve que j'ai x, x q, x q 2 jusqu'à x q puissance n moins 1. Nous savons que nous avons ici n éléments distincts, c'est donc que les phi de i sont bien distincts quand i parcourt 0, 1, 2 jusqu'à n moins 1. J'en déduis que phi est bien une application injective. J'ai donc maintenant à montrer que phi est surjective. Alors pour ça, construisons, en nous inspirant de la théorie de Galois, un annulateur de x en considérant en fait les conjuguées de x sous ce qui doit être le groupe de Galois. Donc j'introduis P de x égal le produit des x moins F q à la puissance i de x où i décrit z sur n z. Regardons ce qui se passe pour l'action de F q sur le polynôme P. Eh bien, si le produit des x moins F q à la puissance i plus 1 de x, je peux faire le changement de variable bijective dans z sur n z, j égal i plus 1, pour trouver que c'est aussi le produit des x moins F q à la puissance j de x, c'est-à -dire le polynôme P. Autrement dit, P est invariant sous F q, c'est-à -dire que P est à coefficients dans le corps à q éléments puisque c'est l'ensemble des points qui sont fixés par ce Frobenius F q, ce Frobenius itéré F q. Si maintenant je pars d'un élément g du groupe de Galois de F q n sur F q, qui je vous le rappelle a été défini comme le groupe des automorphismes F q linéaires de F q n, j'ai donc que g de P de x c'est g de 0, donc ça vaut 0, c'est aussi P g de x. C'est donc que g de x est une racine de P. On a l'habitude, en théorie de Galois usuelle, de voir que g permute les racines d'un annulateur. C'est ici ce qu'on retrouve dans ce cas des corps finis. Comme les racines de P sont les itérées par les Frobenius de x, il existe un i appartenant à z sur n z tel que g de x est égal à F q à la puissance i de x. Ca signifie que g et F q puissance i coïncident sur x, qui est un générateur du groupe mutilplicatif du corps F q n, qui est donc en particulier un élément primitif. Ainsi, si g F q i coïncide sur x, il coïncide partout, g égal F q i. On a démontré la surjectivité puisque g est égal, par définition de phi, à phi de i. Bon alors où on en est? Eh bien on a démontré pas mal de choses. Alors commençons par un point F q n, et par définition le corps des racines sur F q du polynôme X q puissance n moins X. Ce polynôme est séparable. Il est à racine simple dans oméga. Petit exercice ou discussion sur le forum, je vous invite à dériver ce polynôme et vous verrez que ce polynôme est séparable. Donc, on trouve que F q n sur F q, qu'on a envie de considérer comme une extension galoisienne puisqu'on a parlé de son groupe de Galois, et effectivement le corps des racines d'un polynôme, se trouve séparable, exactement comme en caractéristique 0. Et c'est ça qui légitime le fait de non seulement parler du groupe des automorphismes de F q n sur F q mais de l'appeler le groupe de Galois de F q n sur F q en tant que corps des racines du, d'un polynôme ici séparable. Deuxième point d'analogie avec la théorie de Galois en caractéristique nulle, le calcul des invariants par Galois. Alors les invariants sous Galois de F q n c'est l'ensemble des x dans F q n qui sont fixés par le Frobenius, l'ensemble des x tel que x q égal x. Ça coïncide clairement avec l'ensemble des x dans oméga tel que x q égal x, et c'est exactement la définition du corps à q éléments. Donc on trouve que les invariants sous Galois de l'extension F q n sur F q, c'est le corps à q éléments, le corps de base, c'est exactement la même chose qu'on a eu dans la théorie de Galois en caractéristique nulle. Et quand on a prouvé la correspondance de Galois, on a vu que c'était la moitié de ce qui nous fallait pour prouver cette correspondance de Galois. Et l'autre moitié qui nous a été nécessaire, c'est le lemme d'Artin. Alors voyons quel est l'analogue du lemme d'Artin dans le cas des extensions de corps finis. Alors énonçons et démontrons l'analogue du lemme d'Artin dans le cas des corps finis. Je considère donc un sous-groupe fini du groupe des automorphismes de F q, qui est, par définition, le groupe de Galois de F q sur F p. En effet, F p est automatiquement fixé par tous les automorphismes de F q. Eh bien, j'affirme que G est le groupe de Galois de l'extension évidemment finie F q sur les invariants de F q sous G. C'est exactement l'énoncé du lemme d'Artin. Alors comment on fait ça? Ben la preuve en fait est plus simple dans ce cas-là , parce qu'on connait parfaitement de façon explicite tous ces groupes. Alors le groupe de Galois F q sur F p c'est le groupe cyclique, z sur m z, si on a noté q égal p puissance n comme depuis le début, et on connait tous les sous-groupes du groupe cyclique z sur m z, ce sont des groupes cycliques de la forme d fois Z sur m Z où d est un diviseur arbitraire de m. Avec ces notations, le groupe correspondant, via l'isomorphisme précédent, et le groupe G engendré par la puissance d-ième du Frobenius de oméga. Une fois qu'on a ça de façon parfaitement explicite, on peut calculer les invariants du corps à q éléments sous groupe G, par définition c'est l'ensemble des x appartenant à Fq tel que x à la puissance P puissance d est égal à x, et c'est par définition le corps à P puissance d éléments. Simplement, on vient de calculer dans l'énoncé précédent le groupe de Galois de F q sur n'importe quel sous-corps fini, ici F, P puissance d. Et on sait que c'est le groupe engendré par le Frobenius à la puissance d, qui par définition est le groupe G. On a prouvé le lemme d'Artin. Alors, maintenant, on se rappelle la preuve de la correspondance de Galois. Et on sait que, dès qu'on a réussi à prouver le lemme d'Artin et à calculer les invariants sous Galois, on déduit, de façon formelle, dans le cas d'une extension, ici, Fqn sur Fq, où on a noté G le groupe de Galois de Fqn sur Fq qui va définition est le groupe des automorphismes Fq linéaires de Fqn. Et donc on a exactement l'énoncé analogue en caractéristique p, dans le cas des corps finis, dans la correspondance de Galois, on a une application des sous-groupes de G dans les sous-extensions de Fqn sur Fq, qui à H associe le corps fixe, et d'autre part, on a une application de l'ensemble des sous-extentsions de Fqn sur Fq, vers les sous-groupes de G, qui à L associe le groupe de Galois de Fqn sur L, le groupe de Galois de l'extension qui est en-haut. Avec tout ce qu'on a démontré, on est à même d'énoncer et de démontrer le théorème de la correspondance de Galois dans le corps des corps finis, d'abord c'est qu'avec les notations précédentes, les deux applications gamma et phi sont des bijections strictement décroissantes qui sont inverses l'une de l'autre. D'autre part, on peut s'intéresser à savoir qu'est-ce qui se passe pour les extensions intermédiaires, L coincé entre Fqn et Fq, eh bien dans ce cas-là le morphisme de restriction de Gal de Fqn sur Fq, dans Gal de L sur Fq, s'identifie à la surjection canonique de Gal de Fqn sur Fq dans le quotient des groupes de Galois correspondants. Alors, tout a été démontré, précédemment, expliqué précédemment, sauf peut-être le dernier point, le dernier point est parfaitement explicite : à travers l'isomorphisme explicitant le lien entre le groupe Z sur nZ et les groupes de Galois Fqn sur Fq, on a d'un côté Gal de Fqn sur Fq qui est le groupe Z sur nZ, et de l'autre côté vous avez Z sur nz Gal de Fqn sur nq divisé par le groupe de galois Gal de Fqn sur L. Mais Gal de Fqn sur L, c'est Gal de Fqn sur Fqd, et on sait que ça c'est le groupe engendré par l'itéré d i n du Frobenius, c'est-à -dire d fois d sur nZ. Donc le membre de droite dans la correspondance de Galois, qu'est-ce que c'est? C'est le quotient de Z sur nZ par d, Z sur nZ, et on est simplement en train d'écrire que Z sur dZ est égal à Z sur nZ divisé par d, Z sur nZ. Alors, vous pourrez remarquer une chose, c'est que, dans la correspondance de Galois, il y avait un pas de plus, c'est qu'on s'intéressait à savoir si l'extension du bas, ici L sur Fq, était galoisienne ou non. Ça nous amenait à regarder si un certain sous-groupe était un groupe distingué ou non. Ici on n'a pas ça. Alors, il y a deux raisons, d'une certaine manière. Une bonne et une mauvaise. La mauvaise, c'est qu'on a défini le groupe de Galois de Fqn sur Fq dans tous les cas, donc les groupes de Galois sont toujours définis, les extensions sont toujours galoisiennes. Alors la bonne raison c'est que le groupe de Galois Fqn sur Fq, c'est une groupe qui est cyclique, donc en particulier commutatif, et donc la notion de groupe distingué est vide, n'importe quel sous-groupe d'un groupe commutatif est distingué. C'est pour ça que disparait ce pas dans la correspondance de Galois dans le cas de la correspondance de Galois des corps finis. Bien, je vous remercie d'avoir suivi cette vidéo, et je vous attends la semaine prochaine. Au revoir!
