Dans cet exercice, nous allons effectuer un certain nombre de calculs, de produits, de monômes, avec des dérivées de masse de Dirac. Donc le premier calcul est assez simple, c'est le produit de x avec la dérivée de la masse de Dirac à l'ordre 1, donc pour faire ce calcul nous allons utiliser l'expression suivante : x delta zéro prime, nous allons calculer ça de façon, de deux façons différentes: premièrement x delta zéro est égal à zéro. Parce que d'après le cours, c'est delta zéro multiplié par la valeur de x en zéro qui vaut zéro. D'autre part nous pourrons calculer la dérivée de x delta zéro par la formule de dérivée du produit, d'une fonction par une distribution. Donc x delta zéro prime est également la même chose que delta zéro plus x, delta zéro prime. Et donc par cette expression nous voyons tout de suite que x delta zéro prime est égal à moins delta zéro. Nous allons procéder de la même façon pour x au carré delta zéro seconde. Donc par exactement la même remarque, x au carré, delta zéro, est égale à zéro. Et donc sa dérivée seconde, au sens des distributions, est également nulle. Par la formule de dérivation, à l'ordre 2, nous trouvons que ceci est égal à 2 fois delta zéro, c'est la dérivée seconde de x au carré, multiplié par delta zéro plus les termes croisés, donc 4x, delta zéro prime, plus x au carré, delta zéro seconde. Tout ceci est nul, nous pouvons aussi utiliser x delta zéro prime qui a été calculé à la ligne au-dessus, et nous trouvons ainsi que x carré, delta zéro seconde est égale à moins 2 delta zéro, plus 4 delta zéro, et donc ceci est égal à 2 delta zéro. Nous passons maintenant à un calcul plus général, qui est le calcul pour tout m et n entiers de x puissance m multiplié par delta zéro dérivé n fois. Pour ceci, nous allons d'abord tester la distribution x puissance m delta zéro dérivé n fois, contre une fonction test phi. Par définition, ceci est égal à moins 1 puissance n, delta zéro, contre la fonction x puissance m, multipliée par phi, le tout dérivé n fois. Donc c'est par définition de la dérivée d'ordre n, et par définition du produit de la fonction xm avec la masse de Dirac delta zéro, n. Tout ceci est donc égal, par définition de la masse de Dirac, à moins 1 puissance n, la fonction xm multipliée par phi, dérivée n fois, prise au point zéro. Alors il nous faut maintenant calculer ce terme. Calculons de façon générale, c'est-à -dire en tout point, la dérivée d'ordre n de la fonction x puissance m multipliée par phi. Ceci est égale à la somme, pour j égal à zéro à n, au coefficient binomial j parmi n, multiplié par la dérivée d'ordre j de x à la puissance m, multiplié par la dérivée d'ordre n moins j de phi. Et ceci est égal à la somme de j égal à zéro à n de grand F m, j, n de x, grand F étant une notation pour le terme dans la somme. Ce qui nous intéresse maintenant, c'est de calculer ces grands F, au point x égal à zéro. Donc il y a des cas qui se font relativement facilement, par exemple, si vous prenez m strictement plus grand que n. Dans ce cas-là , dans la somme de j égal à zéro à n, le j est toujours plus petit ou égal à n et donc il est toujours strictement plus petit que n. C'est-à -dire que dans la somme au-dessus, nous avons le monôme x puissance m, qui est dérivé j fois, et donc il est dérivé un nombre de fois inférieur à la puissance m. Et donc quand nous allons le prendre au point x égal à zéro, ce terme sera égal à zéro. Et donc pour m plus grand que n strictement, pour tout j entre zéro et n, grand F, m de j, n au point zéro est égal à zéro. Et ainsi, on en déduit que xm, delta zéro dérivé n fois dans ce cas, est égal à zéro. Deuxième cas, si m est plus petit ou égal à n. De façon équivalente à ce qu'on vient de faire, dans la somme j égal zéro à n, si j est strictement plus petit que m, pour la même raison le grand F au point zéro sera aussi égal à zéro. Cela traite donc une partie de la somme. Si maintenant j est strictement plus grand que m, cela veut dire que le monôme x puissance m est dérivé au moins m plus une fois. Et vous savez que dans ce cas-là on trouve zéro, pour tout x. Donc c'est-à -dire que si j est strictement plus grand que m, grand F, dans ce cas-là est strictement, est identiquement nul. C'est-à -dire que dans la somme de j égal zéro à n que nous avons, il n'y a que le terme j égal à m qui éventuellement donne une contribution non-nulle. Cela veut dire que la dérivée n-ième de la fonction x puissance m, phi au point zéro est égale à seulement le terme grand F quand j est égal à m, au point zéro. Ceci se calcule aisément, vous remplacez j par m, nous trouvons le coefficient binomial m parmi n, factoriel m, qui correspond à la dérivée d'ordre m de x puissance m, multiplié par la dérivée d'ordre n moins m de phi au point zéro. En utilisant la définition du coefficient binomial, ceci est égal à factoriel n divisé par factoriel n moins m, phi dérivée n moins une fois au point zéro, ainsi, par la définition de la dérivée d'ordre n moins m, nous trouvons que x puissance m, multiplié par delta zéro dérivé n fois, est égale à moins 1, puissance n moins m, factoriel n divisé par factoriel n moins m, multiplié par la masse de Dirac en zéro dérivée n, moins m.
