Dans cet exercice nous cherchons des solutions au sens des distributions de l'équation dtu, donc dérivée partielle de u par rapport à t, plus d sur dx, de u 4 sur 4, est égal à zéro. Donc c'est une équation un peu du même type que celle qui a été vue en cours, l'équation de Hopf avec une non-linéarité légèrement différente donc u 4 au lieu de u 2, pour montrer à quel point disons les concepts sont flexibles aux différentes situations. Donc la première question consiste à définir une fonction par morceaux, donc c'est une fonction qui est constante par morceaux, qui vaut u moins sur un certain domaine, u plus sur son complémentaire, et on nous demande de vérifier que c'est une solution au sens de distribution de l'équation e, pourvu que certaines conditions sur les paramètres soient satisfaites. Représentons graphiquement rapidement la fonction u de t de x, que l'on nous demande de considérer. Donc si je place ici dans le plan tx, ici t, ici x, je prends s positif pour le dessin, donc ici nous avons la droite x égale à st, et donc on s'intéresse aux fonctions qui valent u moins dans cette région, en dessous de cette droite, et u plus, dans la région supérieure. Il s'agit de dériver cette fonction, au sens des distributions par rapport à t et par rapport à x. Seulement à l'ordre 1. Il s'agit d'utiliser une formule des sauts dans R 2, donc une formule des sauts dans l'espace. Et donc il nous faut définir l'ouvert oméga nous permettant d'appliquer la formule du cours. Il y a un choix à faire, donc je choisis oméga, un ouvert, qui est tout simplement l'ouvert, l'ensemble des t et des x, pour t positif, x en R, et je choisis oméga disons au-dessous de la droite x égal à st. Donc x, plus petit que st. Avec ce choix, la normale extérieure sortante, donc la normale extérieure unitaire, normalisée, est facile à calculer, ça nous donne : 1 sur racine carrée de 1 plus s carré, c'est le facteur de normalisation, moins s, dans la direction du temps, t et 1. Maintenant calculons le saut de u, à la traversée de d oméga, c'est tout simplement la valeur, disons, dans un voisinage d'un point de la frontière à l'extérieur, moins la valeur à l'intérieur du domaine au voisinage de la frontière. Ici tout est constant, donc c'est tout simplement la valeur à l'extérieur moins la valeur à l'intérieur. Le saut de u, d oméga est égal à u plus, moins, u moins. Maintenant que nous donne la formule des sauts appliquée au calcul de la dérivée première de u par rapport au temps? Nous trouvons : dérivée première de u par rapport au temps, est égale à la dérivée première de u par rapport au temps, en dehors de d oméga, en dehors de la frontière donc partout où c'est possible, au sens classique, au sens, là il se trouve que sauf sur la droite x est égal à st, la fonction u est constante. Elle est constante par morceaux. Elle est constante dans oméga, et elle est constante également pour x plus grand que st. Donc cette contribution fait zéro. Il n'y a pas de contribution de cette partie-là . Par contre il y a une contribution du saut, due à , sur l'interface, qui vaut la valeur, la hauteur du saut, u plus moins u moins, fois la normale projetée sur la direction du temps, direction t, donc moins s sur 1 plus s carré, 1 racine carré, multiplié par sigma, donc ça c'est la dérivée première de u par rapport au temps. Donc il faut faire le même calcul pour la dérivée première par rapport à x. Non, pas de u mais de u 4 sur 4. Mais les choses sont très très comparables. Dx de u 4 sur 4. u 4 sur 4 est également constant en dehors de l'interface, donc la première partie fait zéro plus le saut de u 4 sur 4 à la traversée de l'interface, donc u plus 4 moins u moins 4, divisé par 4, multiplié par la normale projetée sur la direction x, donc 1 sur racine de 1 plus s carré, sigma. Et donc nous voyons que u satisfait l'équation dtu plus dx, un quart de u 4, si et seulement si les deux contributions en s'additionnant, s'annulent; quand on les additionne, s'annulent. Et donc la condition est simple à écrire : Pour que u soit solution, il faut et il suffit que u plus moins u moins, multiplié par s, soit égal à un quart de u plus 4 moins u moins 4. Alors comme ceci peut être développé de la façon suivante : U plus moins u moins, multiplié par u plus u moins, fois u plus carré, plus u moins carré, on voit que la condition peut s'écrire : s égale un quart de u plus plus u moins, multiplié par u plus carré, plus u moins, carré. Donc ceci répond à la question petit a. Passons maintenant à la question petit b. Il s'agit de construire des solutions bien sûr en s'inspirant de la question a, de l'équation au sens des distributions, mais qui en plus, vérifient une condition initiale particulière, on veut obtenir la valeur 1 pour x positif, et la valeur moins 1, pour x négatif. Donc si je reprends mon dessin, on impose ici en t égal à zéro une condition que la fonction ici vaut plus 1, et la fonction ici vaut moins 1. Donc on peut définir très facilement une solution de l'équation qui vérifie cette contrainte et qui vérifie un saut donc disons qui est inspiré des calculs précédents. Il suffit par exemple de prendre u de t de x, qui est égal à moins 1 sur la partie du plan où t est positif et x est négatif et plus 1, ailleurs. C'est-à -dire, là où x est positif, et t est positif. Alors ceci est une solution, puisque u plus est égal à moins u moins, et que s est égal à zéro, c'est-à -dire que l'interface est prise en x est égal à zéro. Donc ceci est bien une solution, et qui correspond, dans le calcul précédent, às est égal à zéro. Maintenant nous pouvons faire des solutions un peu plus complexes et plus intéressantes, disons. Et surtout en un nombre infini, comme il est demandé. Prenez un nombre a positif, et maintenant on va définir s est égal à un quart, de 1 plus a, multiplié par 1 plus a carré. Et vous voyez que dans ce cas-là , moins s est égal à un quart, de moins a, moins 1, multiplié par 1 plus a carré. Cela signifie que la fonction Ua que je vais écrire, est solution. Donc Ua de t et de x, cette fonction-là vaut moins 1 pour x plus petit que moins st, et t positif. Elle vaut moins a pour x négatif mais plus grand que moins st, et toujours t positif. Elle vaut a de l'autre coté, c'est à dire pour x positif, mais plus petit que st. Et enfin elle vaut 1, pour x plus grand que st. On voit là une représentation schématique de cette fonction, elle est égale à 1 ici, a ici, moins a dans cette zone, et enfin, moins 1 dans la zone du bas, et les conditions, la condition qui a été donnée entre s et a, et qui donne donc une relation entre moins s et moins a et la question petit a nous permettent de voir que cette fonction Ua de t de x, est bien solution de l'équation qui nous intéresse sur R plus croix R.
