Dans la première question de l'exercice, nous considérons une distribution tempérée dans R, et nous allons montrer que, si cette distribution vérifie que sa dérivée quatrième, au sens des distributions, plus elle-même, appartient à l'espace L 2, alors la distribution u est en fait une fonction L 2, sa dérivée quatrième est également une fonction L 2, ainsi que toutes les dérivées d'ordre inférieur ou égal à 4. C'est-à -dire que nous allons déduire une propriété sur u, et ses dérivées jusqu'à l'ordre 4, à partir seulement d'une propriété sur une certaine combinaison linéaire de u et de sa dérivée quatrième. Nous allons voir que c'est une question en fait très simple, si nous appliquons ce que nous savons sur la transformée de Fourier d'une distribution tempérée. D'abord rappelons la formule suivante pour une distribution tempérée de R, on sait que on peut définir la transformée de Fourier de sa dérivée, au sens des distributions, que j'appelle u prime, et que la transformée de Fourier de u prime est égale à moins i, xi multiplié par la transformée de Fourier de u. En appliquant cette formule quatre fois, nous voyons donc que la transformée de Fourier de la dérivée quatrième de u, est égale à moins i, xi, puissance 4, multiplié par la transformée de Fourier de u. Et ceci est égal à xi 4, u chapeau. Donc cette formule est vraie pour toute distribution tempérée. Maintenant, utilisons l'hypothèse. Donc nous savons que la dérivée quatrième de u, plus u, appartient à L 2. Si cette somme appartient à L 2, sa transformée de Fourier appartient également à L 2. C'est-à -dire que la transformée de Fourier de u dérivé 4 fois plus u, appartient à L 2. Mais ceci, par linéarité de la transformée de Fourier, et le calcul précédent, est égal à xi 4 plus 1, multiplié par la transformée de Fourier de u. Donc nous savons que cette distribution, xi 4 plus 1 multiplié par u chapeau, appartient à L 2. En particulier c'est une fonction. Maintenant nous allons utiliser une majoration simple. Il est facile de voir, que quel que soit j égal à zéro, 1, 2, 3, ou 4, xi, valeur absolue de xi puissance j multiplié par u chapeau de xi, en module, est plus petit que, plus petit ou égal, que 1 plus xi 4, multiplié par u chapeau de xi. Alors, il est très facile de vérifier cette inégalité, qui est loin d'être optimale, Si xi, en valeur absolue, en module, est plus petit que 1, alors, nous pouvons majorer xi j par 1, et si xi est plus grand que 1, nous pouvons majorer xi puissance j par xi puissance 4, en valeur absolue. Donc cette inégalité est vraie pour tout xi. Ce que nous en déduisons, comme le membre de droite est une fonction de L 2, nous en déduisons que xi puissance j multiplié par u chapeau appartient aussi à L 2. Donc, xi j, u chapeau, est également une fonction de L 2. De R. Maintenant je vais utiliser que xi j, u chapeau, n'est rien d'autre que moins i puissance j, la transformée de Fourier, de la dérivée d'ordre j par rapport à x de la distribution u. Et, donc nous savons que ceci appartient à L 2. Par la propriété de la transformée de Fourier inverse, qui est la même que la propriété de la transformée de Fourier, si une distribution a sa transformée de Fourier dans L 2, alors cette distribution en fait, est associée à une fonction en L 2. Et donc, la dérivée d'ordre j de u par rapport à x appartient à L 2. Que, pour j égal zéro, 1, 2, 3 ou 4. Donc la fonction u appartient à L 2, cette dérivée quatrième appartient à L 2, et toutes ces dérivées intermédiaires dont, d'ordre 1, 2 et 3 appartiennent également à L 2. Ce qui termine cette question. Passons à la deuxième question de l'exercice, qui est tout à fait comparable et qui utilise grosso-modo la même méthode, mais en dimension supérieure. Alors cette fois-ci, nous nous situons dans l'espace R d, et nous considérons une distribution tempérée de R d. Nous allons regarder les propriétés sur les dérivées partielles cette fois-ci. Donc je rappelle seulement la formule suivante : la transformée de Fourier de la dérivée partielle de u par rapport à une certaine variable x k, k étant entre 1 et d, est égale à i, xi k, transformée de Fourier de u. En utilisant cette formule deux fois, et en sommant en k égal 1 à d, nous trouvons la transformée de Fourier de moins laplacien de u. Transformée de Fourier de moins laplacien u, est égale à moins somme de k égal 1 à d, de i, xi k au carré, multiplié par u chapeau. Et donc ceci, comme i carré vaut moins 1, c'est tout simplement la norme de xi au carré, multiplié par u chapeau; u chapeau de xi. Dans l'exercice nous supposons que, moins laplacien u, plus u est une fonction de L 2. C'est une combinaison linéaire particulière de u et de ses dérivées secondes. En particulier, comme moins laplacien u plus u est dans L 2, sa transformée de Fourier est également dans L 2. Et sa transformée de Fourier, nous venons de la calculer, c'est tout simplement xi carré plus 1, multiplié par la transformée de Fourier de u. Maintenant nous allons utiliser une inégalité très simple qui ressemble à celle que nous avons utilisée pour la question petit a, quel que soit le multiindice alpha, de N puissance d, de longueur inférieure ou égale à 2, c'est-à -dire qu'on le dérivera à des ordres inférieurs ou égals à 2. Nous savons que xi puissance alpha, multiplié par u chapeau de xi, est majoré par xi carré plus 1, multiplié par module de u chapeau de xi. Or, cette dernière expression appartient à L 2. Nous allons nous le vérifier. Donc, quel que soit alpha, de longueur inférieure ou égale à 2, xi, alpha, u chapeau de xi appartient à L 2. Or xi alpha, u chapeau de xi est égal, d'après le cours, à moins i, puissance la longueur de alpha, mulptiplié par la transformée de Fourier de d alpha u. Donc, la transformée de Fourier de d alpha u, appartient à L 2. Mais nous savons que si la transformée de Fourier appartient à L 2, alors d alpha u appartient également à L 2. Et c'est bien ce qu'il fallait démontrer dans cette question. Donc nous voyons que, à partir d'une hypothèse sur u, moins laplacien u, appartient à L2, nous avons pu en déduire, par les techniques de Fourier, et de façon très simple, que u, les dérivées partielles de u par rapport à toutes les directions, les dérivées partielles secondes de u par rapport à n'importe quelle directions, sont toutes des fonctions de L 2.
