Nous vous proposons ici un exercice assez complet où d'abord nous définissons la transformée de Hilbert d'une fonction f de L 2 sur R. Dans une première question, nous donnons les propriétés disons, élémentaires, mais fondamentales, de la transformée de Hilbert, d'une fonction L 2. Dans une deuxième question nous calculerons la transformée de Hilbert d'une fonction simple explicitement, qui est la fonction 1 sur 1 plus x au carré, et dans la troisième question, nous allons résoudre une équation à dérivée partielle linéaire qui implique la transformée de Hilbert. Cette équation est assez proche de l'équation de la chaleur vue dans le cours, avec des variantes, qui vont utiliser les propriétés vues dans les questions a et b de cet exercice. Pour la première question, nous allons remarquer, d'abord, que la transformée de Hilbert est bien définie. En effet, si nous considérons une fonction f, dans L 2 de R, nous savons, d'après le cours, que sa transformée de Fourier est également dans L 2 de R. Comme la fonction signe est une fonction bornée, elle prend soit la valeur 1, soit la valeur moins 1, moins i, multiplié par le signe de xi, multiplié par f chapeau de xi, est également une fonction de L 2. Ainsi nous pourrons définir sa transformée de Fourier inverse que nous appelons jf, la transformée de Hilbert de f. Alors cette transformée de Hilbert de f est bien une fonction de L 2. Une remarque très simple, qui résulte de la linéarité de la transformée de Fourier consiste à dire que grand J est linéaire en f, c'est-à -dire que grand J de f1 plus f2 est égal à grand J de f1 plus grand J de f2, et grand J de lambda f, lambda est un scalaire, est bien égal à lambda grand J de f. Ceci est vérifié très facilement grâce aux propriétés de linéarité de la transformée de Fourier. Maintenant nous allons calculer la norme de grand J. C'est un calcul simple, qui consiste à utiliser la formule de Plancherel, c'est-à -dire de comparer la norme L 2 d'une fonction avec la norme L 2 de sa transformée de Fourier. La norme L 2 de Jf est égale d'après le cours, à 2 pi puissance un demi, puisque nous sommes en dimension 1, multipliée par la norme L 2 de la transformée de Fourier de Jf. Mais la norme L 2 de la transformée de Fourier de Jf, c'est la norme L 2 de moins i, signe de xi, multipliée par f chapeau. Mais le signe de xi est de module égal à 1, i également, est de module égal à 1. Donc nous trouvons tout simplement que c'est la norme L 2 de f chapeau. Et maintenant en utilisant à nouveau la formule de Plancherel sur f f chapeau, nous trouvons que ceci est égal à la norme L 2 de f. Et donc J est bien un opérateur borné de L 2 dans L 2, et il est de norme égale à 1. Donc J, en tant qu'opérateur linéraire sur L 2, est de norme égale à 1. Nous allons maintenant calculer l'adjoint de l'opérateur J. Pour cela nous considérons f et g, deux fonctions de L 2 de R, et nous allons calculer le produit scalaire f, grand J de g, où les parenthèses désignent le produit scalaire dans L 2. Par la formule de Plancherel, à nouveau, ceci est égal à 1 sur 2 pi, multiplié par la transformée de Fourier de f, produit scalaire avec la transformée de Fourier de grand J de g. En utilisant la définition de grand J et g, ceci est égal à 1 sur 2 pi, multiplié par le produit scalaire de f chapeau par moins i, signe de xi, g chapeau. Maintenant, je vais faire passer le moins i, signe de xi, je vais le faire passer dans le membre de gauche du produit scalaire. Donc nous trouvons ainsi, donc le signe change parce que, par le caractère ermissien du produit scalaire, moins i devient plus i, et donc ceci s'écrit de la façon suivante: moins 1 sur 2 pi, produit scalaire de moins i signe de xi, je préfère garder moins i signe de xi dans le membre de gauche, pour reconnaître ensuite la transformée de Hilbert de f, donc ici nous avons reconstitué la transformée de Fourier de grand J de f, scalaire g chapeau. Et donc nous trouvons tout simplement moins 1 sur 2 pi, transformée de Fourier de Hilbert de f chapeau, g chapeau. En utilisant pour une dernière fois l'identité de Plancherel, nous trouvons moins produit scalaire de Jf, avec g. Nous avons ainsi démontré que l'adjoint de grand J est égal à moins grand J. Nous allons maintenant nous intéresser au calcul de J au carré, c'est-à -dire que nous allons appliquer l'opérateur grand J deux fois à une fonction f. Pour cela nous allons simplement utiliser la définition de grand J à l'aide de la transformée de Fourier. J carré f Fourier est égal, tout simplement, à moins i, signe de xi, multiplié par transformée de Fourier de Jf. Donc j'ai appliqué la formule de la transformée de Fourier de Jf une fois. Maintenant je l'utilise une deuxième fois, j'aurai moins i au carré, qui fait moins 1, multiplié par le signe de xi au carré, ceci sera très simple, c'est une fonction qui est presque partout égale à 1, multiplié par la transformée de Fourier de f. Donc ceci est égal tout simplement à moins transformée de Fourier de f. On en déduit tout simplement que, J carré est égal à moins l'identité de L 2. En particulier, J est inversible, et son inverse est égal à moins J. Donc ce n'est pas demandé dans l'exercice, mais de ces calculs on pourrait déduire les valeurs propres, de grand J qui sont plus i et moins i, comme il est facile de vérifier sur, après ce calcul. Dans la deuxième question, la question petit b, nous allons calculer la transformée de Hilbert de la fonction 1 sur 1 plus x au carré. Donc nous allons calculer grand J, appliqué à 1 sur 1 plus x au carré. Il est facile de vérifier que 1 sur 1 plus x au carré est bien une fonction L 2. Pour cela nous avons besoin d'un calcul préliminaire, qui est le calcul de la transformée de Fourier de l'exponentielle de moins valeur absolue de x. Il est bien connu, et nous allons le vérifier à nouveau, que la transformée de Fourier de la fonction exponentielle moins valeur absolue de x est égale à 2 divisé par 1 plus xi au carré. Pour démontrer cette formule classique, nous allons utiliser la définition de la transformée de Fourier d'une fonction, transformée de Fourier de la fonction exponientielle moins valeur absolue de x, au point xi, est égale à l'intégrale sur R de l'exponentielle moins i, x xi, exponentielle moins valeur absolue de x, dx. Pour calculer cette intégrale sur R, et pour gérer en particulier la valeur absolue que nous avons dans l'exponentielle, nous allons couper l'intégrale en deux morceaux, x positif et x négatif. Pour x positif nous trouvons exponentielle moins i, x xi, exponentielle moins x, dx, et pour x négatif, l'intégrale pour x négatif de exponentielle moins i, x xi, exponentielle x, dx. Donc maintenant qu'il n'y a plus de valeur absolue dans ces expressions, il est facile de calculer les primitives. Ce sont les primitives d'exponentielles en x, dans le premier terme, la contribution de l'infini sera zéro, puisqu'il y a une exponentielle moins x, et que le premier facteur a lui un module égal à 1. Donc nous avons seulement la contribution du terme en zéro, qui donne d'après le calcul des primitives, 1 sur 1 plus i xi. Plus, donc la contribution de la partie pour x est négatif, dans cette intégrale, à nouveau, la contribution de moins l'infini est égal à zéro grâce au facteur exponentiel x. Et donc nous obtenons seulement la contribution pour x égal à zéro, qui par le calcul de la primitive donne 1 sur 1 moins i, xi. En sommant ces deux fractions, nous trouvons 2, divisé par 1 plus xi au carré. Ce calcul démontre donc la formule annoncée pour la transformée de Fourier de l'exponentielle moins valeur absolue de x. Maintenant, nous voulons en déduire la transformée de Fourier de la fonction 1 sur 1 plus x au carré. Dans un premier temps, nous allons dire que la transformée de Fourier de cette fonction, est égale à 2 pi, fois la transformée de Fourier inverse, de 1 sur 1 plus x au carré. Cette formule vient du cours, et de l'observation que la fonction 1 sur 1 plus x au carré est une fonction paire. Maintenant, d'après le calcul précédent, la transformée de Fourier inverse de 1 sur 1 plus x au carré est égale à un demi de exponentielle moins valeur absolue de xi. Et donc, au final nous trouvons que la transformée de Fourier de 1 sur 1 plus x au carré est égale à pi, multiplié par l'exponentielle de moins valeur absolue de xi. Ceci est la première étape, pour calculer la transformée de Hilbert de 1 sur 1 plus x au carré. Pour terminer le calcul de la transformée de Hilbert de la fonction 1 sur 1 plus x au carré, nous allons utiliser la définition de la transformée de Hilbert d'une fonction à partir de sa transformée de Fourier. Donc, nous écrivons que, la transformée de Fourier, de la transformée de Hilbert de 1 sur 1 plus x au carré, que nous cherchons à calculer, est par définition égale à moins i, multiplié par le signe de xi, multiplié par la transformée de Fourier, de 1 sur 1 plus x au carré. Par le calcul de la page précédente, nous trouvons ainsi moins i multiplié par pi, multiplié par le signe de xi, multiplié par la fonction exponentielle moins valeur absolue de xi. Ici, il est important de faire une observation, c'est que moins le signe de xi, multiplié par l'exponentielle de moins valeur absolue de xi, c'est tout simplement la dérivée par rapport à xi, de l'exponentielle de moins valeur absolue de xi, au sens des distributions. Donc ceci est égal à i, pi, dérivée par rapport à xi de l'exponentielle de moins valeur absolue de xi. Alors, ceci est vrai parce que la dérivée, au sens des distributions, de la valeur absolue de xi, est égale tout simplement à signe de xi. Grâce à cette remarque, nous allons pouvoir finir le calcul de la transformée de Hilbert de 1 sur 1 plus x au carré. En effet, nous pouvons dire maintenant que J de 1 sur 1 plus x au carré, qui est égal à i, pi, Fourier inverse de la dérivée par rapport à xi, de l'exponentielle de moins valeur absolue de xi, est égale, d'après le cours, qui donne des relations entre la transformée de Fourier, de la dérivée, et la multiplication par rapport à x de la transformée de Fourier, formule que nous pouvons appliquer également à la transformée de Fourier inverse. Nous trouvons ici i, pi, multiplié par moins i, x, multiplié par la transformée de Fourier inverse de l'exponentielle de moins valeur absolue de xi. Donc maintenant, nous pouvons regrouper i fois moins i, c'est égal à 1, donc c'est très simple. Et nous pouvons utiliser le calcul précédent de la transformée de Fourier inverse de l'exponentielle moins xi. Et donc, nous trouvons x sur 1 plus x au carré. Donc la formule que nous avons trouvée, cette transformée de Hilbert de 1 sur 1 plus x au carré, est égale à x sur 1 plus x au carré. Ce n'est pas demandé dans l'exercice, mais on peut, en utilisant la question petit a, en appliquant J au carré est égal à moins l'identité, observer que la transformée de Fourier de la fonction x sur 1 plus x au carré, est égale à moins 1 sur 1 plus x au carré. Ceci conclut la deuxième question de l'exercice. Dans la troisième question de cet exercice, on nous demande de résoudre une équation à dérivées partielles, d'évolution, donc où il y a une variable particulière qui s'appelle le temps, l'autre variable est la variable d'espace, x appartient à R. Cette équation à dérivées partielles implique la transformée de Hilbert, d'une fonction, que nous venons de définir. Donc l'équation s'écrit d u sur d t, plus d sur d x, de J u est égale à zéro. Nous cherchons à la résoudre pour des temps positifs, pour x appartient à R, et nous allons accompagner cette équation d'évolution par une donnée initiale, u au temps zéro, et en x, est égale à un g de x, une fonction g de x initiale. Nous allons procéder d'une façon très comparable à ce qui a été fait en cours, pour résoudre l'équation de la chaleur, ou l'équation de Schrödinger. Nous allons voir que cette équation a une grande analogie avec l'équation de la chaleur. Nous allons donc utiliser ce que nous avons appelé dans le cours la transformée de Fourier partielle, de u, c'est-à -dire que nous allons utiliser la transformée partielle de u par rapport à la variable x. La variable de temps n'est pas concernée par la transformée de Fourier. Dans cette transformée de Fourier partielle, nous l'appelons u chapeau, de t et de xi. Nous allons voir que cette transformée de Fourier partielle vérifie une équation plus simple que l'équation de u. Pour cela, prenons la transformée de Fourier de l'équation. Comme la variable de temps n'est pas concernée par la transformée de Fourier, la transformée de Fourier partielle de d u sur d t, c'est tout simplement d sur d t de la transformée partielle de u, par rapport à x. Donc le premier terme donne: d, u chapeau, sur d t. Maintenant regardons le deuxième terme. Dans le deuxième terme il y a une dérivée par rapport à x. Nous savons que la transformée de Fourier de la dérivée par rapport à x d'une distribution est égale à i, xi fois la transformée de Fourier. Donc nous trouvons i, xi, multiplié par la transformée de Fourier de J u. Maintenant, nous allons utiliser la définition de la transformée de Hilbert de u, qui est moins i, fois le signe de xi, fois u chapeau. Et donc, nous observons que i, xi, multiplié par moins i, signe de xi, tout ceci donne tout simplement la valeur absolue de xi. Et donc, l'équation qui nous est proposée, une fois utilisée la transformée de Fourier, se simplifie de la façon suivante, d, u chapeau, sur d t, plus valeur absolue de xi, multipliée par u chapeau, est égale à zéro. Donc, nous voyons que l'opérateur un peu compliqué en x, d sur d x de J u, s'est transformé, dans les variables Fourier, en une mutliplication par la valeur absolue de xi, ce qui est beaucoup plus simple. Maintenant cette équation est complétée par les données initiales, que nous pouvons écrire en Fourier. Et donc, nous avons u chapeau de zéro, et de xi, est égale à g chapeau de xi. Comme pour l'équation de la chaleur dans le cours, nous pouvons résoudre ces équations en considérant xi, un paramètre fixé, et en résolvant une équation différentielle ordinaire, en temps, dans la variable de temps. Nous trouvons, ainsi, que u chapeau de t et de xi, doit être égal à u chapeau de zéro, et de xi, multiplié par exponentielle moins valeur absolue de xi, multipliée par t. Donc ceci est égal à g chapeau de xi, multiplié par exponentielle moins xi, valeur absolue de xi, fois t. Maintenant, nous allons utiliser des propriétés vues en cours, entre le produit, la transformée de Fourier, et le produit de convolution. Nous savons que le produit ponctuel de la transformée de Fourier de deux fonctions, est égal à la transformée de Fourier du produit de convolution. Donc ici, cela nous donne que u chapeau de t, et de xi, est égale à la transformée de Fourier, de la transformée de Fourier inverse de g chapeau, donc c'est tout simplement la fonction g, convolée avec la transformée de Fourier inverse de la fonction exponentielle moins valeur absolue de xi multipliée par t, donc en appliquant la transformée de Fourier inverse à cette formule nous trouvons que u de t et de x est égale à la fonction g, convolée avec la fonction Fourier moins 1, de l'exponentielle moins valeur absolue de xi, fois t. Pour terminer l'exercice, il nous reste à calculer la transformée de Fourier inverse de la fonction exponentielle moins, et multipliée par la valeur absolue de xi. C'est donc la dernière étape de la résolution de cet exercice, calcul de ce que je vais appeler Gt de x, est égale à transformée de Fourier inverse, de l'exponentielle moins valeur absolue de xi, fois t. Donc nous savons calculer la transformée de Fourier inverse de l'exponentielle moins xi, moins valeur absolue de xi. Et donc, nous allons utiliser la formule reliant la transformée de Fourier, et le changement de variable, que nous avons vu dans un exercice précédent, pour finir ce calcul. Gt de x est égale à 1 sur t, Fourier moins 1, de la fonction exponentielle moins valeur absolue de xi, appliquée au point x sur t, donc la formule que je viens d'écrite, que je viens d'écrire, est déduite de l'exercice que nous avons fait précédemment, sur la relation entre la transformée de Fourier, et les changements de variable. Et donc, ici, comme nous connaissons la transformée de Fourier inverse de l'exponentielle moins xi, nous pouvons en déduire que Gt de x est égal à 1 sur pi, 1 sur t, 1 sur 1 plus x au carré, mais appliquée au point x sur t, donc nous trouvons 1 sur 1 plus x sur t au carré. Alors cette formule se simplifie un petit peu, en multipliant le numérateur et le dénominateur par t, et nous trouvons 1 sur pi, multiplié par t, divisé par t carré plus x au carré. Nous avons trouvé, de façon générale, une formule pour la solution de l'équation proposée, sous la forme u de tx, est égale à la donnée initiale g, convolée avec Gt, pris au point x, où Gt de x, c'est la fonction écrite au-dessus: 1 sur pi multiplié par t sur t carré plus x au carré. Cette fonction-là , grand G de t de x, est la solution élémentaire de l'équation proposée, sur R. Nous avons donc bien résolu l'équation, pour toute donnée initiale g, dans L 2. De même que pour l'équation de la chaleur, il est assez facile de vérifier que cette équation est régularisante, c'est-à -dire que la solution, en fait, pour t strictement positif, est plus régulière que la condition initiale, grâce aux propriétés de régularité de la fonction Gt de x, et aux propriétés du produit de convolution.
