Alors, dans ce cours, nous allons commencer par étudier un premier exemple d'équation aux dérivées partielles qui est l'équation de Poisson. Alors, l'équation de Poisson intervient dans plusieurs branches de la physique, en particulier, en électrostatique. C'est l'équation qui régit le potentiel électrostatique créé par une distribution de charges. Alors, l'équation de Poisson se formule de la manière suivante : on considère comme inconnue, une fonction, ou une distribution petit f sur un ouvert oméga de R N, et l'équation de Poisson consiste à demander que moins laplacien de f soit égal à S, où S est une fonction, ou une distribution donnée sur oméga. Alors, l'équation aux dérivées partielles moins laplacien de f égal S ne suffit pas à déterminer entièrement f. De même, d'ailleurs, qu'une équation différentielle ordinaire ne suffit pas à déterminer entièrement ces solutions, en général, il faut y ajouter des conditions au bord. Alors, il y a plusieurs exemples classiques de conditions au bord qui sont bien adaptées à l'équation de Poisson. Alors, le premier exemple, qui est celui que nous allons étudier, c'est celui où l'ouvert oméga est l'espace euclidien R N tout entier, et où on impose que f converge, par exemple, vers zéro à l'infini, ce qui est la condition naturelle. Une autre classe de problèmes correspond à considérer le cas où oméga est un ouvert à bord de classe C1 de R N. Et là , on doit prescrire une condition sur le bord de oméga pour l'inconnu petit f. Cette condition peut être, par exemple, la condition de Dirichlet qui consiste à prescrire la restriction de f au bord de oméga, ou bien la condition de Neuman qui consiste à prescrire la dérivée normale de f restreinte à , au bord de oméga, égale à zéro. Bien sûr, on peut imaginer une combinaison des deux conditions. On peut avoir la condition de Neuman sur une partie du bord, la condition de Dirichlet sur une autre partie du bord. On peut avoir un mélange entre condition de Neuman et de Dirichlet, au sens où on a une combinaison linéaire de la dérivée normale sur le bord, et de f qui prend une valeur donnée. Il y a, évidemment, beaucoup d'autres exemples de conditions au bord, auxquelles on peut penser pour l'équation de Poisson. Mais dans ce qui va suivre, nous allons nous intéresser exclusivement au cas où oméga est un ouvert de R N, et où on impose que f tend vers zéro à l'infini. Donc, le problème que nous allons considérer consistera à résoudre, dans D prime de R N, l'équation de Poisson, moins laplacien de f égal S, où S est une distribution à support compact donnée sur R N. Donc, S est un élément de E prime de R N, et on sait déjà qu'il existe au moins une solution au sens des distributions, à ce problème. Solution qui est donnée par le produit de convolution U N étoile S, où U N est une solution élémentaire du laplacien. Plus exactement, une solution élémentaire de l'opérateur, moins laplacien, typiquement celle tendant vers zéro à l'infini que nous avons calculée dans les cours précédents. Alors, comme je l'ai déjà mentionné, résoudre cette équation-là , bien sûr, on sait qu'il existe une solution, mais cela pose plusieurs questions, la première étant la question de l'unicité. Est-ce que la solution qui est donnée par la formule U N étoile S, produit de convolution de la solution fondamentale, solution élémentaire par S, est-ce l'unique solution tendant vers zéro à l'infini? Donc, cette question de l'unicité, évidemment, puisqu'il s'agit d'une équation linéaire, l'équation de Poisson est linéaire, l'opérateur moins laplacien est linéaire. Cette question de l'unicité est parfaitement équivalente au fait de déterminer le noyau de l'application linéaire delta vue comme application linéaire de D prime R N dans lui-même. Ensuite, une question qui est liée au comportement à l'infini, même dans l'énoncé du problème. Cela a-t-il un sens de parler de cette condition à l'infini qui stipule que f doit tendre vers zéro à l'infini, sachant que f, a priori, est seulement une distribution? Qu'est-ce que cela veut dire que demander que f tend vers zéro à l'infini? Et puis, une dernière question, bien sûr, c'est la question de la régularité. Si cette distribution à support compact sur R N, si je suppose que sa restriction à un ouvert oméga de R N est de classe C infini, est-ce que je pourrai en déduire que la solution sera elle-même de classe C infini sur ce même ouvert? Alors, nous allons commencer par la première question, qui consiste à étudier le noyau de l'application linéaire laplacien, de l'espace des distributions dans lui-même, et étudier ce noyau, cela revient à étudier ce que l'on appelle les fonctions harmoniques. Alors, je commence par rappeler la définition. Soient oméga ouvert de R N, et f, une fonction de classe C2 sur oméga. Eh bien, on dit que la fonction f est harmonique sur oméga, si et seulement si, son laplacien est nul sur oméga. Alors, on connaît de nombreux exemples de fonctions harmoniques. Par exemple, en dimension 1, lorsque N égal 1, et lorsque oméga, par exemple, est un intervalle de R. Eh bien, on sait, c'est immédiat, que les fonctions harmoniques sur oméga sont les restrictions à oméga de fonctions affines sur R. Donc, c'est les fonctions qui à x associent a x plus b, où a et b sont deux constantes réelles. Un petit peu compliqué, en dimension 2 d'espace, prenons un ouvert oméga de R 2, R 2 que l'on identifie au plan complexe C. Alors, on sait que si u est une fonction holomorphe sur l'ouvert oméga, alors forcément, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont des fonctions harmoniques dans oméga. C'est un des résultats élémentaires sur les fonctions holomorphes d'une variable complexe. Donc, on a là , un moyen de fabriquer un très grand nombre de fonctions harmoniques sur des ouverts de R 2. Alors, le cas de la dimension 2 fait clairement le lien entre les fonctions harmoniques sur des ouverts de R 2, et les fonctions holomorphes sur les ouverts de C. On sait que pour les fonctions holomorphes, il y a une propriété extrêmement importante qui est la fomule de Cauchy. Eh bien, nous allons montrer qu'il existe, pour les fonctions harmoniques, une propriété qui est semblable, enfin qui rappelle la formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes, propriété dite de la moyenne pour les fonctions harmoniques. Cette propriété caractérise les fonction harmoniques, et elle n'est pas vraie, seulement en dimension 2, elle est vraie en toute dimension. Alors, voici comment elle s'énonce : soit oméga, ouvert de R N, une fonction petit f de classe C 2 sur oméga, et harmonique dans oméga, si et seulement si, pour tout point x zéro de oméga, tout R réel, strictement positif, telle que la boule fermée de centre x zéro, et de rayon r est contenue dans oméga. Eh bien, on a la formule f de x zéro est égale à la moyenne sur la sphère unité de R N de f de x zéro plus r oméga intégrée avec l'élément de surface sur la sphère unité. Autrement dit, c'est 1 sur la mesure de la sphère unité de R N fois l'intégrale sur la sphère unité de R N de f de x zéro plus r oméga, d sigma de oméga, où sigma désigne l'élément de surface sur S N moins 1. Voyons, rapidement, comment fonctionne la démonstration. Je vais la faire dans le cas N égal 2 ou 3, parce que c'est le cas où nous avons expliqué ces notions de, d'éléments de surface. Mais évidemment, la démonstration se généralise en dimension plus grande. Donc, soit f de classe C 2 sur oméga, soit x zéro dans oméga, et soit petit r réel positif qui est inférieur à la distance de x zéro au bord de oméga. Alors, commençons par calculer R à la puissance N moins 1, d sur dr de l'intégrale sur la sphère unité, de f de x zéro plus r oméga d sigma de oméga. Comme f est de classe C 2, on a le droit de dériver sous le signe somme, et si on fait ça, eh bien on trouve que cette expression est égale à r à la puissance N moins 1, intégrale sur la sphère unité, de oméga scalaire le gradient de f calculé au point x zéro, plus r oméga d sigma de oméga. Bien. Mais, maintenant, on peut faire le changement de variable consistant à poser y égal x zéro plus r oméga, autrement dit, maintenant, au lieu d'intégrer sur la sphère unité de R N, on va intégrer sur la sphère, centrée en x zéro et de rayon petit r, de R N. Et bien sûr, sur cette sphère, eh bien le vecteur oméga va être la normale unitaire extérieure au point y égal x zéro plus petit r oméga. Autrement dit, cette dernière intégrale, vaut l'intégrale sur le bord de la boule de centre x zéro et de rayon r, sur la sphère centre x zéro rayon r si on veut, de gradient f de y, scalaire n de y, et le pré-facteur r puissance N moins 1 se combine avec l'élément de surface d sigma de oméga sur la sphère unité pour fournir l'élément de surface, dS de y, sur la sphère, de centre y zéro et de rayon petit r. Par homogénéité évidemment, il s'agit d'un élément de surface en dimension 3, donc il se multiplie par r 2 lorsqu'on multiplie le rayon de la sphère par r. Il s'agit d'un élément de longueur dimension 2, qui se multiplie donc par petit r lorsqu'on multiplie le rayon du disque par petit r. Bien, maintenant cette dernière intégrale se traite en utilisant la formule de Green-Ostrogradsky, puisqu'il s'agit du flux du champ de vecteur gradient de f à travers le bord de la boule de centre x et de rayon r. Par conséquent cette dernière intégrale est égale à l'intégrale sur la boule de centre x zéro et de rayon r, du laplacien de f, de y, dy. Autrement dit, on vient de démontrer que r à la puissance N moins 1, d sur dr, de l'intégrale sur Sn moins 1 de f de x zéro plus r oméga, d sigma de oméga, est égal à l'intégrale sur la boule, de centre x zéro et de rayon r, de laplacien de f de y, dy. Alors maintenant, si on sait que f est harmonique dans oméga, le laplacien est nul, et par conséquent l'intégrale de f de x zéro plus r oméga, d sigma de oméga c'est une fonction constante de la variable petit r, en particulier cette constante est égale à sa valeur quand petit r égal zéro. La valeur en petit r égal zéro, c'est f de x zéro, fois la mesure de la sphère unité, ce qui est précisément la formule de la moyenne. Réciproquement, si f vérifie la propriété de la moyenne, eh bien l'intégrale sur Sn moins 1, de f de x zéro plus r oméga, d sigma de oméga, est indépendant de r, c'est une fonction constante en petit r. Et la formule précédente montre que du coup, l'intégrale de laplacien de f de y, dy est égale à zéro pour toute boule B incluse dans oméga. Mais comme f est de classe C 2, la fonction laplacien de f, c'est une fonction continue dont l'intégrale est nulle sur toute boule incluse dans oméga. Par conséquent, laplacien de f égal à zéro. Voilà donc la démonstration de l'équivalence entre la propriété de la moyenne et le fait, pour une fonction, d'être harmonique. Alors, passons en revue les premières applications de la propriété de la moyenne. La première, dont nous allons nous servir et qui est tout à fait élémentaire, c'est le théorème de Liouville, analogue au théorème de Liouville, sur les fonctions holomorphes, mais qui ici vaut en dimension quelconque, et qui est une conséquence de la propriété de la moyenne, et qui dit que toute fonction harmonique sur l'espace euclidien dimension N, toute fonction harmonique sur R N, tendant vers zéro à l'infini, est identiquement nulle sur R N. Démonstration : on écrit la formule de la moyenne, f de x zéro est égal à la moyenne sur la sphère unité de f de x zéro plus r oméga, moyenne par rapport à l'élément de surface sur la sphère unité. On fait tendre r vers l'infini, l'intégrant converge vers zéro. On intègre pour une mesure qui est de masse totale finie. Donc par convergence dominée, l'intégrale converge vers zéro, et on voit ainsi que f de x zéro est égal à zéro, quel que soit x zéro dans R N, autrement dit, f est identiquement nulle. Alors nous aurons également besoin de la variante suivante de la propriété de la moyenne, qui consiste simplement à dire que dans la propriété de la moyenne classique, on prend la moyenne de f sur des sphères. En réalité on peut prendre la moyenne de f sur des boules ou même plus généralement, on peut faire l'opération suivante: donc soit oméga ouvert de R N, f de classe C 2 sur oméga harmonique, et comme avant je prends un point x zéro de oméga et je prends un petit r réel positif inférieur, strictement à la distance de x zéro au bord de oméga de sorte que la boule fermée de centre x zéro et de rayon r, est tout entière incluse dans oméga. Et à cela, j'ajoute la donnée d'une fonction continue psi, continue sur R plus, eh bien, si f est harmonique, donc la formule de la moyenne implique que f de x zéro multipliant l'intégrale sur la boule de centre zéro et de rayon r de psi de norme de y dy, est égale à l'intégrale sur la boule de centre zéro et de rayon r, de f de x zéro plus y, psi de norme de y, dy. Autrement dit, au lieu de moyenner sur une sphère, sur la sphère de centre zéro et de rayon r, pour l'élément de surface sur la sphère, on est ici en train de moyenner sur la boule de centre zéro et de rayon r, pour la mesure, de masse totale un, proportionnelle à la mesure psi de norme de y, dy. Alors voyons comment cette identité fonctionne. Alors on passe en coordonnées polaires en dimension N égal 2, ou en coordonnées sphériques en dimension N égal 3, on pose y égal petit r oméga, avec petit r qui est la norme de y, et oméga qui est donc un vecteur unitaire donc un élément de la sphère unité. L'élément de volume vaut dy égal r à la puissance, la dimension moins 1, dr, d sigma de oméga où sigma est l'élément de surface sur la sphère unité. Et on calcule. Eh bien l'intégrale sur la boule de centre zéro et de rayon r, de f de x zéro plus y, psi de norme de y, dy. C'est égal à l'intégrale de zéro à r, de psi de rau, intégrale sur la sphère unité de f de x zéro plus rau oméga, d sigma de oméga, rau puissance n moins 1, d rau. Maintenant l'intégrale interne, en utilisant la formule de la moyenne, ça vaut la mesure de la sphère unité fois f de x zéro. Chose qui va donc multiplier l'intégrale de zéro à petit r, de psi de rau, rau à la puissance N moins 1, d rau. Et cette dernière intégrale maintenant, c'est précisément, une fois qu'on l'a multipliée par la mesure de la sphère unité, c'est précisément l'intégrale de psi de norme de y, dy, sur la boule de centre zéro et de rayon r, en utilisant de nouveau l'expression de l'élément de volume, pour les coordonnées sphériques en dimension N égal 3, ou l'élément de surface pour les coordonnées polaires en dimension N égal 2. Alors maintenant, avec ces deux propriétés en particulier avec la seconde, qui sont des applications de la formule de la moyenne, des propriétés de la fonction harmonique Nous pouvons étudier la question de la régularité des distributions harmoniques. Alors, d'abord commençons par définir de quoi il s'agit. Définition : soit oméga ouvert de R N, et T une distribution sur oméga. Eh bien de même que pour les fonctions, on dira que T est une distribution harmonique sur oméga, si et seulement si son laplacien est nul au sens des distributions sur oméga. Alors, cette notion de distribution harmonique, a finalement, assez peu d'intérêt, grâce au théorème de régularité suivant : c'est que toute distribution harmonique dans oméga, est en fait une fonction, et même une fonction de classe C infini, sur oméga. Et donc une fonction harmonique, en plus une fonction harmonique de classe C infini dans oméga. Donc en particulier, les fonctions harmoniques dans oméga qui sont, a priori, seulement des fonctions de classe C 2 sur oméga, sont toujours des fonctions de classe C infini sur oméga. En résumé, l'énoncé consiste à dire que si T appartient à D prime de oméga, et si laplacien de T est égal à zéro dans D prime de oméga, alors forcément T appartient à C infini de oméga. Alors voyons rapidement comment fonctionne la démonstration dans le cas où oméga est l'espace euclidien R N tout entier. Alors je commence par prendre zeta epsilon zeta epsilon de norme de x qui est une suite régularisante radiale dans R N. Et j'insiste sur le fait que je dois choisir cette suite régularisante de façon à ce qu'elle soit radiale parce que je vais utiliser quelque part la propriété de la moyenne. Donc le choix d'une suite régularisante radiale est absolument essentiel ici. Alors, d'abord, premier point. Ce point-là n'utilise pas le fait que zeta epsilon est radiale. Il fonctionnerait avec n'importe quelle suite régularisante. D'abord zeta epsilon étoile T, produit de convolution de T par zeta epsilon, est une fonction harmonique de classe C infini. Alors c'est une fonction de classe C infini, comme produit de convolution d'une distribution par une fonction de classe C infini à support compact mais d'autre part c'est aussi une fonction harmonique parce que le laplacien de zeta epsilon étoile T, comme on sait, c'est zeta epsilon étoile la distribution laplacien de T, chose qui vaut zéro puisque laplacien de T est égal à zéro. Bien, maintenant, puisque zeta epsilon étoile T est une fonction harmonique de classe C infini, on peut lui appliquer la propriété de la moyenne, ou plus exactement la variante de la propriété de la moyenne à cette fonction zeta epsilon étoile T, et on va utiliser comme fonction psi intervenant pour définir la moyenne, sur la moyenne en volume, on va utiliser comme fonction psi la fonction zeta 1, donc l'élément zeta 1 de la suite régularisante radiale, et c'est à cet endroit-là qu'on utilise le fait que la fonction zeta 1 est radiale, et donc zeta epsilon étoile T, par la variante de la propriété de la moyenne, c'est égal à zeta 1 étoile, eh bien cette fonction harmonique, zeta epsilon étoile T. Bien. Puisqu'on a cette identité, on passe à la limite maintenant, dans chacun des membres de cette égalité lorsqu'epsilon tend vers zéro. Pour epsilon tendant vers zéro, zeta epsilon étoile T, converge vers T, au sens des distributions sur R N, zeta 1 étoile, zeta epsilon étoile T, converge donc vers zeta 1 étoile T au sens des distributions sur RN, et donc on se retrouve avec l'égalité : T égale zeta 1, étoile T. Mais zeta 1 étoile T, c'est le produit de convolution de la distribution T par une fonction de classe C infini à support compact, zeta 1, par conséquent, T est donc égal à une fonction de classe C infini sur R N égalité au sens des distributions. C'est la distribution définie par une fonction de classe C infini sur R N. On a donc démontré, dans le cas particulier de l'espace euclidien entier, la propriété de régularité C infini pour les distributions harmoniques. Alors regardons un petit peu plus en détail ce qui se passe si on ajoute à l'information qu'on a une distribution harmonique sur R N, le fait que cette distribution est tempérée. Ça c'est le deuxième théorème sur la structure des fonctions harmoniques dans R N. Toute distribution tempérée harmonique sur R N est un polynôme harmonique. Alors, voyons comment on fait la démonstration de cet énoncé. Et puis ensuite je le commenterai. Donc la démonstration utilise la transformation de Fourier. Donc, soit T distribution tempérée sur R N, de laplacien nul, eh bien je commence par dire que la transformée de Fourier de laplacien T c'est égal à moins norme de psi carré multipliant la transformée de Fourier de T mais comme laplacien T est égal à zéro, on trouve que moins norme de psi carré Fourier T est égal à zéro au sens des distributions sur R N. Mais cela évidemment entraîne que le support de Fourier T est inclus dans le singleton zéro et par théorème de structure des distributions à support dans un singleton, on en déduit que Fourier T est forcément une combinaison linéaire finie de la masse de Dirac en zéro et de ses dérivées partielles, liaison linéaire finie. Donc en appliquant la transformation de Fourier inverse à chacun des membres de cette égalité, on en déduit donc que T est de la forme : 1 sur 2 pi puissance N, soit le fini de moins i puissance, longueur de alpha, multipliant le monôme x puissance alpha, où alpha est un multiindice appartenant à l'ensemble fini indexant la somme décrite à droite de l'égalité. Bien. On voit ici que T est un polynôme. Et en plus, ce polynôme, il vérifie laplacien de T égal zéro, c'est un polynôme harmonique. Mais évidemment, il faut bien prendre garde au fait que dans l'énoncé du théorème 2, le mot tempéré est essentiel. On l'a vu dans la démonstration. La démonstration utilise de manière cruciale la transformation de Fourier. Et même, de fait, il existe des fonctions harmoniques sur R 2, qui ne sont pas des polynômes. Par exemple, si on prend les parties réelles ou imaginaires de la fonction holomorphe, qui à z, associe e puissance e z, qui est une fonction notoirement holomorphe sur C, eh bien on voit que les fonctions f de x,y, égale e puissance x cosinus y, ou g de x,y égale e puissance x sinus y, sont des fonctions harmoniques sur R 2, donc de classe C infini, mais évidemment ce ne sont pas des polynômes. Ce ne sont pas des polynômes parce que ce sont des fonctions qui ont une croissance à l'infini trop forte pour qu'elles puissent définir des distributions tempérées sur R 2.
