Nous allons étudier, dans ce cours, la notion de problème de Cauchy pour une équation aux dérivées partielles, au sens des distributions, et nous allons commencer par définir ce qu'est la notion de solution, au sens des distributions, d'un problème de Cauchy pour une équation aux dérivées partielles. Alors, je commence par rappeler ce qu'est un problème de Cauchy. Alors, un problème de Cauchy, pour une équation d'évolution, c'est une équation qui fait intervenir une variable de temps petit t, et une ou plusieurs variables d'espace notées petit x. Et donc, le problème de Cauchy consiste à trouver une solution de l'équation aux dérivées partielles d'évolution connaissant sa valeur pour une certaine valeur de la variable de temps. Donc, typiquement, il s'agit de trouver petit f, fonction ou distribution sur Rt croix R N, où t se promène dans R, et x se promène dans R N. Donc, trouver f, distribution en t et x, solution de l'équation aux dérivées partielles d rond tf plus P de Dx appliqué à f, égal à zéro, équation qui a lieu, au sens des distributions, dans R plus étoile croix R N, sachant que la restriction de f à t égale zéro, autrement dit, f pour t égal à zéro, f de zéro et de x pour tout x, est égal à f in, où f in est une distribution, ou une fonction donnée, sur R N, et où P, P de D est un opérateur différentiel sur R N qui donc, agit sur la variable x. Mais évidemment, formulé ainsi, on voit apparaître une énorme difficulté pour définir la notion de solution d'un tel problème, c'est que pour une distribution des variables t et x, donc, pour f appartenant à D prime de Rt croix R Nx, cela n'a aucun sens de parler de la restriction de f à l'hyperplan d'équation t égal à zéro, puisque cet hyperplan est un ensemble de mesures nulles dans Rt croix R Nx. Donc, il n'est pas possible de parler de la restriction d'une distribution à un tel ensemble. On sait parler de la restriction d'une distribution à un ouvert, et c'est tout. Donc, il va falloir remplacer cette condition de restriction de f à t égal à zéro donnée, qui a un sens parfaitement clair, pour les fonctions, il va falloir la remplacer par une autre donnée équivalente, mais qui, elle, fera sens dans le calcul des distributions. Et l'idée sera de voir la donnée initiale comme un terme source qui est localisé en t égale zéro. Autrement dit, comme un terme source qui est à support dans t égal à zéro, et donc, qui fait intervenir une masse de Dirac, et éventuellement des dérivées. cela on verra, des, une masse de Dirac en t égale zéro. Alors, voyons, tout de suite, comment cela fonctionne. Voyons déjà l'origine de cette idée. Qu'est-ce qui permet de penser qu'on va pouvoir remplacer une condition initiale par un terme source? Voyons comment cela fonctionne dans le cas d'une équation différentielle ordinaire, et pour cela, je vais considérer l'équation différentielle ordinaire du premier ordre la plus simple, y prime de t, plus a y de t égale S de t, équation qui est posée pour t strictement positif, sachant que y à t égale zéro est une valeur y zéro donnée. Donc, ici, bien sûr, l'inconnue, c'est la fonction y de la variable t. Les données sont la condition initiale y indice zéro, le terme source S de t, et puis bien sûr, la constante petit a, qui est un nombre réel. Alors, pour commencer, nous allons résoudre ce problème de Cauchy, pour l'équation différentielle ordinaire du premier ordre, y prime de t plus a y de t, égale S de t, avec y à t égale zéro, égale y zéro. Nous allons résoudre ce problème de Cauchy par la méthode de variation de la constante, méthode bien connue pour de telles équations différentielles ordinaires. Et lorsqu'on fait le petit calcul, on trouve que la formule donnant la solution est y de t égale exponentielle de moins a t y zéro, plus l'intégrale de zéro à petit t, de exponentielle de moins a, t moins tau, s de tau, d tau. Alors, maintenant, on va supposer que y zéro est égal à zéro. On va supposer, pour fixer les idées, que t est strictement plus grand que 1, et on va essayer de voir ce qui se passe si on met un terme de source qui est localisé en un temps, par exemple, t égale 1. Donc, je vais poser S égale y 1, delta 1, masse de Dirac en t égale 1, donc, qui est une distribution à support compact dans l'intervalle ouvert zéro t. Et, je vais copier la formule ci-dessus venant de la méthode de variation de la constante, en remplaçant l'intégrale sur le segment zéro t par le crochet de dualité E prime de zéro t, C infini de zéro t. Alors, évidemment, quand on fait ça, on trouve que y de t égal y 1, exponentielle de moins a t, masse de Dirac en tau égale 1, appliquée à la fonction qui à tau associe exponentielle de a tau. Et donc, lorsqu'on fait le calcul, on trouve, ça fait y 1, exponentielle de moins a t multipliant e puissance a. Autrement dit, c'est y 1, exponentielle de moins a, facteur de t moins 1. Mais la fonction qui à t associe y de t égale y 1, exponentielle de moins a, facteur de t moins 1, il est bien clair que c'est la solution du problème de Cauchy, y prime de t plus a y de t, égal à zéro, pour t plus grand que 1, sachant que y à t égale 1 vaut y 1. Conclusion. Dans le cas de l'équation différentielle ordinaire du premier ordre, que nous venons d'étudier, la condition initiale y pour t égale 1, égale y 1. Elle est bien équivalente au terme source S qui est y un delta en 1. Autrement dit, en un terme source qui est localisé en t égale 1. Alors maintenant, on va appliquer cette idée au cas d'une équation aux dérivées partielles d'évolution, et voir comment on peut la faire fonctionner. Donc, pour commencer, si f in est une fonction de classe C infini sur R N, et si f est une fonction de classe C infini des variables t et x, t dans R et x dans R N, et si f est solution du problème de Cauchy, d rond tf plus P de Dx appliqué à f égale zéro, avec f à t égale zéro, égale f in. Évidemment, ici, l'équation aux dérivées partielles, comme f est de classe C infini, c'est équivalent de dire que cette équation aux dérivées partielles a lieu au sens classique, ou qu'elle a lieu au sens des distributions, sur R plus étoile croix R N. Donc, on peut supposer que cette équation aux dérivées partielles a lieu au sens des distributions, on ne change rien en disant cela. Eh bien, regardons ce qui arrive à la fonction grand F de t et de x, que j'obtiens à partir de petit f en la tronquant pour les temps strictement négatifs. Autrement dit, je regarde grand F de t et de x qui est l'indicatrice que t est positif ou nul, multipliant petit f de t et de x. Eh bien, ce que je dis, c'est que cette fonction grand F va vérifier l'équation d rond t de grand F plus P de Dx appliqué à grand F, égale la distribution Dirac en t égal à zéro, produit tensoriel avec f in, équation qui, maintenant, est une équation aux dérivées partielles dans D prime de Rt croix R N, puisque grand F, elle, est définie sur Rt croix R N. L'équation sur grand F n'est pas une équation qui est restreinte au temps positif, c'est une équation qui vaut pour tous les temps, aussi bien négatifs que positifs. Alors, vérifions ça. Et pour vérifier ça, eh bien, la première chose à faire, c'est d'appliquer la formule de Leibnitz pour calculer, au sens des distributions, la dérivée en temps du produit de la fonction indicatrice que t est positif strictement, par f de t et de x. Alors, quand on fait le calcul, ce que l'on voit apparaître, c'est d'une part, f multipliant la dérivée, par rapport au temps de la fonction indicatrice en temps, qui est la masse de Dirac en zéro. Si on veut, c'est la même chose que f multipliant la masse de Dirac en zéro tens 1, plus évidemment, l'indicatrice que t est strictement positif, multipliant d rond tf. Et f multipliant Dirac en zéro tens 1, c'est la même chose que Dirac en zéro tens f restreint à t égal à zéro, c'est-à -dire f in. plus l'indicatrice, donc, t est strictement positif, t rond tf. Donc, d'autre part, évidemment, l'opérateur différentiel P de Dx, lui, ne voit pas la variable t et donc il commute à la multiplication par la fonction indicatrice, autrement dit P de Dx de grand F, donc de l'indicatrice que t est strictement positif fois petit f, c'est la même chose que l'indicatrice que t est strictement positif multipliant P de Dx petit f. Et donc, conclusion, on trouve bien que d rond t plus P de Dx appliqué à grand F, grand F qui est indicatrice que t positif fois petit f c'est égal à Dirac en zéro tens f in plus indicatrice que t est strictement positif multipliant d rond tf plus P de Dx fois f, mais d rond t de petit f plus P de Dx fois petit f, ça vaut zéro puisque f est solution de l'équation aux dérivées partielles donc au total d rond t de grand F plus P de Dx de grand F est égal à Dirac en zéro tens f in, qui était la condition initiale du problème de Cauchy que résolvait petit f. Bien, donc, à partir de ce calcul, eh bien on va définir la notion de solution d'un problème de Cauchy dans D prime en mettant en oeuvre cette idée que la condition initiale du problème de Cauchy est équivalente à un terme source, donc à un second membre, qui est localisé pour t égal zéro si zéro est l'origine des temps. Donc définition: on dira que une solution au sens des distributions du problème de Cauchy d rond t petit f plus P de Dx de petit f égal à zéro problème de Cauchy sur R plus étoile croix R N, avec donnée initiale f à t égale zéro égale f in, où, donc, f in c'est une distribution sur R N, est bien une solution au sens des distributions de ce problème de Cauchy, ce sera une distribution grand F qui, attention, sera une distribution sur R croix R N et pas seulement sur R plus croix R N, la solution au sens des distributions du problème de Cauchy elle est définie pour tous les temps, une distribution grand F sur Rt croix R Nx vérifiant les deux conditions suivantes: d'une part d rond t de grand F plus P de Dx de grand F égal Dirac en t égal zéro tens petit f in, condition initiale du problème de Cauchy, et d'autre part le fait que le support de grand F doit être inclus dans R plus croix R N. Évidemment, dans le calcul que l'on a fait, où on supposait que l'on avait une solution de ce problème de Cauchy petit f, qui était une fonction d'une classe C infini, la fonction grand F était définie à partir de petit f, en multipliant petit f par l'indicatrice de t strictement positif et évidemment le grand F ainsi obtenu était une fonction à support dans R plus croix R N. Donc évidemment on garde cette condition de support dans la définition d'une solution d'un problème de Cauchy au sens des distributions. Bien, alors maintenant que nous avons défini la notion de solution au sens des distributions d'un problème de Cauchy, voyons comment la notion de solution élémentaire dans le futur, c'est-à -dire à support dans les temps positifs pour un opérateur différentiel d'évolution, voyons comment on peut utiliser cette notion pour construire une solution d'un problème de Cauchy au sens des distributions. Donc soit P de Dx, opérateur différentiel, alors évidemment ici, linéaire à coefficients constants sur R N, et je supoose que il existe pour l'opérateur différentiel d rond t plus P de Dx, une solution élémentaire dans le futur notée grand E, alors solution élémentaire dans le futur, c'est-à -dire solution élémentaire qui est une distribution à support dans R plus croix R N, et je me donne une donnée initiale, une condition initiale f in qui est une distribution à support compact sur R N, f in est un élément de E prime sur R N. Alors la formule, E étoile Dirac en t égal zéro au tens f in produit de convolution de E par le produit tensoriel de Dirac en t égal zéro par f in, définit bien une solution au sens des distributions du problème de Cauchy d rond tf plus P de Dx petit f égal zéro sur R plus étoile croix R N sachant que f à t égal zéro égal f in. Alors, démontrons ce théorème: d'une part, comme f in est à support compact, eh bien la distribution Dirac en t égal zéro tens f in est également une distribution à support compact, puisque son support sera le produit cartésien du singleton zéro par le support de f in, mais comme le support de f in est compact, évidemment, lorsque j'en fais le produit cartésien par un singleton, je trouve que l'ensemble correspondant, donc le produit cartésien de zéro par le support de f in est un compact de R croix R N. D'après les formules fondamentales sur le produit de convolution des distributions, je sais que, évidemment j'ai le droit de parler du produit de convolution de la distribution E par la distribution à support compact Dirac en zéro tens f in, et j'ai le droit, également, chaque fois que je veux dériver ce produit de convolution, j'ai le droit de faire taper les opérateurs de dérivations, les monômes différentiels, les opérateurs différentiels, indifféremment sur l'un ou l'autre des facteurs du produit de convolution. Évidemment il est avantageux ici de faire taper l'opérateur différentiel sur la distribution E, et donc on trouve que d rond t plus P de Dx appliqué au produit de convolution de E par Dirac en zéro tens f in est égal à d rond t plus P de Dx appliqué à grand E qui est le premier facteur du produit de convolution, donc d rond t plus P de Dx appliqué à grand E, le tout convolé avec Dirac en t égal zéro tens f in. Mais E est une solution élémentaire de l'opérateur d rond t plus P de Dx, ce qui veut dire que D rond t plus P de Dx de la distribution E c'est Dirac en t égal zéro et en x égal zéro. Chose que je convole par Dirac égal zéro tens f in, le résultat, c'est Dirac en t égal zéro tens f in. D'autre part, lorsque je regarde le support du produit de convolution de E par Dirac en zéro tens f in, eh bien je sais qu'il est contenu dans l'addition des supports, donc le support de ce produit de convolution, est inclus dans l'addition du support de E, et du support de Dirac en zéro tens f in. Mais le support de E, par hypothèse, c'est R plus croix R N puisque E est une solution élémentaire dans le futur. D'autre part, le support de Dirac en zéro tens f in, comme on a vu, c'est le produit cartésien de zéro par le support de f in, eh bien quand j'additionne cet ensemble avec R plus croix R N, ce que je trouve, bien sûr, c'est un ensemble qui est contenu dans R plus croix R N. Et donc, je vois ainsi que le produit de convolution de E par Dirac en zéro tens f in vérifie les deux conditions permettant de dire que cette distribution est une solution au sens des distributions du problème de Cauchy d rond tf plus P de Df égal à zéro avec f à t égal zéro égal f in.
