Alors jusqu'ici nous avons étudié la généralisation aux distributions des règles de calcul locales qui sont bien connues sur les fonctions. Dérivation, produit, par une fonction régulière, changement de variables, tout cela sont des opérations qui sur des fonctions s'effectuent ponctuellement. Mais on souhaite également pouvoir appliquer au calcul des distributions, pour résoudre des équations aux dérivées partielles, en particulier, certaines opérations globales, comme le produit de convolution des fonctions et la tranformée de Fourier, bien connue dans le cadre des fonctions. Et pour définir ces opérations globales, qui sur des fonctions mettent en jeu des intégrales sur la droite réelle ou sur l'espace euclidien tout entier, eh bien on a besoin de développer des notions de croissance à l'infini pour des distributions. Alors dans le cas des fonctions ces notions de croissance à l'infini sont bien connues. On sait définir l'intégrale d'une fonction continue sur R N pourvu qu'elle décroit suffisamment vite à l'infini. Pour les distributions, cette notion de croissance à l'infini est un petit peu plus complexe, on y reviendra un petit peu plus tard dans ce cours lorsqu'on parlera de distributions tempérées, mais pour l'instant je vais introduire la notion la plus simple possible de croissance restreinte à l'infini puisqu'il s'agit de parler de distributions qui sont nulles à l'infini et qui sont nulles loin d'un compact, et en réalité il s'agit d'introduire la notion la plus simple qui est celle de distribution à support compact. Mais, avant de parler de distribution à support compact, je vais revenir sur la notion de support dans le cas des fonctions. Alors le support d'une fonction c'est une notion qui est bien connue en topologie. Soit X un espace topologique et f une fonction numérique définie sur X, c'est-à -dire une fonction définie sur X et à valeur dans R ou dans C, eh bien son support, c'est l'adhérence de l'ensemble des points de grand X pour lesquels f de x est différent de zéro. Alors cette définition, on voit tout de suite qu'on va avoir du mal à la généraliser au cas des distributions parce que on ne sait pas parler de la valeur d'une distribution en un point. En effet, si on pense à la masse de Dirac en zéro, ça a bien un sens de dire que en dehors de zéro cette distribution est nulle, en revanche ça n'a aucun sens d'essayer de définir une valeur de la masse de Dirac en zéro à l'origine. Donc il faut voir le support d'une fonction d'une manière différente et, la première observation qu'on peut faire, c'est qu'évidemment la définition du support d'une fonction telle qu'elle est donnée ci-dessus consiste à dire que le support de f est le plus petit fermé en dehors duquel f est identiquement nulle. Autrement dit, le support de f, c'est l'intersection de tous les fermés grand F appartenant à la famille f rond de petit f, où f rond de petit f c'est l'ensemble des fermés grand F de grand X, tel que petit f soit égal à zéro identiquement sur le complémentaire de grand F, complémentaire qui est un ouvert puisque grand F est fermé. Le support ainsi défini est bien fermé puisque c'est une intersection d'ensemble fermé dans grand X. Alors utilisons cette définition dans le cas des distributions. Je prends donc oméga ouvert de R N, T une distribution sur oméga, le support de T sera le plus petit fermé en dehors duquel T est nul, c'est-à -dire que le support de T sera l'intersection pour F fermé appartenant à la famille f rond de T, de grand F, où f rond de T, c'est tout simplement l'ensemble des fermés de oméga, tel que T restreint à oméga, privé de F, complémentaire de F dans oméga, soit nul. L'opération de restriction de la distribution T à l'ouvert oméga moins grand F est bien connue et elle a été définie dans les cours précédents. Alors, voyons comment cette notion fonctionne sur quelques exemples. Le premier exemple auquel on pense, c'est celui de la masse de Dirac, et évidemment, pour x zéro appartenant à R N, on vérifie sans difficulté avec cette définition que le support de la masse de Dirac en x zéro c'est le singleton x zéro. Autre exemple, celui de la distribution de simple couche portée par une courbe sigma de R 2 ou une surface sigma de R 3, de classe C 1, d'élement de longueur ou d'aire noté petit sigma. Je rappelle que pour g continu sur sigma, on notera g sigma la distribution de simple couche de densité petit g sur sigma, qui est définie par la formule petit g sigma appliqué à phi égal l'intégrale sur grand sigma de g de x, phi de x, d sigma de x. C'est une distribution d'ordre zéro. Et on vérifie sans difficulté que le support de la distribution petit g sigma est inclus dans la courbe ou la surface grand sigma. Maintenant, passons en revue quelques propriétés élémentaires de la notion de support, pour les distributions. Comme on va le voir, ça se passe, essentiellement ou presque comme dans le cas des fonctions, à quelques petits détails près, sur lesquels je reviendrai. Donc, soit oméga ouvert de R N, et T une distribution sur oméga, première propriété qui est presque immédiate, c'est que pour tout i allant de un jusqu'à grand N, le support de la dérivée partielle de T par rapport à la ième variable xi, est inclus dans le support de la distribution T. Propriété qui découle immédiatement de la définition du support, et de la dérivée partielle de T par rapport à la ième variable. Deuxième propriété, pour tout a de classe C infini sur oméga, fonction de classe C infini sur oméga, eh bien le support du produit aT est inclus dans l'intersection du support de a et du support de T. De nouveau, cette inclusion se vérifie directement en utilisant la définition du support d'une distribution, et la définition du produit aT. Troisième propriété, qui elle est un petit peu plus délicate, pour tout phi de classe C infini à support compact sur oméga, eh bien si le support de phi ne rencontre pas le support de T, autrement dit si l'intersection support de phi, intersection support de T, est vide, alors T appliqué à phi est égal à zéro. Une autre façon de dire cela, c'est de dire que T restreinte à l'ouvert oméga moins son support, oméga moins support de T, cette restriction est nulle. Alors, il faut faire bien attention sur cette dernière propriété au point suivant: le fait que une fonction phi soit identiquement nulle sur le support de T, fonction de classe C infini à support compact, phi, le fait qu'elle soit identiquement nulle sur le support de T, n'entraîne pas que le produit phi t soit égal à zéro, ou, ce qui est la même chose, que T appliqué à phi soit égal à zéro. Alors voici un petit exemple pour s'en convaincre. Revenons au cas des distributions de Dirac. Je rappelle que la distribution de Dirac d'ordre p en zéro, en dimension 1, c'est-à -dire sur la droite réelle, c'est la dérivée p-ième de la masse de Dirac en zéro. Et en appliquant la propriété numéro 1 dans la proposition précédente, eh bien on voit tout de suite que le support de la distribution de Dirac d'ordre p en zéro est inclus dans le support de la distribution de Dirac en zéro, puisque c'en est une dérivée, inclus dans le support de la masse de Dirac en zéro, support qui est égal au singleton zéro, et cette égalité vaut pour tout p dans grand N. En particulier, si on prend le produit de la fonction de classe C infini, qui à x associe x, dont l'identité est sur R, par delta prime en zéro, distribution de Dirac d'ordre 1 en zéro, eh bien on trouve que ça fait moins la masse de Dirac en zéro, qui est donc différent de zéro, puisque d'après la formule de Leibniz on a d'une part x fois masse de Dirac en zéro qui est égale à zéro, et donc, appliquant la formule de Leibniz, la dérivée première de x fois la masse de Dirac en zéro, qui est donc la dérivée de zéro, donc qui vaut zéro, par la formule de Leibniz, c'est égal à Dirac en zéro plus x fois la dérivée de Dirac en zéro. On voit donc que la distribution Dirac prime en zéro qui a pour support le singleton zéro, lorsque je la multiplie par la fonction identité, par la fonction x, qui vaut zéro en zéro, donc qui est nulle sur le support de la dérivée de Dirac en zéro, eh bien je trouve un résultat qui n'est pas nul. Je trouve, moins Dirac en zéro, qui est différent de zéro. Donc cette propriété savoir que phi nulle au voisinage du support de T entraîne que phi fois T égal à zéro, ou ce qui est la même chose, le fait de dire, que si le support de phi et le support de T, son intersection vide, alors phi T est égal à zéro. Cette propriété est un petit peu différente du cas des fonctions puisque il faut vraiment vérifier que phi est nulle au voisinage du support de T pour pouvoir dire que le produit phi T est égal à zéro. Puisqu'on connaît maintenant la notion de support d'une distribution, eh bien on peut parler très simplement de la notion de distribution à support compact. Alors dans toute la suite on note E prime de oméga, notation traditionnelle, héritée de Laurent Schwartz, on note E prime de oméga, l'ensemble des distributions T appartenant à D prime de oméga, tel que le support de T soit compact, inclus dans oméga. Alors, évidemment toute distribution à support compact sur oméga, est une distribution sur oméga, et donc une forme linéaire sur C infini à support compact de oméga. Mais en réalité on va voir que toute distribution à support compact dans oméga se prolonge en une forme linéaire sur C infini de oméga et n'est pas définie seulement comme forme linéaire sur C infini à support compact sur oméga. En effet, pour tout T, distribution à support compact sur oméga, et pour tout phi de classe C infini sur oméga, on va poser T appliqué à phi, égal à T appliqué à khi phi, où khi est une fonction de classe C infini à support compact quelconque sur oméga, égal à 1, sur un voisinage ouvert du compact, support de T. Alors, c'est un exercice classique que de vérifier que de telles fonctions existent, étant donné à un compact K inclus dans oméga. C'est un exercice classique que de construire une fonction de classe C infini à support compact dans oméga, égal à 1, sur un voisinage ouvert du compact K dont on est parti. Maintenant, la définition de T appliquée à phi, telle qu'elle est donnée ici, semble dépendre du choix de la fonction khi égal à 1 sur un voisinage ouvert du compact support de T. Mais en réalité ce n'est pas le cas, on vérifie que cette définition est bien indépendante de la fonction khi. En effet, prenons deux fonctions, khi et psi de classe C infini à support compact dans oméga, toutes les deux égales à 1, au voisinage du support de T. Alors évidemment, le support de khi moins psi, ne rencontre pas le support de T. Autrement dit, khi moins psi est égal à zéro au voisinage du support de T. Et par conséquent, par la propriété 3 du théorème 1, T appliqué à khi, moins psi fois phi, vaut zéro ce qui revient à dire que T appliqué à khi phi est égal à T appliqué à psi phi. Autrement dit, la définition ci-dessus est bien indépendante du choix de la fonction khi égal à un sur un voisinage ouvert du compact support de T. Alors, on va maintenant passer en revue les propriétés fondamentales des distributions à support compact. On va les passer en revue sans démonstration. Certaines ne sont pas forcément d'une démonstration très facile, d'autres sont des applications plus ou moins directes des définitions. Alors la première observation, c'est que toute distribution à support compact est forcément d'ordre fini. C'est une conséquence presque immédiate de la notion d'ordre d'une distribution et de la propriété de continuité des distributions, qui a été étudiée dans le cours numéro 2. Alors plus précisément on va écrire la propriété de continuité des distributions à support compact, qui se formule de la manière suivante : étant donnée une distribution T à support compact sur oméga il existe un compact K inclus dans oméga, un entier p positif ou nul, et une constante positive C telle que, pour toute fonction phi de classe C infini sur oméga, la valeur absolue de T appliquée à phi est contrôlée par C fois la norme de phi d'indice pK, dont je rappelle que c'est cette norme qui est définie comme le sup des dérivées partielles de phi en valeur absolue, dérivées partielles d'ordre inférieur ou égal à p, et le sup étant pris sur K. Enfin dernière propriété qui est une conséquence du petit b. Le petit b étant lui-même une conséquence de la propriété de continuité générale des distributions, donc petit c. Soit phi N, suite de fonction de classe C infini sur oméga et petit phi, une fonction de classe C infini sur oméga tel que, pour tout multiindice alpha, d rond alpha de phi N converge vers d rond alpha de phi, uniformément sur tout compact de oméga. Alors pour une telle suite phi N, pour tout T distribution à support compact dans oméga, T appliqué à phi N, converge vers T appliqué à phi. Propriété de continuité séquentielle des distributions à support compact dans oméga continuité séquentielle sur les suites de fonctions C infini convergeant uniformément ainsi que leurs dérivées partielles de tous ordres, convergeant uniformément sur tout compact de oméga. Attention, dans l'énoncé petit b, il ne faut pas croire que le compact K, dont il est question, soit le support de T. En général, dans l'énoncé petit b, le compact qui existe en oméga pour lequel on a valeur absolue de T phi, est inférieure ou égale à C fois phi d'ordre p dans K. Dans cet énoncé, en général, K n'est pas égal au support de T. En général, c'est un voisinage du support de T. Autrement dit, c'est un compact qui contient un ouvert contenant le support de T. Deuxième observation, le dernier énoncé, petit c, la continuité séquentielle sur les fonctions C infini convergeant uniformément ainsi que leurs dérivées de tous ordres sur tout compact, cet énoncé est faux si la distribution T n'est pas à support compact. Alors déjà , on ne saurait pas définir T appliqué à phi N, si phi N est seulement de classe C infini sur oméga. Mais, même si on supposait que les phi N dans l'énoncé étaient toutes à support compact, l'énoncé petit c serait quand même faux, avec T, une distribution quelconque qui ne serait pas à support compact. Alors voici un petit exemple, prenons phi de classe C infini sur R, telle que phi soit positive ou nulle, le support de phi est inclus dans le segment moins un, un, et l'intégrale de phi était égale à un. Et puis, pour tout n supérieur ou égal à un, on pose phi n de x égal n phi de nx, de sorte que le support de phi n est inclus dans le segment moins 1 sur n, 1 sur n. Et par conséquent, sur tout compact de R étoile, si on attend assez longtemps, autrement dit pour n assez grand, comme ce compact va éviter un voisinage de zéro, eh bien pour n assez grand, phi n va être identiquement nul sur le compact en question. Phi n et toutes ses dérivées. Donc, pour une telle suite phi n, phi n d'ordre p, converge uniformément vers zéro, sur tout compact de R étoile. Mais maintenant, si on prend la distribution, égale à la constante un, qui est une distribution sur R étoile, qui n'est pas à support compact, si on l'applique à phi n, un appliqué à phi n, c'est donc l'intégrale de phi n sur R étoile, évidemment, c'est la même chose que l'intégrale de phi n sur R, donc c'est égal à l'intégrale sur R de n phi de nx, dx, et par changement de variable, cette intégrale vaut l'intégrale sur R de phi de y, dy, qui, par hypothèse, vaut 1. Donc, bien que phi n d'ordre p converge uniformément vers zéro pour tout compact de R étoile, 1 appliqué à phi n, est égal à 1, et donc ne converge pas vers zéro. Alors on verra que la continuité séquentielle des distributions qui ne sont pas à support compact impose Une condition sur les suites beaucoup plus restrictive que la convergence uniforme de la suite et de ses dérivées sur tout compact de l'ouvert considéré. Nous y reviendrons plus tard. Autre propriété presque élémentaire de la notion de distribution à support compact, c'est que, si une distribution est à support compact dans un ouvert grand Oméga, on peut la prolonger de manière naturelle en une distribution à support compact de même support, d'ailleurs, distribution à support compact sur R N tout entier. Alors, le prolongement par zéro en dehors de Oméga, on va le noter T point, et il est défini de la manière suivante : pour définir T point, finalement, il suffit que je sache définir T point appliqué à phi, pour toute fonction phi de classe C infini sur R N. Eh bien, la chose naturelle à faire, c'est de définir ce nombre, T point appliqué à phi pour tout phi fonction de classe C infini sur R N, je définis ce nombre comme étant T appliqué à la restriction de phi à grand Oméga, nombre qui est bien défini, puisqu'il s'agit de T, distribution à support compact dans Oméga, appliqué à phi restreint à Oméga, qui est une fonction de classe C infini sur Oméga. De nouveau, on voit sur cet exemple que la restriction des fonctions à un ouvert plus petit a pour opération adjointe sur les distributions, opération transposée sur les distributions, le prolongement par zéro en dehors de l'ouvert, de la même manière que la restriction des distributions à un ouvert plus petit était définie comme transposée de l'opération de prolongement par zéro des fonctions à support compact, des fonctions de classe C infini à support compact dans le petit ouvert. Alors, attention, toute distribution sur Oméga, qui n'est pas forcément à support compact dans Oméga, n'admet toujours de prolongement zéro à R N. Prenons, par exemple, la fonction qui vaut 1 sur x si x est positif, et zéro si x est négatif. Évidemment, cette fonction est dans L 1 loc de R étoile. Mais elle n'est pas localement intégrable sur R, elle n'appartient pas à L 1 loc de R. Et c'est un exercice pas très compliqué que cette distribution T indice f, T indice f étant la distribution associée à la fonction localement intégrable sur R étoile petit f, cette distribution T indice f ne peut pas être prolongée par zéro à R tout entier par le procédé qui est défini ci-dessus. Pour s'en convaincre, il faut garder à l'esprit que, si un tel prolongement était possible, on obtiendrait une distribution qui serait positive sur la droite réelle, et une distribution positive sur la droite réelle, forcément, elle est d'ordre zéro, et à partir de là , il est très simple de vérifier qu'une telle distribution ne peut pas exister parce que la forme linéaire qu'on construirait ainsi violerait la propriété de continuité des distributions, sachant déjà que la distribution qu'on obtiendrait devrait être d'ordre zéro. Enfin, la dernière propriété des distributions à support compact, qui est un théorème difficile, ou un théorème profond en tout cas, c'est la structure des distributions à support dans un singleton. Alors, ce théorème, je ne vais pas le démontrer, la démonstration n'est pas facile, mais, en revanche, je vais faire un commentaire sur cette démonstration en revenant sur un point que nous avons évoqué à propos des distributions à support compact, point qui est particulièrement pertinent pour comprendre ce qui se passe dans la démonstration de ce théorème. Donc soit Oméga, ouvert de R N, et soit T une distribution sur Oméga, soit enfin un point de Oméga, que je vais noter x zéro. Si le support de T est inclus dans le singleton x zéro, alors forcément T est une combinaison linéaire finie de la masse de Dirac en x zéro et de ses dérivées. Autrement dit, il existe une famille de réels lambda indice alpha, indexés par les multi-indices alpha à n composantes. Cette famille, elle vérifie que lambda alpha est égal à zéro, sauf pour un nombre fini de alpha et le fait que T est égal à la somme sur tous les alpha de lambda indice alpha d rond alpha de la masse de Dirac en x zéro. Évidemment, la somme qui est écrite ici a bien un sens, puisque tous les lambda alpha, sauf un nombre fini, sont nuls. Autrement dit, cette somme est une somme finie de distributions. Alors, d'où vient la difficulté de ce théorème? En réalité, ce théorème serait trivial si on savait que pour toute distribution à support compact dans Oméga, il existait une constante positive C telle que la valeur absolue de T appliquée à phi soit inférieure ou égale à C fois norme de phi d'ordre p dans K, où K est égal au support de T et p est l'ordre de la distribution T. Ce théorème serait évident si on avait une telle inégalité. Malheureusement, comme on l'a dit plus haut, cette inégalité n'est pas vraie telle quelle. Elle n'est vraie que pour K voisinage du support de T. Et donc, la démonstration de ce théorème passe par une preuve un petit peu compliquée qui explique comment la concentration des fonctions de troncature permettant de localiser la distribution T près de x zéro, évidemment, ces fonctions permettant de localiser T près de x zéro, vont avoir des dérivées qui vont être grandes, et il faut se servir de la propriété de continuité de la distribution T et de ce qu'on sait sur l'ordre de la distribution T pour montrer que la continuité de T va combattre la croissance des dérivées des fonctions de troncature de T localisant T près de son support x zéro. C'est ce point-là qui est en jeu, et c'est une analyse un petit peu technique, un petit peu délicate, qui utilise la formule de Leibniz.
