Après avoir étudié en détail le noyau de l'opérateur laplacien donc les distributions, les fonctions harmoniques nous allons maintenant utiliser ce que nous savons déjà pour nous occuper de la résolution de l'équation de Poisson dans l'espace entier. Alors, donc pour N supérieur ou égal à 3 si je considère une distribution T sur R N et que je suppose que son laplacien est à support compact dans R N, ce laplacien est une distribution à support compact sur R N, eh bien, T restreinte au complémentaire du support de laplacien de T le support du laplacien de T est un fermé donc son complémentaire est un ouvert donc T restreinte à l'ouvert complémentaire du support de laplacien de T est en réalité une fonction de classe C infini sur le complémentaire du support de laplacien de T. Donc, on peut avec cette remarque formuler le problème pour l'équation de Poisson dans R N en dimension N supérieur ou égal à 3, pour toute distribution S à support compact sur R N il existe une unique solution T dans D prime de R N de l'équation de Poisson moins laplacien de T égale à S, au sens des distributions sur R N, et T de x tend vers zéro pour norme de x tendant vers l'infini. Alors cette condition a bien un sens puisque comme S est à support compact, S est à support dans une boule de centre zéro et de rayon R pour R assez grand et grâce à l'énoncé petit a, lorsque norme de x est strictement plus grand que R eh bien, le fait que norme de x soit plus grand que R, on a l'extérieur de cette boule qui contient le support de S et sur l'extérieur de cette boule T est une fonction de classe C infini, donc ça a parfaitement un sens de parler de T de x pour norme de x assez grand. Et donc ici, on prescrit que T de x tend vers zéro à l'infini. Et maintenant puisqu'il y a unicité de la solution de ce problème pour l'équation de Poisson eh bien, lorsque N égale 3, cette solution est donnée par la formule: T égale U 3 convolé avec S, où je rappelle que U 3, c'est la solution élémentaire de l'opérateur moins laplacien dans R 3 tendant vers zéro à l'infini qui est donné par la formule U 3 de x égale 1 sur 4 pi norme de x. Évidemment si on connaît la formule donnant la solution élémentaire de l'opérateur moins laplacien en dimension N supérieur à 3 solution élémentaire tendant vers zéro à l'infini, eh bien le même argument donnerait la solution du problème moins laplacien de T égale S avec T tendant vers zéro à l'infini dans D prime de R N avec N plus grand que 3. Mais jusqu'ici nous avons établi la formule pour cette solution élémentaire uniquement dans les cas N égale 2 ou 3, et la raison qui fait que l'énoncé du théorème 3, tel qu'il est présenté ici est limité à la dimension d'espace supérieure ou égale à 3, c'est que toute solution élémentaire de l'opérateur moins laplacien en dimension 2 est de la forme: 1 sur 2 pi log de la norme de x plus une fonction harmonique. Eh bien, de de telle fonction ne tend pas vers zéro à l'infini, donc il y a en dimension 2 quelque chose un petit peu particulier qui se passe et qui fait qu'on ne peut pas poser le problème moins laplacien de T égale S, avec T tendant vers zéro à l'infini comme on le fait euh, en dimension 3, ou plus grande. Alors, démontrons ce théorème. Alors commençons par l'énoncé petit a. Donc prenons oméga égale à R N privé du support de laplacien T, le support de laplacien T étant fermé par définition du support, donc son complémentaire en R N est un ouvert et T, restreinte à oméga est harmonique dans oméga, puisque laplacien de T restreinte à oméga, c'est la restriction de laplacien T à oméga. Restriction de laplacien T à oméga qui est le complémentaire du support de laplacien T, donc c'est la distribution nulle dans oméga. Bien. Mais comme T restreinte à oméga est une distribution harmonique dans oméga c'est une fonction de classe C infini, d'après le théorème de régularité des distributions harmoniques que nous avons vu dans la partie précédente du cours. Passons maintenant à l'unicité dans le problème pour l'équation de Poisson, donc unicité de la solution dans l'énoncé petit b. Donc s'il existait deux solutions T 1 et T 2 du problème moins laplacien de T égale S, T tendant vers zéro à l'infini comme l'équation de Poisson est linéaire, la différence grand T égale T 1 moins T 2 vérifierait moins laplacien de T égale à zéro dans R N T tendant vers zéro à l'infini. Autrement dit T serait une distribution harmonique tendant vers zéro à l'infini, mais on déduit du théorème de régularité d'abord que cette cette distribution est en réalité une fonction de classe C infini sur R N, puis du théorème de Liouville, que cette fonction qui est une fonction harmonique tendant vers zéro à l'infini est forcément la fonction nulle. Et donc, on en déduirait que T 1égale T 2. Donc il y a unicité. Alors, maintenant puisqu'il y a de l'existence, on sait que forcément la formule U 3 convolé avec S fournit une solution de l'équation dérivée partielle moins laplacien de U 3 convolé avec S égale S puisque moins laplacien de U 3 convolé avec S c'est moins laplacien de U 3 en produit de convolution à distribution S, mais moins laplacien de U 3 c'est Dirac en zéro or Dirac en zéro convolé avec S c'est égale à S. D'autre part, ça c'est le point moins trivial, il faut vérifier que U 3 étoile S tend vers zéro à l'infini, mais ça c'est une conséquence de la propriété de continuité des distributions à support compact, propriété de continuité que l'on applique à la distribution à support compact en S. Ce point-là est un petit peu technique et je ne vais pas le détailler. Alors on a vu dans la partie précédente du cours la propriété de régularité des distributions harmoniques autrement dit, si on a une distribution dans oméga de laplacien nul, eh bien, forcément cette distribution est une fonction de classe C infini. Mais en réalité, on va voir que cette propriété de régularité des distributions harmoniques qui nous a servi d'ailleurs pour la démonstration du théorème 3, même pour l'énoncé du théorème 3, pour la formulation de la condition de l'annulation à l'infini ben, ce théorème se généralise au cas où le second membre de l'équation de Poisson n'est pas zéro, mais une fonction de classe C infini. Donc voici l'énoncé: soient N supérieur ou égal à 3, oméga ouvert de R N et T une distribution sur oméga. Eh bien, si laplacien de T est une distribution de classe C infini sur oméga, si laplacien T est en réalité une fonction de classe C infini sur oméga eh bien, forcément la distribution T est elle-même de classe C infini sur oméga. Alors, je ne vais pas démontrer ce théorème dans la généralité où il est exposé ici, je vais disons regarder un cas un petit peu particulier qui est suffisant pour comprendre ce qui se passe. Donc, on va se ramener au cas où on travaille dans l'espace R 3 et où on a une équation qui est de la forme: moins laplacien de T égale S où S est une distribution à support compact sur R 3 et où on choisit T tendant vers zéro à l'infini. On choisit la solution de cette équation de Poisson tendant vers zéro à l'infini, et on va supposer qu'il existe petit r strictement positif tel que S restreinte à la boule centrée en zéro et de rayon zéro petit r, soit de classe C infini sur cette boule. Alors, évidemment, par translation, par invariance, par translation de l'équation, ce que l'on fait sur la petite boule B de zéro r peut évidemment être fait sur une boule quelconque de centre x zéro et de rayon r, avec le même résultat. Donc, par variance, par translation, ramenons-nous en zéro et voyons ce qui se passe. Alors, je vais avoir besoin d'introduire un certain nombre de fonctions de troncature pour démontrer ce résultat. La première fonction de troncature que je vais utiliser, faire une fonction qui servira à tronquer la distribution S à l'intérieur de la boule de centre zéro et de rayon r, et ce sera une fonction que je noterai psi, fonction de classe C infini sur R3, vérifiant psi de x égal à 1 si norme de x est inférieure ou égale à lambda r, et psi de x égal à zéro si norme de x est supérieure ou égale à 1, lambda étant, ici, un réel strictement positif et strictement plus petit que 1. Bien, au-delà de ça, je considère une fonction khi de classe C infini sur R3, khi de x valant identiquement 1 sur la boule unité de R3, et khi de x étant identiquement nul sur le complémentaire de la boule de centre zéro et de rayon 2 de R3. Et puis, cette fonction khi, je la contracte, en considérant pour epsilon strictement positif destiné à tendre vers zéro ultérieurement, en considérant la fonction khi indice epsilon de x égale khi e x sur epsilon, et, évidemment, khi epsilon, elle est identiquement égale à 1 sur la boule de centre zéro et de rayon epsilon fermée, et son support est contenu dans la boule fermée de centre zéro et de rayon 2 epsilon. Voilà . Alors, à partir de là , je prends la solution élémentaire U3 de x égale 1 sur 4 pi norme de x, solution élémentaire moins laplacien dans R3, et je vais la décomposer en une partie qui va contenir la singularité en l'origine, que je vais noter U3 dièse de x, et une partie qui évite l'origine, qui donc sera une partie régulière, qui sera U3 bémol de x. Bien. Alors, donc, U3 dièse de x sera défini comme khi de x sur epsilon U3 de x, et U3 bémol de x sera égal à 1 moins khi de x sur epsilon U3 de x. Évidemment comme khi de x sur epsilon vaut identiquement 1 lorsque norme de x est inférieure ou égale à epsilon, eh bien, on voit que U3 bémol est identiquement nul sur l'ensemble définit par norme de x inférieure ou égale à epsilon, et d'autre part, U3 dièse est à support dans l'ensemble définit par norme de x inférieure ou égale à 2 epsilon, donc dans la boule de centre zéro et de rayon 2 epsilon. Et donc, maintenant, eh bien, la solution T de l'équation de poisson, qui est donnée par la formule U3 étoile S, je vais la décomposer comme suit: je vais écrire T sous la forme U3 dièse convolé avec le produit de S par la fonction 1 moins psi, plus U3 dièse convolé avec le produit de la distribution S par psi, plus U3 bémol convolé avec S. Alors, maintenant, regardons les différents termes intervenants dans cette égalité. Alors, U3 bémol, c'est une brave fonction de classe C infini sur R3, lorsque je la convole par la distribution à support compact S, j'obtiens la fonction U3 bémol étoile S, qui est une fonction de classe C infini sur R3. Passons ensuite au terme U3 dièse convolé avec la distribution psi S, et psi S est de classe C infini sur R3 puisque psi est à support dans la boule de centre zéro et de rayon 1. Et d'ailleurs, psi S est identiquement, psi S coïncide avec S, sur la boule de centre zéro et de rayon lambda r, par définition de psi. Donc, comme psi S est une fonction de classe C infini sur R3, lorsque je la convole avec U3 dièse, eh bien, je trouve une fonction qui est de classe C infini sur R3. Alors, il reste à comprendre le dernier terme, qui est le terme U3 dièse convolé avec un moins psi fois S. Il ne reste plus qu'à étudier le dernier terme de cette somme, qui est le premier membre de droite de l'égalité donnant la formule pour T. Donc, ce terme c'est le produit de convolution de U3 dièse avec le produit de la fonction 1 moins psi par la distribution S. Alors, là on va simplement utiliser la majoration du support d'un produit de convolution. En effet, le support de U3 dièse convolé avec 1 moins psi fois S, il est contenu dans l'addition de la boule fermée de centre zéro et de rayon 2 epsilon, qui contient le support de U3 dièse, et, dans le complémentaire de la boule ouverte de centre zéro et de rayon lambda r, qui contient le support de 1 moins psi fois S. Maintenant, cette addition de l'extérieur de la boule de centre zéro et de rayon lambda r avec la boule de centre zéro et de rayon 2 epsilon, c'est égal au complémentaire de la boule de centre zéro et de rayon lambda r moins 2 epsilon. Donc, au total, on a démontré que T est de classe C infini sur la boule ouverte de centre zéro et de rayon lambda r moins 2 epsilon. Et maintenant, là -dedans, lambda est un nombre réel compris entre zéro et 1 au sens strict arbitraire, et epsilon est un réel positif quelconque. Eh bien, par conséquent, T restreint à la boule de centre zéro et de rayon petit r est de classe C infini sur cette boule ouverte de centre zéro et de rayon petit r.
