Donc, dans la première partie de ce cours, nous avons vu la notion de solution, au sens des distributions, d'un problème de Cauchy, et maintenant nous allons voir comment cette notion s'utilise sur quelques exemples d'équations aux dérivées partielles d’ordre 1 en temps. Et, pour cela, nous allons commencer par le cas de l'équation de la chaleur. Alors, je considère le problème de Cauchy, pour l'équation de la chaleur, sur R plus étoile croix R N, qui s'écrit d rond t, f, moins un demi de laplacien en x de f, égal à S, pour f à t égal à zéro, égal f initial. Donc, problème de Cauchy, avec un terme source, grand S, et une condition initiale, f in. On a vu, dans les cours précédents, que la seule solution élémentaire tempérée de d rond t moins un demi de laplacien x, à support dans le futur, est la distribution gaussienne qui est donnée par la formule, G N, si on veut G N de t et de x, c’est l'indicatrice que t est strictement positif, divisé par 2 pi t, à la puissance N sur 2, exponentielle de moins norme de x au carré, divisé par 2 t. Alors, en appliquant les résultats de la première partie, eh bien, on aboutit au théorème d'existence et d'unicité suivant : pour toute donnée initiale, f in, qui est une distribution à support compact sur R N, et pour toute distribution source, grand S, à support compact dans R plus étoile croix R N, eh bien, l'unique solution tempérée du problème de Cauchy ci-dessus, pour l'équation de la chaleur, est donné par la formule f égal le produit de convolution de la distribution G N, par Dirac en zéro tens f in, plus S point, où S point est, je le rappelle, le prolongement par zéro de la distribution S, qui est à support compact sur R plus étoile croix R N, prolongement par zéro de S à R croix R N, tout entier. Alors, vérifions, rapidement, la démonstration de ce théorème. Alors, déjà , d'après le théorème 1, général, que nous avons vu dans la première partie de ce cours, eh bien, d rond t, moins un demi de laplacien en x, de G N, produit de convolution par Dirac en zéro, tens f in, plus S point, c’est Dirac en t égal zéro et en x égal zéro, convolé avec Dirac en zéro, tens f in, plus S point, et donc, par conséquent, c’est Dirac en zéro, tens f in, plus S point. D’autre part, eh bien, le produit de convolution de G N par Dirac en zéro, tens f in, plus S point, c'est le produit de convolution de la distribution tempérée, G N, par la distribution à support compact, Dirac en zéro, tens f in, plus S point. Et donc, le résultat, on l'a vu dans le cours sur les distributions tempérées, le produit de convolution d'une distribution tempérée et d'une distribution à support compact est une distribution tempérée. Donc, la formule obtenue dans le théorème pour la solution définit bien un élément de S prime de R croix R N. Et d'autre part son support, donc le support de G N convolé avec Dirac en zéro, tens f in, plus S point, eh bien, il est inclus dans l'addition des supports, donc c'est inclus dans le support de G N plus le support de Dirac en zéro, tens f in, plus S point. Et, évidemment, le support de G N, c’est R plus croix R N, et le support de Dirac en zéro, tens f in, plus S point est contenu dans R plus croix R N. Et donc, l'addition des supports est contenue dans R plus croix R N. Donc, on a bien une distribution, formule du théorème, fournit bien une distribution qui est à support dans le futur, donc dans les temps positifs ou nuls. Conclusion, la formule G N étoile Dirac en zéro, tens f in, plus S point, est bien une solution, au sens des distributions, du problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur, avec terme source, grand S, et condition initiale f à t égal à zéro, égal f in. Maintenant, il reste à montrer que c'est la seule. Alors, l'unicité de la solution distribution tempérée résulte de la propriété suivante, que nous avons déjà vue, au moment où nous avons calculé la solution élémentaire dans le futur de l’opérateur de la chaleur et où nous avons montré l'unicité de cette solution élémentaire tempérée à support dans le futur. C'est le même argument, c'est le même lemme d’unicité que je rappelle ici. Si on a une distribution tempérée sur R croix R N qui vérifie, d'une part, que son support est dans le futur, donc le support de t est inclus dans R plus croix R N, et d'autre part, que d rond t moins un demi de laplacien en x de T est égal à zéro, pour tous les temps, donc sur R croix R N, alors forcément T est nul. C’est le lemme d’unicité pour l'équation de la chaleur que nous avons déjà rencontré, et qui s'applique donc, ici, pour donner l'unicité de la solution du problème de Cauchy. Alors, maintenant, évidemment, le théorème 2 permet de résoudre le problème de Cauchy, au sens des distributions, lorsqu'on a des données, des termes sources, qui sont des distributions à support compact. Regardons, quand même, ce que signifie la formule que nous avons obtenue lorsque la donnée initiale et le terme source ne sont pas des distributions mais des fonctions, par exemple des fonctions continues à support compact. Donc, je vais supposer que f in est une fonction continue à support compact sur R N et que S est un terme source, continu à support compact sur R plus étoile croix R N. Dans ce cas-là , la solution du problème de Cauchy donnée par le théorème 2 est la fonction qui est définie par la formule suivante : f, de t, de x, égale l'intégrale sur R N de grand G N, de t et de x moins y, f in de y, d y, je vous rappelle que G N, c’est la distribution gaussienne qui est la solution élémentaire de l'opérateur de la chaleur, plus intégrale de zéro à t de intégrale sur R N de G N, de t moins tau et de x moins y, fois S de tau et de y, d y, d tau. Donc, on reconnaît que la première intégrale, qui est la contribution de la condition initiale, correspond au produit de convolution de G N par Dirac en t égal à zéro, tens f in, tandis que, la deuxième intégrale, l'intégrale double, à la fois en temps et en espace, est le produit de convolution de la distribution G N par la distribution définie par S. Évidemment, l'intégrale en temps est limitée au segment zéro, t parce que G N, aussi bien que S, sont à support dans t positif. Alors, examinons brièvement quelques propriétés fondamentales de l'équation de la chaleur, ou du moins de ses solutions. Alors, première propriété, absolument évidente, c'est que l'unique solution tempérée du problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur, avec une donnée initiale, f in à support compact, distribution à support compact sur R N, et terme source, distribution à support compact sur R plus étoile croix R N, vérifie l'implication suivante, à savoir que, si je suppose que f in est une distribution positive ou nulle et que S est une distribution positive ou nulle, eh bien, forcément, la solution, elle-même, sera une distribution positive ou nulle sur R croix R N. Et, l'idée de la démonstration consiste, tout simplement, à utiliser la formule explicite donnant la solution du problème de Cauchy, formule explicite fournie par le théorème 2, et à observer que la distribution G N, la solution élémentaire à support dans le futur est, elle-même, une distribution positive ou nulle, et que donc, la formule qui donne la solution petit f, donne la solution petit f, comme le produit de convolution de la distribution positive ou nulle, G N, par la distribution Dirac en zéro, tens f in, plus S point, qui est également positive ou nulle. Alors, le produit de convolution de deux distributions positives ou nulles est une distribution positive ou nulle. Deuxième propriété, Supposons, maintenant, qu'il n'y a pas de terme source. Donc, je suppose que S est égal à 0, et je suppose que f in est une distribution à support compact sur RN. Eh bien, si je regarde l'unique solution tempérée sur R croix RN du problème de Cauchy, ou plus exactement, sa restriction à T strictement positif, solution du problème de Cauchy pour l'équation de la chaleur, avec donnée initiale f in sans terme source, eh bien, cette solution, au sens des distributions est une distribution de la forme Tf, avec f qui appartient à C infini de R plus étoile croix RN. Autrement dit, cette solution au sens des distributions, en réalité, c'est une fonction, et, bien que la condition initiale soit une distribution à support compact quelconque, eh bien, pour tous les temps positifs, la solution, elle, est de classe C infini. L'idée est d'observer qu'en fait, cette fonction de classe C infini, on l'obtient de la manière suivante : Pour tout T strictement positif, eh bien f de t et de x, vu comme fonction de x à t fixé, c'est le produit de convolution, mais attention, un produit de convolution en la variable x de la fonction de la variable x GN de t, et de x, par la condition initiale f in. Mais f in est une distribution à support compact. J'en fais le produit de convolution par la fonction GN de t et de x, vu comme fonction de x qui est de classe C infini en x. Donc, ce que j'obtiens, c'est une fonction qui est de classe C infini en x. Deuxième exemple de problème de Cauchy, pour une équation à dérivée partielle d'ordre 1 en t, c'est le cas de l'équation de Schrödinger, qui est très semblable, formellement, du moins, à l'équation de la chaleur. Alors, on va considérer le problème de Cauchy, i d rond tf plus un demi de laplacien en x de f égal à S. Donc, pour t dans R plus étoile, et x dans RN, sachant que f à t égale 0 est égal à f in. Et, on rappelle que la seule solution élémentaire tempérée de i d rond t plus un demi de laplacien en x à support dans le futur, c'est la distribution gamma N, qui est l'indicatrice que t est positif, divisée par racine de 2 pi i t puissance N, exponentielle de moins norme de x au carré sur 2 i t, où je rappelle que la racine qui intervient au dénominateur, c'est la détermination principale de la racine, dans le plan complexe privé du demi axe négatif. Et je rappelle que, en réalité, cette distribution doit être comprise comme la limite, lorsque epsilon tend vers 0, par valeur positive, de l'indicatrice que t est positif, divisé par la racine de 2 pi, epsilon plus i t, à la puissance N, fois exponentielle de moins norme de x au carré sur 2 fois epsilon plus i fois t. Théorème trois. Donc, si je suppose que f in est une distribution à support compact quelconque sur RN, et que S est une distribution à support compact quelconque sur R plus étoile croix RN, eh bien, l'unique solution tempérée du problème de Cauchy ci-dessus, pour l'équation de Schrödinger, c'est le produit de convolution de gamma N par Dirac en 0 tens f in, plus S point, où, comme avant, S point est le prolongement par 0 de S à R croix RN. Alors, la démonstration de ce théorème est exactement la même que dans le cas de l'équation de la chaleur. Regardons ce qui se passe dans le cas de données initiales, et de termes sources qui sont des fonctions, et pas des distributions. Eh bien, à nouveau, tout se passe comme dans le cas de l'équation de la chaleur, et la formule avec le produit de convolution, au sens des distributions, s'interprète de la manière suivante. Lorsque f in est une fonction continue à support compact, et que S est une fonction continue à support compact sur R plus étoile croix RN, eh bien, on trouve que la solution du problème de Cauchy pour l'équation de Schrödinger est donnée par la formule f de t et de x égale l'intégrale de gamma N de t et de x moins y contre f in de y dy, plus l'intégrale de 0 à t, de l'intégrale sur RN de gamma N de t moins tau, et de x moins y, S de tau et de y dy d tau. De même que, dans le cas de l'équation de la chaleur, cette formule faisant intervenir des intégrales permet de se faire une meilleure idée de ce que signifie réellement cette formule faisant intervenir le produit de convolution de gamma N par Dirac en 0, tens à infini, plus S point extension de S par 0 pour t négatif. Alors, regardons au moins une propriété fondamentale de l'équation de Schrödinger. Supposons que la condition initiale n'est pas une distribution quelconque à support compact. Mais supposons, par exemple, que c'est une fonction de carré intégrable sur RN, et qu'il n'y a pas de terme de source. Donc, f in appartient à L2 de RN, et S égale zéro. Alors, si je regarde l'unique solution tempérée du problème de Cauchy pour l'équation de Schrödinger, avec donnée initiale f in sans terme source, sachant que f in est de carré sommable sur RN, en plus du fait que elle définit une distribution à support compact sur RN, Eh bien, cette unique solution tempérée du problème de Cauchy, pour l'équation de Schrödinger, c'est de la forme t indice f, avec f qui est une fonction appartenant à L2 de RN pour toute valeur du temps. Et d'autre part, plus précisément, ce que l'on a, c'est que pour toute valeur de la variable de temps petit t, la norme, dans L2 de f de t et de x, vue comme fonction de la variable x, est égale à la norme de la donnée initiale f in, égalité qui vaut, pour tout temps strictement positif. Alors, d'où vient cette égalité? L'idée est de regarder l'équation de Schrödinger après transformation de Fourier partielle en la variable x. Et si je note xi, la variable duale de x, et f chapeau, la transformée de Fourier partielle de f en la variable x, alors, on montre très facilement que la solution tempérée du problème de Cauchy, pour l'équation de Schrödinger, avec donnée initiale f in et pas de terme source, est donnée par la formule f chapeau, égale exponentielle de it norme de xi carré sur 2, fois f in chapeau. Et d'autre part, eh bien, évidemment, exponentielle de it norme de xi carré sur 2, c'est pour tout xi et pour tout t réel, c'est un nombre complexe de module 1. Et donc, on conclut, en appliquant le théorème de Plancherel, puisqu'on voit sur la formule donnant f chapeau, en fonction de f in chapeau, que la norme L2 de f chapeau en la variable xi, pour tout temps, est égale à la norme L2 de f in chapeau en la variable xi. Et ensuite, le théorème de Plancherel nous dit que la norme L2 de f de t et de x vue comme fonction de la variable x, c'est égal à un coefficient 2 pi puissance N près, à la norme L2 de f chapeau de t et de xi, vue comme fonction de la variable xi.
