Donc, dans la dernière partie de ce quatrième cours, nous allons mettre en place une première approche du produit de convolution pour les distributions. Et ce que nous allons regarder dans un premier temps, c'est le produit de convolution d'une distribution quelconque par une fonction de classe C infini à support compact, ou bien d'une distribution à support compact par une fonction de classe C infini. Alors, commençons par rappeler comment les choses se passent dans le cas des fonctions. Donc, le produit de convolution des fonctions est une notion qui est bien connue en intégration. On peut définir, par exemple, le produit de convolution d'une fonction localement intégrable petit f sur R N, et d'une fonction phi qui serait continue à support compact dans R N. Le produit de convolution de f et de phi étant la fonction définie par la formule f étoile phi au point x, est l'intégrale sur R N de f de z, phi de x moins z, dz pour tout x dans R N. Alors, évidemment, comme phi est à support compact, la fonction qui à z associe phi de x moins z est également à support compact, de sorte que l'intégrale sur R N de f de z, phi de x moins z dz est, en réalité, restreinte au compact qui est le support de la fonction phi de x moins z, vue comme fonction de z. Donc, comme f est localement intégrable, cette intégrale existe. Bien. On définit ainsi une fonction qui est notée f étoile phi, un produit de convolution est toujours noté avec une étoile. Fonction f étoile phi qui est définie pour tout x dans R N. J'attire votre attention sur le fait que f, elle, est définie uniquement pour presque tout, x dans R N. Mais le produit de convolution par phi, lui, est défini pour tout x dans R N. Passons en revue les propriétés de base de cette notion de produit de convolution. Alors, pour tout f localement intégrable sur R N, et pour tout phi de classe C infini à support compact sur R N, eh bien, on vérifie très simplement, d'une part, que f étoile phi est égal à phi étoile f. Cette première égalité se vérifie en faisant le changement de variable, z donne x moins z dans l'intégrale définissant le produit de convolution f étoile phi. Bien. D'autre part, on vérifie par dérivation sous le signe somme, sous le signe d'intégrale définissant le produit de convolution, on vérifie que f étoile phi, ou phi étoile f, c'est la même chose, est une fonction de classe C infini sur R N. Deux propriétés supplémentaires que nous utiliserons. Première propriété : la majoration du support d'un produit de convolution. Donc, si f est localement intégrable sur R n, et phi de classe C infini à support compact sur R N, ou même, simplement, continu à support compact sur R N. Eh bien, le support de f étoile phi est inclus dans l'addition des supports, dans le support de f plus le support de phi, ou ce que l'on note a plus b. Lorsque a et b sont deux parties de R N, c'est l'ensemble des sommes x plus y, où x appartient à a, et y appartient à b. Deuxième propriété : pour f localement intégrable sur R N. Pour phi et psi, C infini à support compact sur R N, ou même, simplement, continu à support compact sur R N, ça suffirait. Eh bien, f étoile phi convolé avec psi est égal à f convolé avec le produit de convolution de phi avec psi. Autrement dit, le produit de convolution tel qu'il est défini est associatif. Évidemment, cette égalité a bien un sens, parce que au membre de gauche, f étoile phi, d'après ce qu'on vient de dire, est une fonction de classe C infini sur R N, continue si phi est seulement continue. f étoile phi étant une fonction de classe C infini sur R N, elle est localement intégrable. Je peux donc en prendre le produit de convolution par psi, et dont le membre de droite f est localement intégrable, et phi étoile psi est une fonction de classe C infini, puisque phi est localement intégrable, et psi de classe C infini à support compact. D'autre part, cette fonction de classe C infini, elle est bien à support compact, grâce à la majoration du support donnée à la propriété 1. Le support de phi étoile psi est, en effet, majoré par l'addition du support de phi et du support de psi. L'addition de deux compacts donnant donc, un ensemble compact. Deuxième propriété des distributions dont nous aurons besoin, qui est la propriété de continuité séquentielle des distributions. Dans la partie précédente de ce cours, nous avons vu la propriété de continuité séquentielle des distributions à support compact, et nous avons vu qu'il y avait une petite subtilité pour étendre cette propriété de continuité séquentielle au cas des distributions quelconques. Alors, voyons maintenant, comment fonctionne la continuité séquentielle des distributions quelconques. Eh bien, pour cela, je vais définir la notion de suite convergente dans l'espace des fonctions test, dans l'espace des fonctions de classe C infini à support compact. Soit donc, oméga ouvert de R N, une suite phi n de fonction de classe C infini à support compact dans oméga, et phi appartenant à C infini à support compact dans oméga. Eh bien, on dira que phi n converge vers phi dans C infini à support compact de oméga, si les deux propriétés suivantes sont vérifiées. Première propriété : il existe K compact inclus dans oméga indépendant de n qui contient tous les supports des termes de la suite phi n. Autrement dit, support de phi n est inclus dans ce même compact K pour tout n. Et deuxièmement, les dérivées partielles de tous ordres de phi n, convergent vers les dérivées partielles correspondantes de phi, uniformément sur oméga tout entier. Évidemment, avec cette définition-là , le support de phi est également contenu dans K. Donc, proposition. Eh bien, cette définition de suite convergente dans l'espace des fonctions de classe C infini à support compact, c'est la bonne définition qui permet d'avoir la continuité séquentielle des distributions. À savoir, que pour toute distribution T sur oméga, si on a une suite phi n de fonction de classe C infini à support compact qui converge vers phi, dans C infini à support compact au sens défini ci-dessus. Eh bien, la suite de nombres T appliquée à phi n converge vers le nombre T appliqué à phi. La démonstration est élémentaire. En effet, le point 1 de la définition de la convergence en C infini à support compact nous donne un compact K qui va contenir le support de phi, et ainsi que le support de tous les phi n, pour tout n compact K inclus dans oméga. Et maintenant, on écrit la propriété de continuité de la distribution T relative à ce compact K. Il existe donc une constante CK et un entier PK, tel que T appliqué à phi moins phi n en valeur absolue soit majoré par CK, norme de phi moins phi n d'indice PK dans K. Mais cette norme tend vers zéro, lorsque n tend vers l'infini, puisque les dérivées partielles de tous ordres de phi n convergent vers les dérivées partielles de tous ordres de phi, uniformément sur oméga. Bien, maintenant, avec ces notions-là , nous sommes prêts à définir le produit de convolution d'une distribution par une fonction de classe C infini à support compact, ou d'une distribution à support compact par une fonction de classe C infini. Dans le produit de convolution, l'essentiel c'est que l'un des deux termes soit à support compact. Donc, je vais introduire les notations suivantes qui seront commodes pour la suite de cet exposé. La translation sur les fonctions, ce que je noterai tau z de phi, c'est la fonction phi de x moins z. D'autre part, j'introduis la notation phi tilde pour désigner la composition de phi avec moins l'identité que l'on appelle parfois l'antipodie, puisque à chaque point de Rn, elle fait correspondre le point antipode. x donne moins x. C'est la symétrie par rapport à l'origine. Alors, donc, je prends un couple T et phi, ou T est une distribution sur R N et phi, une fonction de classe C infini à support compact sur R N. Ou bien, T est une distribution à support compact sur R N, et phi, une fonction de classe C infini quelconque de R N. Le produit de convolution de T et de phi est la fonction qui est donnée par la formule suivante : T étoile phi au point x est égal au crochet de dualité de T, appliqué à la fonction qui a y, associe phi de x moins y. Autrement dit, c'est l'évaluation de la distribution T sur la fonction tau x de phi tilde. Formule qui définit une valeur pour tout x appartenant à R N. L'objet qu'on définit ainsi, c'est donc bien une application de R N dans R ou dans C, si T et phi sont à valeurs complexes. Alors, une première propriété de cette définition, c'est que la même majoration du support, qui vaut pour les fonctions, vaut encore dans le cadre du produit de convolution d'une distribution d'une fonction de classe C infini à support compact, ou d'une distribution à support compact par une fonction de classe C infini. En effet, sous les hypothèses ci-dessus, on vérifie très simplement que le support de T étoile phi est inclus dans l'addition du support de T et du support de phi. Alors, faisons la petite démonstration, rapidement. En effet, si x n'appartient pas à l'addition des supports, eh bien, si je prends la fonction tau x de phi tilda, autrement dit la fonction phi de x moins y vue comme fonction de y, cette fonction est à support dans l'ensemble des x moins z, z appartenent au support de phi. Et donc, le support de phi de x moins y, vu comme fonction de y, par hypothèse, ne rencontre pas le support de T. Et donc, lorsque j'applique T à cette fonction tau x de phi tilda, lorsque j'applique T à la fonction phi de x moins y vue comme fonction de y, forcément je trouve zéro, puisque j'applique une distribution à une fonction test qui est nulle au voisinage du support de la distribution, une fonction test dont le support est d'intersection avec la distribution. Parfait, autrement dit, pour de tels x, T étoile phi de x est égal à zéro. Alors, maintenant, étudions la régularité du produit de convolution d'une distribution par une fonction de classe C infini à support compact, si la distribution n'est pas à support compact, ou d'une distribution à support compact par une fonction de classe C infini. On a vu que si je prends le produit de convolution d'une fonction localement intégrable par une fonction de classe C infini à support compact, le résultat est une fonction de classe C infini. Ceci est encore est vrai dans le cas des distributions. Plus précisément, voilà ce qui se passe. Si T et phi sont, pour T une distribution et phi une fonction de classe C infini à support compact, ou T une distribution à support compact et phi, fonction de classe C infini, toutes deux sur R n, le produit de convolution T étoile phi est une fonction de classe C infini sur R n. Et plus précisément, n'importe quel monôme différentiel d rond alpha agissant sur T étoile phi est égal, indifféremment, au produit de convolution de d rond alpha T par phi, ou bien de T convolué par d rond alpha phi. Ceci vaut pour tout alpha multi-indices à N composantes. Donnons une idée de la démonstration. Alors, dans le cas du produit de convolution d'une fonction de classe C infini à support compact par une fonction localement intégrable, les formules encadrées sont vraies, bien sûr, et s'obtiennent par dérivation sous le signe somme. Il faut mettre en place, donc, l'analogue de la notion de dérivation sous le signe somme, mais dans le cadre des distributions. Alors voici comment ça fonctionne : je prends phi, une fonction de classe C infini à support compact de R, on va faire la démonstration en dimension un, et je vais poser grand Phi n de x moins y égale, par définition, à n fois petit phi de x plus 1 sur n moins y moins phi de x moins y. Évidemment, lorsque n tend vers plus l'infini, Phi n de x moins y converge simplement, converge pour tout y, ponctuellement vers Phi prime de x moins y. Mais en réalité, on a bien plus que cela. On a le fait que la suite Phi n de x moins y vue comme fonction de y converge vers petit phi prime de x moins y vue comme fonction de y avec une convergence dans C infini à support compact de R. En effet, le point crucial, c'est que les supports de toutes ces fonctions, n étant un entier supérieur ou égal à 1, sont contenues dans le support de la fonction x moins y vue comme une fonction de y auquel je rajoute l'intervalle 0, 1 dans lequel varie 1 sur n. Par conséquent, les supports de toutes ces fonctions sont contenus dans un compact fixe, et donc on a bien la convergence dans l'espace des fonctions test de classe C infini à support compact sur R. Par continuité séquentielle des distributions, T appliqué à phi n de x moins y vue comme fonction de y, par définition, par linéarité de T c'est n fois T étoile petit phi de x plus 1 sur n moins T étoile petit phi de x, donc cette quantité-là tend bien vers T étoile phi dérivé au point x. Mais d'autre part, comme Phi n de x moins y vue comme fonction de y converge dans C infini à support compact de R vers petit phi prime de x moins y, T appliqué à grand Phi n de x moins y vue comme fonction de y converge vers T appliqué à petit phi prime de x moins y vue comme fonction de y. Et donc par cet argument-là , on a établi que T étoile phi dérivée est égal à T étoile phi prime. Alors après, une fois qu'on a cette formule, la formule qui permet de passer de T étoile phi prime à T prime étoile phi est immédiate et elle découle de la définition de dérivée au sens des distributions. C'est là l'idée de la démonstration, alors bien sûr, pour la mettre en oeuvre, il faut quelques détails techniques. Mais l'idée est celle qui est exposée ici. Autrement dit, le point essentiel de cette démonstration, c'est de vérifier que la dérivation par rapport aux paramètres, ici la dérivation par rapport à la variable x commute avec le crochet de dualité exactement comme ce serait le cas avec le théorème de dérivation sous le signe somme, bien connu en intégration.
