Jusqu'ici, nous avons appliqué la notion de solution, au sens des distributions, d'un problème de Cauchy, pour une équation aux dérivées partielles, à des exemples d'équations à dérivées partielles qui sont d'ordre 1, en la variable de temps. Voyons maintenant comment cette même notion s'applique à un exemple d'équation à dérivées partielles d'ordre 2 en temps, et, plus spécifiquement, nous allons examiner dans la dernière partie de ce cours, le cas de l'équation des ondes. Alors, je rappelle que le problème de Cauchy le plus général pour l'équation des ondes s'écrit: d'Alembertien de u égale S; où u est une fonction ou une distribution des variables x et t, où x varie dans l'espace euclidien R N, t est ici pris strictement positif, et on suppose que, on se donne les valeurs de u et de sa dérivée en temps pour t égale zéro. Donc, on prescrit u à t égale zéro, égale u zéro, et d rond t, u à t égale zéro, égale v zéro, et donc, ici, les données sont les fonctions des distributions u zéro et v zéro de la variable x, ainsi que le terme source, S, qui est une fonction, ou une distribution, en les variables t et x. L'inconnue est la fonction, ou la distribution, petit q, qui est une fonction ou une distribution des variables t et x. Alors, je rappelle également la formule définissant l'opérateur d'Alembertien. Alors le d'Alembertien, en t et x, c'est l'opérateur qui est d rond t carré, d rond t itéré deux fois moins laplacien en x. Je rappelle également que, on a trouvé des solutions élémentaires dans le futur, solutions élémentaires à support dans l'ensemble t supérieur ou égal à zéro, pour l'opérateur d'Alembertien. On les a calculés en dimension d'espace, 1, 2 et 3. Donc, je rappelle que si on note E N une telle solution élémentaire, donc on suppose que on a d'Alembertien en tx de E N qui est égal à la masse de Dirac en t égal à zéro et x égal à zéro, et que l'on suppose en outre que le support de E N est inclus dans R plus croix R N, eh bien pour N égale 1, on avait trouvé que E 1 est en réalité une fonction, E 1 de t, de x, est égale à un demi de l'indicatrice que t est strictement positif, fois l'indicatrice que x appartient à l'intervalle ouvert moins t, t. En dimension 2, on avait trouvé que E 2 de t et de x, c'est encore une fonction, c'est: indicatrice que t est strictement positif, divisé par 2 pi, fois indicatrice que x appartient à la boule de centre zéro et de rayon t, divisée par racine carré de t 2, moins norme de x au carré. Donc, la formule donnant la solution élémentaire dans le futur, pour le d'Alembertien en dimension 1, est connue sous le nom de formule de d'Alembert. Dans le cas de la dimension 2, on parle de la formule de Poisson. Et enfin, en dimension 3, l'espace E 3 est égal à la distribution produit de sigma t, distribution de simple couche sur la sphère de centre zéro et de rayon t dans R N, ici dans R 3, par le quotient indicatrice que t est strictement positif, divisée par 4 pi t, et cette dernière formule est connue sous le nom de formule de Kirchhoff. Alors, nous allons voir maintenant comment, à partir de la notion de solution élémentaire dans le futur, pour le d'Alembertien, on va pouvoir résoudre le problème de Cauchy, le plus général, pour l'équation des ondes. Alors, évidemment, le premier travail, c'est d'arriver à une formulation au sens des distributions des conditions initiales. Évidemment ici, au contraire de ce qui se passe dans le cas de l'équation de la chaleur, et de l'équation de Schrödinger, l'équation des ondes est d'ordre deux en t, et, par conséquent, il y a deux conditions initiales, une portant sur U, et l'autre portant sur d rond u, sur d rond t. Les deux vont se traduire au sens des distributions par des termes de source qui sont concentrés en t égal à zéro. Mais, maintenant, il faut bien comprendre ce que sont ces termes de source, et c'est l'objet de la définition suivante: soit donc, u zéro et v zéro, des distributions sur R N, soit S une distribution à support compact sur R plus étoile croix R N. On dira qu'une solution au sens des distributions du problème de Cauchy, pour l'équation des ondes, d'Alembertien de U égale S, U à t égale zéro, égale U zéro, et d rond t U restreint à d égale zéro, égale d zéro. Eh bien, une solution au sens des distributions de ce problème de Cauchy, c'est un élément grand U de D prime de R croix RN, donc une distribution des variables t et x, définies pour tous les temps, et pour tous les points x de R N, tel que, l'on ait d'une part, d'Alembertien de U égale masse de Dirac en t égale zéro, tens v zéro, plus dérivée de Dirac en zéro, tens u zéro, plus S point, ou, comme avant on a noté S point le prolongement de la distribution à support compact S par zéro, pour t inférieur ou égal à zéro. Et, en outre, grand U devra être à support dans R plus, croix R N. Alors, vérifions que la définition de la notion de solution du problème de Cauchy pour l'équation des ondes coincide bien avec la définition classique dans le cas des fonctions régulières. Donc, ce qui motive cette définition de la notion de solution du problème de Cauchy pour l'équation des ondes, c'est le calcul suivant: supposons maintenant que je m'intéresse à une fonction u qui est de classe C 2, sur R croix R N, solution du problème de Cauchy pour l'équation des ondes, avec données initiales u restreint à t égale zéro, égale u zéro, d, t, u restreints t égale zéro, égale v zéro, toutes les deux sont des fonctions continues sur R N, et S, qui est un terme de source, continue sur R croix R N et donc on cherche à résoudre l'équation d'Alembertien de U égale S, avec les données initiales définies par u zéro, et v zéro, et le terme de source grand S. Cherchons donc l'équation vérifiée par la fonction grand U, tronquée pour t négatif, annulée pour t négatif, c'est-à -dire grand U de t et de x, c'est le produit de l'indicatrice que t est strictement positif, par la fonction U de t et de x. On applique de nouveau la formule de Leibnitz, pour calculer le d'Alembertien de grand U, le d'Alembertien de grand U donc, c'est d, t carré, de l'indicatrice que t est strictement positif fois petit u, moins l'indicatrice que t est strictement positif, laplacien de petit u. Évidemment, l'indicatrice que t est strictement positif commute avec le laplacien par rapport à la variable x. Et puis, maintenant donc, on calcule la dérivée d'ordre 2 en temps, qui apparaît au membre de droite de cette égalité. On dérive une première fois en temps en appliquant la formule de Leibnitz, et donc on trouve que cette dérivée est d'ordre 2 en temps, c'est la dérivée d'ordre 1 en temps de u, multipliée par Dirac en zéro tens 1, plus l'indicatrice que t est strictement positif, multipliant d rond t, petit u, toujours moins l'indicatrice que t est strictement positif, fois le laplacien en x de u. Et puis, maintenant, on simplifie un petit peu le terme qui apparaît sous la dérivée en temps. En effet, u multipliant Dirac en zéro tens 1, ce n'est rien d'autre que Dirac en zéro, tens u zéro, qui est la valeur de u à t égale zéro. Et puis, on trouve bien sûr, plus l'indicatrice que t est strictement positif, d rond t, u, ça n'a pas changé. Et, à nouveau, on applique la formule de Leibnitz pour calculer cette nouvelle dérivée en temps. Le premier terme donne une contribution qui est Dirac prime en zéro, tens u zéro, et le deuxième terme donne d, t, u, multiplié par la distribution Dirac en zéro tens 1, plus l'indicatrice que t est positif, fois la dérivée seconde en temps de u, moins l'indicatrice que t est strictement positif, fois le laplacien en x de u. Autrement dit, tout ceci se regroupe pour faire l'indicatrice que t est strictement positif, fois le d'Alembertien de petit u. Mais le d'Alembertien de petit u, c'est égal au terme de source, grand S, et donc, au total, on trouve Dirac prime en zéro tens u zéro, plus Dirac en zéro, tens v zéro, plus l'indicatrice que t est strictement positif, fois S. Donc, bien sûr, on retrouve ici que si u est solution du problème de Cauchy pour l'équation des ondes avec donnée initiale définie par u zéro, v zéro, et terme source égal à grand S. Eh bien, on voit que la fonction grand U, donc, correspondant à tronquer petit u en l'affectant la valeur zéro pour t négatif, vérifie bien l'équation d'Alembertien de u, égal au terme de source, avec une partie qui est localisée en zéro, qui correspond aux conditions initiales, et la partie qui vient du terme de source grand S. Alors, avec ce que nous savons maintenant, nous pouvons résoudre l'équation des ondes, le problème de Cauchy pour l'équation des ondes, pour les dimensions N égale 1, 2 et 3, avec la notion de solution élémentaire dans le futur. Et, nous avons ainsi le théorème suivant, théorème 4. Soit u zéro et v zéro distributions à support compact sur R N, et soit S, une distribution à support compact sur R plus étoile croix R N. Eh bien, il existe une unique distribution grand U tempérée, donc, un élément grand U de S prime de R croix R N. Solution au sens des distributions du problème de Cauchy pour l'équation des ondes d'Alembertien de petit u égale grand S, u restreint à t égale zéro, égale u zéro, d rond t u restreint à t égale zéro, égale v zéro. Problème de Cauchy posé pour les temps positifs. Et, cette solution est donnée par la formule grand U égale le produit de convolution de E N par Dirac en zéro, tens v zéro, plus S point, plus la dérivée en temps de E N convolée avec Dirac en zéro tens u zéro. Alors, démontrons ce résultat. Alors, d'une part, on sait que d'Alembertien de E N égale Dirac en t égale zéro, et en x égal à zéro. Donc, si je dérive en temps E N, je trouve que d'alambertien de dt de E N est égal à Dirac prime en t égal à zéro, tens Dirac en x égal à zéro. Alors, avec ça, bien sûr, si je calcule le d'Alembertien du produit de convolution de E N par Dirac en zéro, tens v zéro plus S point, plus dt de E N convolé avec Dirac en zéro, tens u zéro. Alors, le premier terme va donner une contribution qui est d'Alembertien de E N convolé avec Dirac en zéro, tens v zéro plus S point. Et le deuxième terme va me donner une contribution de d'Alembertien de dt E N convolé avec Dirac en zéro tens u zéro. Ça, c'est les propriétés fondamentales, propriétés générales, du produit de convolution, étant donné que, ici, eh bien, la distribution Dirac en zéro, tens v zéro plus S point, ainsi que la distribution Dirac en zéro, tens u zéro sont à support compact, puisque on a supposé que les données u zéro, v zéro et S, sont elles-mêmes à support compact. Donc, on a le droit d'utiliser le calcul standard sur les produits de convolution de distribution, l'un des termes du produit étant à support compact. Bien, maintenant, d'Alembertien de E N, c'est Dirac en t égale zéro, x égale zéro, d'Alembertien de dt de E N, c'est Dirac prime en zéro, tens Dirac en x égale zéro. Et donc, le premier terme de la somme fournit le résultat Dirac en zéro, tens v zéro, plus S point. Puisque Dirac en t égale zéro, et en x égale zéro, c'est l'élément neutre pour le produit de convolution. Et le deuxième produit de convolution fournit le résultat Dirac prime en zéro, tens u zéro. Autrement dit, la distribution E N tens Dirac en zéro, plus v zéro, plus S point, plus dt de E N convolé avec Dirac en zéro, tens u zéro satisfait l'équation des ondes avec le terme de source qui correspond, d'une part, aux conditions initiales définies par u zéro et v zéro, et d'autre part, au terme de source grand S. Vérifions maintenant, la condition de support. On sait que le support de E N est inclus dans R plus croix R N. Donc, le support de d rond t E N, également, est inclus dans R plus croix R N, et par conséquent, le support de la distribution grand U ainsi défini, il est inclus dans l'addition des supports, donc, il est inclus dans R plus croix R N, plus le support de Dirac en zéro tens v zéro, plus S point, union R plus croix R N, plus le support de Dirac en zéro, tens u zéro. Bien. Mais maintenant, évidemment, le support de Dirac en zéro, tens v zéro, le support de Dirac en zéro, tens u zéro, sont inclus dans le produit cartésien de zéro par R N. S point est un support dans R plus croix RN. Donc, au final, on trouve que l'addition de ces supports et leur réunion, vaut exactement R plus croix R N. Donc, le support de U est inclus dans R plus croix R N. Alors, il ne reste plus qu'à vérifier l'unicité de la solution, au sens des distributions du problème de Cauchy. Et pour cela, on va établir le lemme d'unicité suivant, pour vérifier l'unicité, puisque l'équation des ondes est linéaire, il suffit de vérifier que la solution du problème de Cauchy, où le terme source est égal à zéro, et où les conditions initiales sont elles-mêmes égales à zéro. La seule solution, c'est zéro. Donc, c'est ce qu'on montre dans le lemme suivant. Donc, soit V, distribution tempérée sur R croix R N, telle que d'Alembertien de grand V égale à zéro, et support de grand V est inclus dans R plus croix R N. Alors, forcément, V est égal à zéro. Alors, pour démontrer cela, on va utiliser la transformation de Fourier partielle par rapport à la variable x. Donc, on va noter V chapeau, la transformée de Fourier, partielle de V en la variable x, et ksi, la variable duale de la variable x. Alors, dire que V satisfait l'équation d'Alembertien de V est égal à zéro, c'est équivalent, en transformation de Fourier partielle, à dire que V chapeau vérifie l'équation différentielle d rond t carré de V chapeau plus norme de ksi au carré, fois V chapeau est égale à zéro. Bien, mais ça, c'est une équation différentielle ordinaire, linéaire du second ordre, que l'on résout très facilement. Alors, une façon de procéder, ça consiste à observer que d rond t carré de V chapeau, plus norme de ksi carré fois V chapeau est égal à d rond t plus i norme de ksi, fois d rond t moins i norme de ksi, fois V chapeau. Et d rond t moins i norme de ksi, c'est la même chose que d rond t conjugué par exponentielle de i, norme de ksi fois t appliquée à V chapeau. Et donc, au total, si on répète cette opération, pour d rond t plus i norme de ksi, on trouve que d rond t carré V chapeau, plus norme de ksi carré V chapeau, c'est égal à exponentielle de moins i, t norme de ksi, d rond t de exponentielle de 2 i, norme de ksi fois t, d rond t de exponentielle de moins i, norme de ksi t fois V chapeau. Or, ceci est égal à zéro. Donc, par conséquent, lorsqu'on a une dérivée au sens des distributions, d'une distribution qui est égale à zéro, ça veut dire que la distribution en question est constante, par rapport à la variable par rapport à laquelle on dérive. Donc, ainsi, on trouve que la distribution exponentielle de 2 i norme de ksi fois t, d rond t de exponentielle de moins i, norme de ksi fois t, fois V chapeau, c'est constant, c'est une distribution qui est constante en la variable t. Autrement dit, ça s'écrit A de ksi. Mais évidemment, comme V chapeau restreint à t négatif est égal à zéro, eh bien, il en va de même de exponentielle de 2 i, norme de ksi fois t que multiplie d rond t de exponentielle de moins i, norme de ksi fois t, fois V chapeau. Et par conséquent, on en déduit que forcément, A est égal à zéro. Et donc, puisque A est égal à zéro, eh bien de nouveau, on conclut que exponentielle de moins i, norme de ksi fois t fois V chapeau est égale à B de ksi. Autrement dit, on a de nouveau une distribution qui est constante en t. Mais de nouveau, comme V chapeau pour les temps négatifs, est égal à zéro, eh bien, on en conclut que B est égal à zéro, et donc, que V chapeau est elle-même égale à zéro. Alors, par inversion de la transformation de Fourier partielle en x, on conclut que V est elle-même égale à zéro, ce qu'il fallait démontrer. Et maintenant, pour démontrer l'unicité de la solution du problème de Cauchy, on remarque que s'il existait deux solutions U 1 et U 2 du problème de Cauchy pour l'équation des ondes, avec les mêmes données initiales, et le même terme de source, eh bien, en prenant leur différence, on aurait, d'une part, d'Alembertien de U 1 moins U 2 est égal à zéro, et d'autre part, le support de U 1 moins U 2, est inclus dans R plus croix R N, puisque U 1 et U 2 sont elles-mêmes un support dans R plus croix R N. Et donc, en appliquant le lemme qu'on vient de démontrer à la différence grand V égal U 1 moins U 2, on conclurait que U 1 est égal à U 2, d'où l'unicité de la solution.
