Bonjour et bienvenue au cours de thermodynamique. Dans la présentation précédente, nous avons obtenu les équations de continuité pour les variables d'état des milieux continus, ainsi que pour d'autres observables extensives d'intérêt particulier. Dans cette partie du cours, nous utiliserons certaines de ces équations que nous avons dérivées, pour réaliser le bilan énergétique local d'un milieu continu. A l'aide du bilan énergétique local d'un milieu continu nous pourrons obtenir l'équation thermostatique locale, autrement dit l'équation Euler locale, ainsi qu'une équation pour la densité de courant d'entropie d'un milieu continu, et une équation pour la densité de source d'entropie d'un milieu continu. le bilan énergétique local d'un milieu continu est basé sur l'hypothèse d'équilibre local. Selon cette hypothèse, un système thermodynamique local, c'est-à-dire un point matériel qui appartient au milieu continu, se trouve dans un état d'équilibre. Alors, la relation de Gibbs est applicable pour ce système local, ce qui signifie que la relation de Gibbs est valable au niveau local, et peut être écrite en termes de différentiels de champs d'état thermodynamiques. Voilà la relation de Gibbs locale. Cette relation nous permet d'exprimer la différentielle totale de la densité d'entropie d'un milieu continu en termes de différentielle totale d'autres champs d'état thermodynamiques. Selon la structure de cette relation, le champ de température tau est défini comme la dérivée partielle de la densité d'énergie interne par rapport à la densité d'entropie, et de plus, nu A, le potentiel chimique de la substance chimique A est défini comme la dérivée partielle de la densité d'énergie interne du milieu par rapport à la densité de substance chimique A, finalement, phi, le potentiel électrostatique externe, est défini comme la dérivée partielle de la densité d'énergie interne par rapport à la densité de charge électrique. Si nous divisons la relation de Gibbs par dt, nous arrivons à cette relation. C'est une relation pour la dérivée matérielle de la densité d'entropie s dot. L'objectif du bilan énergétique local est d'exprimer les densités de courant et de source d'entropie en fonction des densités des courants et des sources des autres champs d'état. A cette fin, nous introduirons dans la relation précédente certaines des équations de continuité que nous avons dérivées dans les parties de cours précédentes. C'est-à-dire que à cette fin nous introduisons les équations de continuité pour l'énergie interne, pour les substances chimiques, et pour la charge électrique à l'équation précédente. Après une séries de manipulations algébriques, ceci nous donne cette expression pour la dérivée matérielle de la densité d'entropie s dot. Effectivement, elle est une relation assez longue, mais il y a encore quelques termes et quelques quantités que nous pouvons manipuler. Par exemple, la densité de courant électrique conductif jq est donnée par cette relation que nous avons dérivée dans la partie du cours précédente. De plus, nous pouvons manipuler ces termes, encadrés par la boite verte, qui représentent le double produit scalaire entre les tenseurs de déformation et de contrainte, ainsi que ces termes, qui impliquent le taux de réaction chimique. Nous commençons avec les termes encadrés par la boite verte. Nous remarquons que le tenseur de contrainte tau est constitué d'une partie réversible et d'une partie irréversible. La partie réversible est associée aux forces de contact qui fournissent du travail réversible tandis que partie irréversible est associée aux forces de contact dont le travail est dissipé. Nous avons alors la décomposition suivante. Ici, tau rev représente la partie réversible du tenseur de contrainte, tandis que ce tenseur tau fr représente la partie irréversible. Il s'appelle tenseur de frottement. Concernant le tenseur tau rev, la partie réversible, pour les fluides, il est défini par la pression hydrostatique. Ceci signifie que pour les fluides, la seule force de contact qui fournit du travail réversible est la pression hydrostatique, alors tau rev est donné comme l'opposé du produit entre la pression hydrostatique p et la matrice identitaire. En ce qui concerne le tenseur de frottement, il peut être décomposé en un tenseur diagonal et un tenseur déviatorique. Cette décomposition est tout à fait générale et peut être appliquée à un tenseur arbitraire. Nous avons alors la décomposition suivante. Le premier terme du côté droit de cette équation représente un tenseur diagonal. Ce tenseur est donné comme le produit d'une quantité scalaire tau fr et la matrice identitaire. La quantité scalaire tau fr est donnée comme le tiers de la trace du tenseur de frottement, et elle s'appelle pression visqueuse. Cette quantité représente le tenseur déviatorique et il est défini comme la différence entre le tenseur de frottement et ce tenseur diagonal. Alors à l'aide de cette décomposition, le tenseur de contrainte tau s'écrit sous la forme suivante. Maintenant, nous pouvons appliquer la décomposition à un tenseur diagonal et un tenseur déviatorique au tenseur de déformation. Nous avons alors la décomposition suivante. Ici, ces termes représentent un tenseur diagonal qui est donné comme le produit entre le tiers de la trace du tenseur de déformation et la matrice identitaire. La trace du tenseur de déformation est égale à la divergence de vitesse. Ce tenseur ici représente la partie déviatorique du tenseur de déformation, et il est défini comme la différence entre le tenseur de déformation et ce tenseur diagonal. A l'aide de ces deux représentations, le tenseur de contrainte et le tenseur de déformation, le double produit scalaire entre ces deux tenseurs est donné par cette expression. Cette expression peut ensuite être introduite à la relation pour la dérivée matérielle de la densité d'entropie. Nous continuons avec les termes encadrés par la boite bleue. D'abord nous définissons l'affinité Aa d'une réaction chimique a. Voilà la définition de l'affinité d'une réaction chimique. L'affinité d'une réaction chimique est donnée comme l'opposé de la somme des coefficients stoechiométriques liés à cette réaction pondérée par les masses molaires des substances chimiques qui participent dans cette réaction. A l'aide de cette définition, le terme encadré par la boite verte, peut être écrit sous cette forme. Maintenant, à l'aide des deux derniers résultats, l'équation pour s dot, la dérivée matérielle de la densité d'entropie, s'écrit sous cette forme. Nous remarquons que s dot est la somme de trois contributions. La première contribution s'exprime par ce terme qui est le produit entre la divergence de vitesse et cette quantité qui est une combinaison de champs d'état thermodynamiques. La deuxième contribution s'exprime par ce terme qui est un terme de divergence. Et finalement, la troisième contribution s'exprime par ce terme qui est une somme de produits. Maintenant nous rappelons l'équation de continuité pour l'entropie que nous avons dérivée dans la présentation précédente. Voilà l'équation de continuité pour l'entropie. Nous observons que cette équation a exactement la même structure que l'équation précédente. Alors par identification des deux dernières relations, nous arrivons à cette expression, qui est l'équation thermostatique locale, autrement dit l'équation Euler locale, cette équation nous permet d'exprimer la densité d'entropie en fonction des autres champs d'état thermodynamiques. De plus, nous arrivons à cette expression pour la densité de courant d'entropie ainsi qu'à cette expression pour la densité de source d'entropie. Nous observons que la densité de source d'entropie pi s s'exprime comme une somme de produits. Nous conclurons cette présentation avec une note. Nous considérons la différentielle de l'équation thermostatique locale. Voilà cette différentielle. La combinaison de cette équation avec la relation de Gibbs locale résulte en la forme locale de l'équation de Gibbs-Duhem. Voilà la relation de Gibbs-Duhem qui est une relation utile pour l'étude des processus hors équilibre. Nous sommes ici arrivés à la fin de cette partie du cours de thermodynamique. Dans la prochaine présentation, nous élaborerons plus sur l'expression pour la densité de source d'entropie, et de plus à l'aide de cette expression nous établirons un formalisme thermodynamique pour l'étude des processus hors équilibre.
