Bonjour à tous. Je suis heureux pour cette autre rencontre en votre compagnie au cours RESCIF de thermodynamique coordonné par l'école polytechnique fédérale de Lausanne et relatif aux fluides. Aujourd'hui, nous allons porter notre attention sur le module consacré au diagramme de Mollier et au diagramme frigorifique. Tout de suite, le sommaire de ce module. Dans ce module qui comprend deux parties, nous allons développer dans un premier temps les approches physiques régissant le diagramme de Mollier. Puis, nous allons réitérer la même démarche pour le diagramme logarithme p de h couramment connu sous le nom de diagramme frigorifique. Parcourons donc la première partie de ce chapitre portant sur le diagramme de Mollier. Notons pour commencer que c'est le diagramme utilisé pour le calcul des grandeurs thermodynamiques intervenant dans les projets relatifs aux cycles de vapeur. Notamment les chaleurs et les travaux mis en jeu. Son système de coordonnées comporte l'enthalpie spécifique en ordonnée et l'entropie spécifique en abscisse. Voyons le principe sur lequel est basé le diagramme de Mollier. La fonction enthalpie h est définie par la relation h égal à u plus pv, u ici étant l'énergie interne, p la pression du système et v le volume, soit par différenciation dh est égal à delta Q plus v dp. Delta Q ici est la chaleur échangée par le système. Par ailleurs, la fonction entropie s est définie par la relation ds égal à delta Q sur T. T ici, c'et la température du système. En remplaçant delta Q par sa valeur dans l'expression différenciée de la fonction enthalpie, nous obtenons dh égal à T ds plus v dp. Si p est une constante et h0, c'est-à -dire l'enthalpie au point initial, égal à 0, par convention, nous avons par intégration d, hM égal à l'intégrale de s0 à sM Tds. Alors, ceci signifie que le diagramme de Mollier hs est déduit du diagramme entropique ds par intégrations successives. De ce point de vue, la courbe de saturation du diagramme h de s est l'image de la même application de la courbe de saturation du diagramme T de s. On peut noter la translation des positions des points A dans le diagramme Ts au point A dans le diagramme hs. De même, les autres points, à savoir C, B et s deviennent C, B et s dans le diagramme h de s. Passons à l'élaboration de la famille des courbes qui forment le diagramme de Mollier. Commençons par la forme des isobares. D'abord, la pente d'une isobare. Alors, on peut noter que la pente d'une isobare correspond à la température en diagramme hs. Cette pente représente la dérivée partielle de h par rapport às à pression constante qui est égale à T. On peut, nous partons de la formule dh égal à T ds plus v dp. Or pour une transformation isobare, p est égal à une constante. On obtient donc dh égal à delta Q qui est égal à T ds. Il résulte que la dérivée partielle par rapport às à pression constante est égale à T. Comment évolue la pression dans la zone liquide? Pour une compression isentropique du liquide, nous obtenons delta h égal à v0 p moins p0. Or, h varie peut quand on passe d'une isobare à l'autre par compression isentropique d'un liquide. Autrement dit, les isobares sont pratiquement confondues avec la branche OC de la courbe de saturation [INAUDIBLE] le graphe précédent. La justification est toute simple. Pour l'eau, nous avons v0 sensiblement égal à 0,001 mètre cube par kilogramme. Si nous prenons p moins p0 égal à 100 bars, nous obtenons delta h égal à 10 kilojoules par kilogramme. Très faible devant les autres variations d'enthalpie mises en jeu dans les autres transformations. Regardons comment évolue la pression à l'intérieur de la courbe de saturation. Dans cette zone, le fluide est sous la forme liquide vapeur. L'isobare correspond au segment de droite AB de pente T. Comme preuve, nous venons de montrer que la pente des isobares est identique à la température, c'est-à -dire dérivée partielle de h par rapport às à pression constante est égale à T. Or, la température ne varie pas pendant une transformation avec changement de phase. Finalement, nous avons donc h égal à T s. Autrement dit, l'équation d'un segment de droite. Voyons maintenant comment évolue la pression dans la zone de vapeur sèche. Dans cette zone, l'isobare est approximée à celle d'un gaz parfait de forme exponentielle h égal à K prime exponentielle de s sur Cp. Cp ici, c'est la capacité calorifique à pression constante. Pour le prouver, considérons la forme infinitésimale de la fonction entropie dans une transformation isobare. Nous écrivons alors ds égal à delta Qp sur T, qui est égal à Cp dT sur T. Delta Qp, c'est la chaleur échangée à pression constante et Cp est la capacité calorifique à pression constante. En faisant l'hypothèse que la capacité calorifique à pression constante ne dépend pas de la température, nous obtenons, dérivée partielle de h par rapport às à pression constante égal à T. En intégrant la première équation, nous avons T égal à K exponentielle de s sur Cp. Nous pouvons donc remplacer cette expression de la température dans la première équation et la deuxième intégration nous donne h égal à K prime exponentielle de s sur Cp. Maintenant, place au titre du mélange liquide vapeur. Le titre de vapeur dans un état diphasique est par définition x égal à mv sur m. mv est la masse de la vapeur et m la masse du mélange. On montre que x est égal à l'entropie au point M situé dans la zone du mélange liquide vapeur moins l'entropie du point A situé sur la courbe de saturation séparant la partie liquide de la partie mélange liquide vapeur, le tout divisé par l'entropie du point B situé sur la courbe de saturation séparant la partie vapeur surchauffée et le mélange liquide vapeur. C'est encore égal à l'enthalpie du point M moins l'enthalpie du point A sur l'enthalpie du point B moins l'enthalpie du point A. Alors, on peut noter que les courbes d'égal titre représentent le faisceau de courbes convergeant tous au point critique C où le titre est indéfini. Pour preuve, il suffit d'écrire le système d'équations suivant. Première équation, ms est égal à mv sB plus ml sA. La deuxième équation s'écrit mh est égal à mv hB plus ml hA. La troisième équation s'écrit m est égal à mv plus ml. Notons que m est la masse du mélange dans la phase liquide vapeur. mv, c'est la masse de la vapeur dans cette phase et ml, la masse du liquide. Le point A est situé sur la courbe de saturation, donc en état liquide et saturé et le point B est également situé sur la courbe de saturation en état de vapeur saturée. Si nous résolvons ce système d'équations, considérons dans un premier temps la première et la dernière équation. La résolution nous donne mv égal à m, le tout multiplié par sM moins sA divisé par sB moins sA. Puis, ml est égal à m multiplié par sB moins sM, le tout divisé par sB moins sA. En considérant la deuxième et la troisième équation, nous obtenons après résolution mv égal à m, le tout multiplié par hM moins hA divisé par hB moins hA. Ensuite ml est égal à m, le tout multiplié par hB moins hM divisé par hB moins hA. Finalement, en divisant mv par m, nous l'expression du titre de vapeur, à savoir x est égal à l'entropie au point M moins l'entropie au point A, divisé par l'entropie au point B moins l'entropie au point A. Où x est égal à l'enthalpie au point M moins l'enthalpie au point A, le tout divisé par l'enthalpie au point B moins l'enthalpie au point A. Examinons maintenant la forme des isothermes. Dans la zone mixte, nous avons déjà vu que les isothermes se confondent aux isobares du fait de la coexistence des deux phases liquide-vapeur. Dans la zone vapeur sèche, les isothermes tendent vers l'horizontal, loin de la courbe de saturation. Nous avons les propriétés des gaz parfaits. Pour démontrer cette affirmation, reprenons l'expression de la fonction enthalpie. À savoir h = u + pv. La différenciation de cette fonction nous donne dh = du + d (pv). Pour une transformation d'un gaz parfait d'un état à l'autre, nous écrivons que du, c'est égal à du isochore + du isotherme. Avec du isochore = Cv dT et du isotherme = 0. Notons que Cv ici représente la capacité calorifique à volume constant. En remplaçant du par sa valeur dans l'expression précédente, nous obtenons dh = Cv dT + R / M dT. Notons que R représente ici la constante des gaz parfaits. Et M la masse molaire. En mettant en facteur dT, nous écrivons dh = (Cv + R / M) dT. Or, la transformation étant isotherme, dT = 0. Finalement dh = 0 et l'intégration nous donne h est égal à une constante. Cette figure représente le diagramme de Mollier de la vapeur d'eau avec toutes les courbes décrites plus haut. Mais il est important de relever que le diagramme industriel ne représente pas la zone de vapeur sèche ou de vapeur saturante à titre élevé. Cette autre figure présente un exemple de diagramme industriel de Mollier pour la vapeur d'eau. Nous avons deux remarques importantes à relever. La première remarque concerne les courbes de volume spécifique qui sont représentées sur certains diagrammes. Ces courbes sont utiles pour le dimensionnement des appareils et tuyauteries en déterminant le débit volume. Concernant la deuxième remarque, le diagramme de Mollier est inexploitable dans la zone liquide ou même liquide-vapeur à titre faible. Conséquence, la détermination des fonctions enthalpie, entropie, de la température d'ébullition Te et de la pression de saturation Ps se fait à l'aide des tables thermodynamiques. Place maintenant à la deuxième partie de ce module consacré au diagramme LOG p (h). C'est le diagramme couramment utilisé par les frigoristes. Le système de coordonnées de ce diagramme comporte la pression en ordonnée sur une échelle semi-logarithmique. Et l'enthalpie spécifique en abscisse. La courbe de saturation A, C et B et l'isotherme critique Tc divisent le plan en quatre zones correspondant aux états liquide, liquide-vapeur, vapeur sèche et gaz permanent. Examinons la forme des isothermes. Dans la zone liquide, nous avons les isenthalpes et les isothermes qui se confondent pratiquement. Ceci se justifie par le fait que pour un liquide, l'enthalpie h varie très peu avec la pression. Et cette grandeur ne dépend que de la température. Dans la zone mixte, nous avons les isobares et les isothermes qui se confondent rigoureusement. La justification résulte du fait que le changement d'état liquide-vapeur s'opère à pression et température constante. Dans la zone sèche, les isothermes tendent vers la verticale, loin de la courbe de saturation. Nous avons les propriétés des gaz parfaits. Pour prouver cela, notons que quand p tend vers 0, on a un gaz parfait. Comme précédemment démontré dans le cas du diagramme de Mollier, nous avons alors dh = (Cv + R / M) dT qui est égal à 0, car la température ne varie pas. Donc, on intégrant cette équation, nous avons h égal à une constante loin de la courbe de saturation. D'où cette forme dans le diagramme. Passons maintenant à la forme des isentropes. Dans la zone liquide, les isentropes sont presque verticales. Pour le prouver, nous partons de l'expression différentielle de l'enthalpie. À savoir, dh = Tds = vdp. Ce qui donne dérivée partielle de h par rapport à p à entropie constante égale à v. Soit dérivée partielle de p par rapport à h à entropie constante égale à 1 / v. Or, v est faible pour le liquide. Et donc, 1 / v est élevé. D'où la forme verticale de l'isentrope. Pour un liquide, h varie très peu avec la pression. Dans la zone sèche, nous avons les isentropes sous forme curviligne. La justification résulte du fait que v est élevé pour la vapeur. Et donc, 1 / v est faible. D'où la forme curviligne de l'isentrope. Jetons maintenant le regard sur la forme des isovolumes. Dans la zone liquide, les courbes d'égal volume sont presque verticales. Comme justification, notons que pour un liquide, comme l'enthalpie, le volume h varie peu avec la pression. Alors, pour le prouver, quand on s'éloigne de la courbe de saturation, on a un gaz parfait. Nous écrivons alors pv = nRT, la loi des gaz parfaits. En différenciant cette équation, nous obtenons p dv + v dp = nR dT. Pour une transformation isovolume, le volume ne varie pas. Finalement, on a v dp = nR dT. Or, dh = Cp dT. Il vient dp = (nR / Cp) (1 / v) dh. En remplaçant nR / Cp par sa valeur, nous écrivons donc dp = (1- 1 / gamma) (1 / v) dh. Notons que gamma représente ici l'exposant adiabatique défini par le rapport Cp / Cv. Cp étant la capacité calorifique à pression constante et Cv la capacité la capacité calorifique à volume constant. Pour finir, la dérivée partielle de p par rapport à h à volume constant donne (1- 1 / gamma) (1 / v). D'où la forme des isovolumes dans la zone sèche qui a une pente relativement plus faible que la pente des isentropes. Terminons par le titre de mélange liquide-vapeur. Nous avons vu précédemment que le titre de vapeur dans la zone mixte est par définition x = mv / m, mv est la masse de vapeur et m la masse du mélange. On montre que x = (hM- hA) / (hB- hA), hM est l'enthalpie d'un point m situé dans la zone du mélange, hA est l'enthalpie du point h situé sur la courbe de saturation côté liquide. Et hB, l'enthalpie du point B situé sur la courbe de saturation côté vapeur. La courbe d'égal titre converge au point critique C, où le titre est indéfini. Alors, pour preuve, il suffit de créer le système d'équation, m = mv + ml. Et mhM = mvhB + mlhA. Notons que les inconnues de ces systèmes d'équations c'est mV, c'est-à -dire la masse de la vapeur dans le mélange. Et mL la masse du liquide dans le mélange. La résolution de ces systèmes d'équations nous donne mv = m (hM- hA) / (hB- hA). Puis, ml = m (hB- hM) / (hB- hA). On déduit alors l'expression du titre vu précédemment. Cette figure schématise le diagramme LOG p (h) avec toutes les courbes décrites ci-dessus. Nous avons l'isotherme, les courbes d'égal titre, les isentropes, les isovolumes. Et la figure ci-contre représente enfin un exemple de diagramme LOG p (h) pour le R22. Alors, en vert, nous avons les isentropes. Les isothermes sont en rouge. Les isovolumes en bleu. Les isobares sont des droites horizontales. Et les isenthalpes sont des droites verticales. Nous noterons au terme de ce quatrième et dernier module de cette leçon consacrée aux fluides que le diagramme de Mollier est utilisé pour le calcul des grandeurs thermodynamiques intervenant dans les projets industriels. Notamment, les circuits de vapeur. Nous noterons ensuite que ce diagramme est inexploitable dans la zone liquide ou liquide-vapeur à titre faible. Nous noterons enfin que le diagramme LOG p (h), encore appelé diagramme frigorifique est utilisé particulièrement pour les dimensionnements des réfrigérateurs et des pompes à chaleur. Je vous remercie pour cette rencontre. [AUDIO_VIDE]
