Bonjour et bienvenue au cours de thermodynamique. Dans la présentation précédente, nous avons obtenu la forme générale d'équations de continuité pour une observable extensive de milieu continu. Dans cette partie de cours, nous utiliserons cette forme générale pour dériver les équations de continuité pour les variables d'états de milieux continus ainsi que les équations de continuité pour d'autres observables extensives d'un terrain particulier. Plus précisément, nous présenterons la dérivation des équations de continuité pour la masse, pour des substances chimiques, pour la quantité de mouvement, pour l'énergie interne, pour la charge électrique, et finalement pour l'entropie. Nous rappelons la forme générale d'équations de continuité pour une observable extensive F. Dans cette équation f représente la densité d'observables extensives, f dot représente la dérivée matérielle de la densité, tandis que jf représente la densité de courant pour f et pi f représente la densité de source pour f. Nous considérons un mélange de r substances chimiques en présence de n réactions chimiques. Ceci est le milieu continu, que nous proposons étudier. Concernant ce milieu, la vitesse angulaire de son centre de masse est supposée nulle. Nous écrivons alors que omega de t est égal à 0. Nous commençons avec l'équation de continuité pour la masse. Le principe de conservation de la masse requiert qu'il n'y ait pas de densité de source ni de courant de masse. Alors, l'équation de continuité, appliquée à la densité de la masse, résulte directement en cette équation. Dans cette équation, m représente la densité de la masse de mélange. Nous continuons avec les équations de continuité pour les substances chimiques du mélange. Pour les substances chimiques, l'équation de continuité dans cette relation nous avons r relations de ce type, i relations pour chaque substance chimique. Dans cette relation, nA représente la densité de la substance chimique A. De plus, pi A représente la densité de source de la substance A. Elle est due à des réactions chimiques, elle est donnée par cette relation. Dans cette relation, oméga A est le taux de la réaction chimique A. Elle est donnée comme la différentielle temporelle du degré de [INAUDIBLE] des réactions chimique ksi A. Nous écrivons alors que oméga est égal à d ksi a sur dt. De plus ces coefficients mu aA sont les coefficients stoechiométriques liés à la substance chimique A. Finalement jA représente la densité de courant de la substance chimique A. Si nous introduisons l'expression pour la densité de source de la substance A dans cette équation, nous arrivons à l'équation de continuité pour la substance chimique A. Nous avons alors r équations de ce type pour les substances chimiques du mélange. D'ailleurs, nous remarquons que la densité de masse de mélange est liée aux densités des r substances par cette relation. Ici mA représente la densité d'une unité de la substance chimique A. Autrement dit, c'est la masse molaire de la substance chimique A. Elle est définie comme la dérivée partielle de la densité de la masse de mélange m par rapport à la densité de la substance chimique mA. La masse molaire des substances chimiques est constante. Maintenant, nous considérons les équations de continuité des substances chimiques. Plus précisément, nous considérons l'équation de continuité pour la substance chimique A et nous multiplions chaque terme de cette équation par la masse molaire de la substance chimique A. Nous faisons ça pour toutes les équations de continuité, et ensuite nous en prenons la somme. Ce résultat peut être combiné avec cette équation. De cette manière, nous pouvons re-dériver l'équation de continuité pour la masse. En résumé, des deux dernières équations, nous arrivons à cette équation, qui n'est rien d'autre que l'équation de continuité pour la masse, et alors, elle doit être égale à 0. Sur base de la structure de cette équation, ce terme entre parenthèses est identifié comme la densité de courant de masse. De plus, ce terme ici est identifié comme la densité de source de masse. Mais selon le principe de conservation de la masse, il n'y a pas de densité de source, ni de courant de masse. Ceci signifie que tous les termes entre parenthèses du côté droit de l'équation précédente doivent être égaux à 0. Nous arrivons alors à ce résultat. Cette relation implique que les densités de courant des substances chimiques ne sont pas tous des dépendants. Par contre, leur somme, pondérée par les masses molaires des substances, est égale à 0. De plus, nous arrivons à cette équation. Cette équation implique que les coefficients stoechiométriques liés à une réaction chimique, ne sont pas tous indépendants. Par contre, leur somme pondérée par les masses molaires des substances qui participent dans cette réaction, est égale à 0. Ce résultat est connu sous le nom Loi de Lavoisier. Maintenant nous introduisons la vitesse vA de la substance chimique A, qui satisfait la relation suivante. Autrement dit, la densité de courant de la substance chimique A, est donnée comme la différence entre la vitesse vA et V multipliée par la densité de substance A. Nous pouvons maintenant introduire cette relation dans cette expression pour obtenir une relation pour la vitesse du mélange B. A l'aide de dernière relation, la vitesse du milieu et donnée par cette expression. Et nous remarquons que cet r dans le dénominateur côté droit de cette équation, est égal à la densité de la masse du mélange, ce qui nous fournit cette relation pour la vitesse du milieu v. Nous passons maintenant à l'équation de continuité pour la quantité de mouvement. La relation constitutive de la mécanique s'écrit p = m v, p étant la densité de la quantité de mouvement. A l'aide de la relation précédente pour la vitesse du milieu, la densité de quantité de mouvement p peut être écrite sous cette forme. Concernant l'équation de continuité pour la quantité de mouvement, la densité de source de la quantité de mouvement est due aux forces de champs extérieurs. Nous écrivons alors que pi p est égal à f extérieur. Un exemple d'une force de champ extérieur est la force de gravitation. D'ailleurs, la densité de courant est l'opposé du tenseur des contraintes. Nous écrivons alors que jp est égal à moins tau, tau étant le tenseur des contraintes. Le tenseur des contraintes est lié aux forces de contact qui sont exercées au milieu continu, c'est-à -dire aux forces qui sont exercées aux surfaces occupées par le milieu continu. Le signe négatif qui apparait devant le tenseur des contraintes est introduit pour respecter la convention des signes que nous avons adoptée. L'équation de continuité alors pour la quantité de mouvement s'écrit sous cette forme. Maintenant, nous pouvons introduire dans cette relation, la relation constitutive de la mécanique, et ensuite appliquer les règles de la [INAUDIBLE] pour la dérivée matérielle p dot de la densité des quantités de mouvement. Ensuite, nous pouvons y introduire l'équation de continuité pour la masse. En résumé, à l'aide d'équation de continuité pour la masse, la dernière équation résulte en la deuxième loi de Newton. Voilà la deuxième loi de Newton. Maintenant, nous élaborerons un peu plus sur le tenseur des contraintes tau. Nous considérons une surface occupée par le milieu continu, et sur cette surface, nous prenons un élément infinitésimal. Le vecteur de cet élément infinitésimal est noté par dS. Il y aura une force de contact infinitésimale exercée sur cet élément infinitésimal. Cette force de contact infinitésimale est notée par df. En général, la direction de cette force de contact infinitésimale est différente de la direction du vecteur dS, mais il est convenable d'avoir une relation entre ces 2 vecteurs. La relation la plus générale entre deux vecteurs est réalisée à l'aide d'un tenseur. Nous écrivons alors que df, la force de contact infinitésimale, est égal au produit du tenseur tau multiplié par le vecteur dS. Le tenseur tau est identifié comme le tenseur des contraintes. Une autre expression pour ce tenseur est tenseur des tensions. Pour un milieu continu dont les particules élémentaires n'ont pas de rotation intrinsèques, nous pouvons démontrer à l'aide du principe de conservation du moment de quantités de mouvement, que le tenseur des contraintes est symétrique. De plus il y a des cas particuliers concernant la direction de la force de contact infinitésimale df. Le premier cas particulier est quand la force df a la même direction que la direction du vecteur dS. Dans ce cas, la force de contact infinitésimale df est normale à l'élément infinitésimal où elle est exercée. dans ce cas, le tenseur des contraintes tau est diagonal. Un tenseur est diagonal quand les termes hors diagonales sont tous égaux à zéro. Le fait d'une force de contact normal à la surface où elle est exercée est le changement du volume du milieu. C'est-à -dire la compression ou l'expansion du milieu. Le deuxième cas particulier est quand la force de contact infinitésimale df est normale au vecteur dS. Dans ce cas, df est tangentielle à la surface où elle est exercée. Et nous pouvons démontrer que le tenseur de contraintes O est déviatonique. Un tenseur est déviatonique quand sa trace est égale à zéro. La trace d'un tenseur est la somme de [INAUDIBLE] diagonaux du tenseur. Le fait d'une force de contact tangentielle à la surface où elle est exercée est la déformation du milieu. Dans ce cas-là , nous disons que cette force de contact est une force de cisaillement. Nous continuons maintenant avec l'équation de continuité pour l'énergie totale. L'énergie totale est la somme de l'énergie interne et de l'énergie cinétique. Elle est même [INAUDIBLE] pour l'intensité. Alors, la densité d'énergie totale E est la somme de la densité d'énergie interne u + la densité de l'énergie cinétique, qui est représentée par ce terme. L'équation de continuité pour l'énergie totale s'écrit sous la forme suivante. Ici, Pi e est la densité de source pour l'énergie totale. Elle est égale au travail de forces extérieures. Nous écrivons alors que Pi e est le produit intérieur entre la vitesse et la force extérieure. De plus, la densité de courant j.e pour l'énergie totale, est la somme de deux contributions. La première contribution s'exprime par ce terme, qui est le travail de contrainte. La deuxième contribution s'exprime par cette quantité, qui est identifiée comme la densité de courant pour l'énergie interne. Un courant d'énergie interne peut [INAUDIBLE] un courant de chaleur, par exemple. Maintenant, nous pouvons introduire dans l'équation de continuité pour l'énergie totale ces deux expressions. La combinaison, alors, des trois dernières équations, nous donne cette relation. Nous avons alors cette équation plus l'expression pour la densité d'énergie totale de milieux continus. Nous pouvons introduire cette expression dans cette équation et utiliser les règles de la chaînette pour la dérivée matérielle e dot de la densité d'énergie totale. Ceci nous fournira cette équation. Maintenant, nous pouvons regrouper les termes du côté gauche de cette équation pour arriver à cette relation. Nous remarquons que ce terme ici, du côté gauche de cette équation, est nul en vue de l'équation de continuité pour la masse. Ceci nous fournit cette équation et maintenant, nous remarquons que ce produit, m.v dot apparaît également dans la deuxième loi de Newton; Voilà la deuxième loi de Newton. Maintenant, nous pouvons multiplier chaque terme de la deuxième loi de Newton par v et introduire les résultats dans cette équation. Nous arrivons alors à cette équation. Maintenant, nous pouvons combiner ces deux termes qui apparaissent du côté droit de cette équation. Ceci est réalisé à l'aide de l'identité mathématique suivante. Cette quantité, qui apparaît ici, est un opérateur différentiel sous le centre de vitesse. Il est alors un tenseur et il est donné par cette relation. Il est défini comme la moitié de la somme du graduant de vitesse et de la transposée du graduant de vitesse. Ce tenseur s'appelle tenseur des déformations. De plus, cette opération représente le double produit scalaire entre deux tenseurs. L'opération est la suivante : nous multiplions chaque terme du premier tenseur avec le terme équivalent du deuxième tenseur. Ensuite, nous prenons la somme de ces produits. Ceci nous donne le double produit scalaire entre deux tenseurs. À l'aide de cette identité mathématique, nous arrivons à l'équation de continuité pour l'énergie interne. Voilà l'équation de continuité pour l'énergie interne. Nous continuons avec l'équation de continuité pour la charge électrique. L'équation de continuité appliquée à la charge électrique nous donne cette expression. Et nous remarquons l'absence de densité de source de charge électrique. De plus, la quantité j.q qui apparaît dans cette équation est la densité de courant électrique conductif. D'ailleurs, le produit qv, entre la densité de la charge électrique q et la vitesse, est identifié comme la densité de courants électriques convectifs. La somme de ces deux densités est égale à la densité de courant électrique, qui est notée par j. De plus, nous remarquons que la densité de la charge électrique q est liée aux densités des r substances par cette relation. Ici, qA représente la charge électrique d'une unité de la substance A. Elle est définie comme la dérivée partielle de la densité de charge électrique q par rapport à la densité de la substance chimique A. qA, la charge électrique d'une unité de la substance A, est constante. Maintenant, nous considérons l'équation de continuité pour la substance chimique A et nous multiplions chaque terme de cette équation par qA. Nous faisons cela pour toutes les équations de continuité des substances chimiques et nous prenons la somme. Alors, cette somme, à l'aide de cette équation, nous donnera encore une fois l'équation de continuité pour la charge électrique. En résumé, la combinaison de la dernière relation avec les équations de continuité pour les substances chimiques nous donne cette équation. Cette équation n'est rien d'autre que l'équation de continuité pour la charge électrique. Alors, ce terme entre parenthèses est identifié comme la densité de courant électrique conductif tandis que, ce terme est identifié comme la densité de source pour la charge électrique, qui est égale à zéro. En résumé, l'identification de cette relation avec l'équation de continuité pour la charge électrique nous donne cette équation ainsi que cette équation. Et nous conclurons cette présentation avec l'équation de continuité pour l'entropie. L'équation de continuité pour l'entropie s'écrit sous la forme suivante. Dans cette relation, j.s représente la densité de courant d'entropie. Elle est due à une telle action du milieu avec son extérieur. De plus, Pi s représente la densité de source d'entropie au sein du milieu. Elle est due de processus au rééquilibre au sein du milieu. Le deuxième principe de thermodynamique requiert que la densité de source d'entropie soit non négative. Nous sommes ici arrivés à la fin de cette partie du cours de thermodynamique. Dans la prochaine partie, nous utiliserons les équations de continuité pour les variables d'état, que nous avons délivrées dans cette partie du cours, pour réaliser le bilan énergétique local de milieux continus.
