Comme vous le savez, certains composants électriques, lorsqu'ils sont actifs, dégagent une puissance qui, par effet joule, entraîne la surchauffe de ce composant. L'objectif de cet exercice, c'est d'étudier l'équilibre thermique d'un composant électrique et de voir les solutions que l'on peut utiliser pour remédier à cette surchauffe. Pour cela, on va mettre en application l'équation de la chaleur, la loi de Fourier, la loi d'Ohm et l'on va intégrer le refroidissement, par l"intermédiaire d'ailettes de refroidissement. On propose d"étudier un composant électronique de forme aprallélépipédique, de 10 cm de long, de 8 cm de large et qui a une épaisseur de 8 mm. En général, les composants électroniques sont composés d'une couche isolante, dans ce cas elle est de 5 mm. Sur la couche isolante, on vient poser un substrat d'épaisseur négligeable, dans lequel on va noyer un conducteur. Sur le substrat, on va poser une plaquette en aluminium. Dans ce cas elle est de 3 mm, avec une conductivité thermique lambda A, qui va servir à évacuer la chaleur dégagée par le conducteur vers l'ambiance. Lorsque le composant est actif, le conducteur noyé dans le substrat dégage une puissance que l'on note Phi de S, distribuée uniformément sur la surface du composant et on note T de S la température de ce substrat. Cette température T S est loimitée à 80° C pour éviter la détérioration de ce composant électronique. La puissance ainsi dégagée se propage dans l'aluminium, par conduction. Elle est ensuite évacuée vers l'ambiance par un transfert de chaleur conductoconvectif régi par le coefficient d'échange convectif h. Dans ce cas, h est égal à 15 W par degré par mètre carré. On note T P la température de la surface supérieure de la plaquette en aluminium. Dans un premier temps, on va étudier le comportement de ce composant électronique en régime stationnaire. Pour cela, on va commencer par déterminer l'expression du flux Phi S en fonction de la différence de température T de S du substrat et T 0 de l'air ambiant. Pour pouvoir résoudre ce problème, on va d'abord supposer quelques hypothèses qui s'appliquent à notre cas d'étude. D'abord, on va considérer que le flux de chaleur dissipé par le substrat est unidirectionnel et se propage suivant une direction perpendiculaire à ce substrat. Ensuite, on va considérer que la surface qui sépare le substrat et l'isolant est une surface adiabatique, donc on n'a pas de flux de chaleur échangé à cette interface. Ensuite, on va considérer que la résistance de contact entre le matériau en aluminium et le substrat lui-même est négligeable et finalement, on va négliger les flux de chaleur échangés par les surfaces latérales de ce composant, vu ses caractéristiques géométriques. Sur la figure suivante, on voit une partie du composant électronique. On va considérer un volume élémentaire dans la plaquette en aluminium, que l'on va noter dVA. dVA reçoit du substrat un flux Phi S et évacue par la surface supérieure de la plaquette en aluminium un flux noté Phi h échangé avec l'air par conductoconvection. Si l'on applique le premier principe à ce volume élémentaire, en régime permanent, la somme de tous les flux entrant dans ce volume doit être égale à 0. Ainsi, Phi S moins Phi h = 0. Phi S est le flux de chaleur qui se propage par conduction dans la plaquette en aluminium, donc elle est exprimée selon la loi de Fourier et Phi h, c'est le flux évacué par conductoconvection et qui est régi par la loi de Newton. En combinant ces trois expressions, on peut donc déterminer l'expression de T P à partir de cette équation. En remplaçant l'expression de T P dans cette expression et en considérant la première équation, qui est Phi h égal à Phi S, on peut alors déterminer Phi S en fonction d'un coefficient d'échange global que l'on note K de S et de la différence de température entre T S et T 0. À partir de cette expression, on peut alors en déduire l'expression de T S et de calculer sa valeur, puisque les différents paramètres de l'expression sont bien connus. Dans le cas d'un composant simple, comme on le voit, la température du substrat atteinte est de 187° C. Cette température est supérieure à la température limite acceptable par le composant, ce qui risque de détériorer ce composant. Étant donné encore que l'on met des ailettes de refroidissement, la question de dimensionnement peut se poser de différentes manières. Dans le cas étudié, on décide de bien définir les caractéristiques géométriques de l'ailette et de choisir le matériau et la question serait de déterminer le nombre d'ailettes nécessaire pour atteindre l'objectif et pour avoir un bon fonctionnement de ce composant électronique. Pour l'ailette choisie, on a considéré une hauteur B qui est égale à 2 cm, une section carrée de l'ailette égale à a, a étant de 2 mm. Cette ailette va échanger avec l'air ambiant un flux de chaleur conductoconvectif régi par le coefficient d'échange convectif h, qui est égal à 15 W / m² / °C. On va d'abord chercher à déterminer le flux de chaleur évacué par une ailette, pour ensuite pouvoir déterminer le nombre d'ailettes qu'il faut pour un bon fonctionnement de ce composant. Pour cela, on va noter T de x comme étant la température d'une tranche de cette ailette entre un abscisse x et x + dx. On note également Thêta de x comme étant égal à la différence entre la température de la tranche de l'ailette et de x et la température ambiante. Effectuons maintenant le bilan énergétique sur un volume élémentaire compris entre x et x + dx de cette ailette. Sur ce volume élémentaire, on a un flux conductif Phi de x qui traverse l'ailette par la section Phi de x. Un autre flux conductif, qui traverse la section en S de x + dx et il est noté Phi de x + dx. Par sa surface latérale, l'ailette échange avec l'ambiant un flux de chaleur conuctoconvectif noté Phi h de x. La surface latérale de l'ailette est égale à P, le périmètre de cette ailette, fois dx. P est égal à 4 a. En régime permanent, la somme des flux entrant dans un volume élémentaire est égale à 0. Ce qui nous permet de déterminer l'équation générale de l'ailette. Maintenant, il reste à déterminer les conditions aux limites. En x = 0, la température de la base de l'ailette et de x est égale à la température de la surface supérieure de la plaquette en aluminium T P. Alors, Thêta 0 est égal à T P moins T 0. Vu la géométrie de cette ailette, la hauteur B est bien plus grande que la section a, ainsi l'on peut dire que le flux échangé par le sommet de cette ailette est négligeable et on peut l'assimiler à 0, ce qui nous ramène à une deuxième condition aux limites en x = b qui est égal à d Thêta sur dx = 0. La solution générale de l'équation de l'ailette s'écrit telle que Thêta de x égal à C1 exponentielle m de x plus C2 exponentielle moins m de x. C1 et C2 étant les constantes d'intégration que l'on va déterminer. Si l'on considère que l'ailette est infinie, dans ce cas, quand x tend vers l'infini, l'exponentielle de moins x ou bien de moins m de x tend vers 0. Et l'exponentielle de m de x tend vers l'infini, ce qui est impossible. Ainsi, on peut dire que la constante C1 = 0 et C2 = T P- TO. Le flux qui traverse l'ailette en x = 0 est dégagé par les surfaces latérales de l'ailette par conductoconvection. En faisant cette égalité et en remplaçant dans l'équation générale de l'ailette, on peut déterminer le flux évacué par une ailette qui s'écrit suivant cette forme et qui dépend de A2, la section de l'ailette, m qui est une constante, lambda A la conductivité thermique de la plaquette en aluminium et la différence de température entre la base de l'ailette et l'air ambiant. Maintenant, il faut déterminer le nombre d'ailettes qu'il faut pour un bon fonctionnement de ce composant électronique. On va d'abord commencer par exprimer Phi de S en fonction de T S moins T 0. On sait bien que le flux Phi S qui provient du conducteur dans le substrat que l'on voit ici se propage dans la plaquette en aluminium par conduction et il est régi suivant cette expression de Phi de S. À partir de cette expression de Phi de S, on va déterminer l'expression de la température Tp. Ce flux sortant de la plaquette en aluminium va s'évacuer, d'une part, par un échange conductoconvectif, par l'intermédiaire des surfaces de la plaquette en aluminium non couvertes par les ailettes, d'autres part, il va être évacué dans l'ailette, d'abord par conduction à l'intérieur de l'ailette et puis ce flux va sortir, va se dégager par un échange conductoconvectif, par l'intermédiaire des surfaces latérales de l'ailette. Si on écrit le bilan énergétique de ce système, on a que Phi S égal à Phi h', Phi h' étant le flux de chaleur conductoonvectif échangé d'une part par l'intermédiaire de la plaquette en aluminium, non couverte par les ailettes et d'autre part, par les ailettes elles-mêmes. L, ici, définit le nombre d'ailettes qu'il faut pour atteindre l'objectif recherché. En simplifiant cette expression, le flux Phi de S s'exprime en fonction de h', le nouveau coefficient d'échange global de l'ensemble plaquette en aluminium + ailette, de la surface L x l du composant électronique, et de la différence de température entre le substrat et l'air ambiant T 0. Si l'on pose T S la température limite du substrat, comme étant égal à 80, on détermine un nouveau coefficient d'échange global h' = 41,6. Comparé au coefficient d'échange que l'on avait en l'absence d'ailettes sur la plaquette en aluminium, on voit bien que l'on a amélioré le transfert thermique entre le substrat et l'air ambiant, en ajoutant des ailettes. Pour atteindre la température limite, pour éviter une surchauffe de ce composant et se limiter à une température de substrat de 80°, le nombre d'ailettes nécessaires est de 21. Pour des mesures de sécurité, on décide de placer sur la plaquette en aluminium, 100 ailettes. Avec ce nouveau nombre d'ailettes, on augmente davantage la surface d'échange entre le composant et l'air ambiant, ce qui entraîne une augmentation du coefficient d'échange global h', qui passe à 147 Watt par mètre carré par degré C et la température du substrat obtenue pour ce nombre d'ailettes est égale à 37°C. Maintenant, on va étudier le comportement de ce composant électronique lorsqu'il subit un changement d'équilibre thermique, c'est-à-dire que l'on va étudier son état non stationnaire. Pour cela, on suppose que le composant électronique est soumis à une surpuissance et que le flux Phi S qui est dégagé par le conducteur passe de 20 à 60 Watt. Avec cette augmentation de la puissance, on a forcément une augmentation de la température du substrat. Dans cette partie de l'exercice, on va voir comment réagit ce comportement, vers quelle température il va évoluer et quelle serait la température limite qu'il atteint, ainsi que le temps qu'il faut pour atteindre cette température. Pour cela, on va commencer par établir l'équation de l'évolution de la température en fonction du temps. En régime non stationnaire, la température du composant varie en fonction du temps. Si l'on effectue le bilan énergétique appliqué à ce composant, on peut dire que la somme des flux entrants dans ce composant est égale à la variation de son énergie interne, exprimée par ce terme et dépend principalement des propriétés du matériau constituant ce composant, qui sont ici iii la masse volumique de l'aluminium, Vs son volume et C, sa capacité thermique classique et de la dérivée partielle de la température déviée par la dérivée partielle du temps. Si l'on remplace Phi de S qui est le flux diffusé par le conducteur et qui se propage par conduction dans la plaquette en aluminium, et l'expression de Phi' de ha qui correspond aux flux de chaleuréchangés par conductoconvection entre le composant et l'extérieur, on obtient ce premier terme de l'égalité, dans lequel on a seulement la température T de S qui dépend du temps. On va diviser l'ensemble, les deux membres de l'expression, par -h' L fois l et on va effectuer un changement de variable comme suit, la dérivée de G par rapport au temps est égale à la dérivée de la température T S du substrat par rapport au temps. Si l'on remplace ces deux expressions dans l'expression précédente, on peut alors déterminer l'expression de dT en fontion de dG sur G. Le système d'équation suivant composé par l'expression obtenue à partir du bilan énergétique et des conditions aux limites, à l'instant T = 0 et T = infini sont les suivantes, on va considérer qu'à l'instant T = 0 la température du substrat est égale à 37 degrés, c'est-à-dire la température de fonctionnement nominale de ce composant, et ensuite, on va réaliser une intégration entre l'instant T = 0 et un autre instant T. La solution de cette intégration est obtenue, elle est égale, comme vous le voyez, à G de 0 fois l'exponentielle de -h' L fois l divisé par o V c multiplié par le temps T. À partir du résultat de l'intégration, on obtient l'évolution de la température du substrat T S de T en fonction de T et de G 0 la condition aux limites à l'instant T égale à 0. Lorsque T tend vers l'infini, on voit que l'exponentielle de moins l'infini tend vers 0. Ainsi, on peut déterminer la température T infini qui est égale à T 0 plus un terme constant. Cette température est égale à 71°. On peut également définir une constante de temps T que l'on calcule, égale à 68 seconddes. Sur ce slide, vous pouvez bien voir l'évolution de la température du substrat en fonction du temps. On voit bien que la température limite sur laquelle tend le nouvel équilibre thermique du composant est égale à 71°C. Maintenant, si l'on considère que le composant est à 71° et à cet instant-là, on coupe l'alimentation de ce conducteur. Donc, on a un flux Phi ' de S égal à 0 dans ce cas. On va voir comment varier la température de ce composant et comment évolue la température en fonction du temps, à quel instant ce composant atteint la température normale de fonctionnement, qui est de 37°C, et à quel moment il atteint une température d'équilibre, c'est-à-dire une température constante qui est, dans ce cas, égale à la température ambiante. On va commencer par établir le bilan énergétique appliqué à ce composant qui fonctionne en régime non stationnaire. La somme des flux entrant dans ce système est égale à la variation de son énergie interne. Dans le cas actuel, en l'absence de puissance dissipée par le conducteur, le seul flux échangé par le conducteur est Phi' de h et c'est un flux sortant, d'où le signe moins. Il est égal à la variation de la température du substrat divisée ou bien en fonction du temps. Les conditions aux limites appliquées à ce cas d'étude, correspondent à l'instant T = 0. C'est l'instant où le courant a été coupé et un instant T qui correspond au nouvel équilibre thermique que va atteindre le composant. On va d'abord effectuer une changement de variable, en posant Thêta de T, qui est égal à T S de T et moins T 0. La dérivée de Thêta par rapport au temps est égale à la dérivée de la température du substrat par rapport au temps. En remplaçant l'expression de d Thêta sur dT et de Thêta dans l'expression précédente et en intégrant celle-ci entre l'instant T = 0 et l'instant T, on obtient la nouvelle distribution, la nouvelle évolution de la température en fonction du temps que l'on voit exprimé en fonction de T 0, de T S de 0, et des différents paramètres h', les caractéristiques géométriques de la plaquette en aluminium et de Rhô V C. L'évolution de la température ainsi obtenue est reproduite sur ce graphe, on voit bien qu'à l'instant T= 0, la température est de 71°, elle descend jusqu'à 37° à l'instant 70 secondes. Elle atteint la température d'équilibre après 480 secondes. La température d'équilibre étant la température ambiance, qui est égale à 20°C. En conclusion, nous avons traité durant cette séance le transfert thermique conductif en régime stationnaire et non stationnaire dans un composant électronique. On a vu que, lorsque les surfaces d'échanges sont insuffisantes pour un bon fonctionnement d'un composant électronique, il suffit d'ajouter des ailettes de refroidissement. Ces ailettes ont pour rôle d'accroître la surface d'échange entre le composant et l'air ambiant et donc, d'intensifier les échanges thermiques entre ce système et l'ambiance. Nous avons mis en application les différentes lois physiques et l'on a étudié le comportement de ce système en régime non stationnaire, ou on a vu que lorsque un composant électronique est soumis à une surpuissance, l'équilibre thermique de ce composant varie et tend vers une nouvelle température d'équilibre. Également, on a vu comment se comporte ce composant lorsque le courant est coupé, c'est-à- dire lorsqu'il y a une température supérieure à la température ambiance, quelle serait la dynamique d'évolution de sa température et à quel moment il atteint un nouvel équilibre thermique. Merci pour votre attention.
