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Bienvenue au cours de transfert thermique en ligne.
Je m'appelle Chantal Maatouk,
je suis docteur en énergétique de l'École des mines de Paris.
Aujourd'hui, je suis enseignante-chercheur à l'université St Joseph,
à l'École supérieure des ingénieurs de Beyrouth, au Liban.
Nous allons traiter, durant cette séance, le transfert thermique dans un mur
composite et principalement, la conduction dans un mur composite.
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Pour cet exercice, nous allons mettre en application l'équation de la chaleur,
la loi de Fourier, ainsi que la loi de Newton,
la loi d'Ohm et on va faire l'équivalence entre l'électrique et la thermique.
L'application que l'on va traiter consiste à étudier les transferts thermiques dans
un mur composite.
Comme vous le voyez sur la figure suivante,
le mur est composé par un matériau A.
Ce matériaux dispose d'une source de génération de chaleur interne,
qui est notée qA.
La conductivité thermique de ce matériau est lambda A et il a une épaisseur L A.
Ce matériau est accolé par un autre matériau, B,
dont la conductivité thermique est différente, il a une
épaisseur L B et ne dispose pas de source de génération de chaleur interne.
Du côté intérieur du mur, on voit qu'on a un isolant thermique et du côté extérieur,
le matériau B est refroidi par un film d'eau à 30° et qui est
caractérisé par un transfert de chaleur conductoconvectif avec un coefficient
d'échange convectif h de 1 000 W par m² par degré Celsius.
L'objectif de ce travail est de tracer la distribution des températures dans ce mur
composite et de déterminer la température aux interfaces de ce mur, c'est-à-dire
sur la surface isolée du matériau A et sur l'interface refroidie du matériau B.
Pour pouvoir résoudre ce problème, nous allons commencer par mettre en place
les hypothèses nécessaires à la résolution de notre problème.
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Ensuite, on considère que l'on est face à un problème de mur simple.
Donc, notre mur est considéré comme étant composé de plans en parallèle qui
sont isothermes et ainsi, le graduant de température dans ce mur,
est bien confondu avec la normale de ces plans en parallèle.
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On va notamment considérer que le contact entre les
différents matériaux constituant ce mur est parfaite,
ainsi on va négliger la résistance de contact entre ces différents murs.
Du côté de la surface isolée, comme vous le voyez, on va considérer que
la surface est adiabatique, ou bien on est face à une condition de flux nul à cette
interface et finalement, on va considérer les propriétés des matériaux A et B comme
étant indépendantes de la température et donc, constantes pour cette application.
On va commencer par analyser ce problème.
À partir des conditions physiques définies précédemment dans les hypothèses,
on va caractériser la distribution de la température dans ce mur,
tel que dans le matériau A,
on va avoir une distribution de température qui est plutôt parabolique,
avec une température maximale à l'interface isolée, c'est-à-dire en x = 0.
Sur cette interface, puisque le flux est nul,
alors on a une température qui est constante à cette interface.
Au point indiqué C sur la figure, on a une surface de contact entre deux matériaux.
Comme on a négligé la résistance de contact entre ces deux matériaux,
on peut considérer que le flux sortant du matériau A est le même qui va entrer
dans le matériau B et que la température à cette interface est la même.
Dans le matériau B, en l'absence de source de génération de chaleur interne,
la distribution de la température va être linéaire et finalement,
l'interface entre le matériau B et l'eau,
ou bien la différence de température entre le matériau B et l'eau va être élevée,
du fait que l'on a un échange de chaleur conductoconvectif entre ces deux parties.
Démontrons que, dans le matériau, A, la distribution est bien parabolique.
Pour cela, on va considérer le matériau A comme étant un mur simple, limité par des
plans parallèles, isothermes, avec une source de génération de chaleur interne.
Dans ce matériau, A, on va isoler un volume élémentaire,
que l'on va noter dV A.
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Ce volume élémentaire est de forme cylindrique,
dont l'axe est confondu avec la normale au plan isotherme.
Quand x = 0, le flux entrant dans ce volume de contrôle est nul.
On va noter Phi 0.
Sur les surfaces latérales, puisqu'on est face à des plans qui sont isothermes,
le flux latéral est également nul.
Quand x = L A,
on a un flux Phi A qui traverse la frontière du volume élémentaire.
Et dans le volume élémentaire lui-même, on a une puissance volumique
A qui va être considérée comme une source de génération de chaleur interne.
En écrivant le bilan énergétique appliqué sur ce volume élémentaire,
on peut dire que moins Phi A, le flux sortant de ce volume élémentaire,
plus qA L A le flux sortant,
la puissance interne générée dans le volume est égale à 0.
En développant l'expression ainsi obtenue, on peut écrire
alors l'équation de la chaleur appliquée au volume de contrôle dV A ainsi que
les conditions aux limites comme on les voit dans le système d'équation suivant.?
Donc, les conditions aux limites sont en x = 0 et x = L A,
ce sont les frontières de ce matériau A.
Et cette expression correspond à l'équation de la chaleur qu'on
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peut développer dans ce volume de contrôle ou bien dans le matériau A.
L'intégration double de cette expression
nous permet de déterminer la distribution de la température dans le matériau A.
Comme vous le voyez, le polynôme obtenu est un polynôme du second
ordre et donc, on voit bien que la distribution est bien parabolique.
On a démontré alors,
que la distribution de la température dans le matériau A est bien parabolique.
Maintenant, on va voir que, en x = 0, ma température du matériau
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est maximale et la plus grande du matériau A.
Puisqu'on est face à un flux nul, le flux de chaleur exprimé selon la loi de Fourier
nous donne une dérivée de la température par rapport à x en x = 0 qui est nulle.
Ce qui veut dire que la température, dans cette surface,
est bien maximale et on a une variation de température nulle à cette interface.
On a l'interface entre les deux matériaux A et B.
Sur cette surface, la température du matériau A en x =
L A est égale à la température du matériau B en x = L A également.
Le flux sortant du matériau A est égal au flux entrant dans matériau B à cette
abscisse et donc, le changement de pente de la distribution de température,
est bien égal au rapport des conductivités thermiques du matériau B et du matériau A.
Maintenant, on va déterminer la variation de la température dans le matériau B.
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Le volume élémentaire, il est de forme cylindrique,
dont l'axe est confondu avec la normale à ces plans en parallèle isothermes.
En x = L A,
on a un flux Phi A qui traverse la frontière de ce volume élémentaire.
Sur les surfaces latérales, on a un flux Phi L qui est nul,
puisque les surfaces parallèles sont isothermes.
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Et en x = L A + L B, on a un flux Phi h sortant de ce volume élémentaire.
Ce flux est échangé entre le matériau B et le fluide
de refroidissement qui est l'eau Par conductoconvection et donc,
Phi h est la quantité de chaleur échangée par conductoconvection, elle est régie par
la loi de Newton tel que Phi h est égal à h le coefficient d'échange convectif,
fois la différence de température entre le matériau B et la lame d'eau.
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De même, on peut alors écrire l'équation de la chaleur
appliquée au volume élémentaire dV B ainsi que les conditions aux limites,
comme vous le voyez dans ce système d'équation.
Donc, le volume élémentaire est délimité en x = L A et x égal à LB,
les conditions aux limites.
On a déterminé à partir du premier principe l'équation phi
A égal à phi H et à partir de l'équation de la chaleur,
on peut en intégrant deux fois cette expression déterminer
la distribution de la température dans le matériau B.
On voit bien que c'est un polynôme du premier ordre.
Et donc la distribution dans le matériau B est bien linéaire.
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Déterminons maintenant les températures T0 et T2 aux extrémités de ce mur composite.
Déterminons maintenant la température 2.
A partir du bilan énergétique établi dans le matériau B, on a pu déterminer que
phi A, le flux de chaleur provenant du matériau A, il est égal au flux thermique
échangé par conducto-convection sur l'interface entre le matériau B et l'eau.
A partir du bilan énergétique établi dans le matériau A,
on a écrit phi A en fonction de la puissance volumique générée dans le
matériau A et en fonction de la loi de Newton, on a pu calculer phi H.
A partir de ces trois expressions, on peut alors déterminer l'équation
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de T2 qui nous permet de calculer donc cette température en fonction de la
température de l'eau et des différentes caractéristiques dans
le matériau A et du coefficient d'échange convectif H.
Ainsi, on peut calculer une température T2 qui est égale à 105 degrés C.
Déterminons maintenant la température de T0.
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Comme on a vu au départ, on avait posé l'hypothèse que en x égal à 0,
on a un flux nul puisque la surface est isolée.
Donc, en appliquant la loi de Fourier,
on a que le flux phi A qui traverse cette interface est égal à 0.
Ainsi, on peut dire que la dérivée de la température sur dx en
x égal à 0 est nulle.
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On a déjà démontré la distribution de la température dans le matériau A.
En dérivant cette expression et en remplaçant x par 0,
on peut donc déterminer la
température ou bien l'expression de la température en x égal à 0.
Comme vous le voyez,
cette température dépend de T1 et d'autres paramètres qui sont connus.
Donc, pour pouvoir calculer T0,
il faudra bien déterminer la valeur de la température T1.
Pour déterminer la température T1,
on va appliquer la loi d'ohm entre x égal à LA et l'eau.
On commence par définir une résistance thermique conductive Rcond
qui est égale à LB sur lambda B.
Et donc qui dépend de la conductivité thermique
du matériau ainsi que de son épaisseur.
On définit également une résistance thermique convective,
Rconv qui est égale à 1 sur h, h, c'est le coefficient d'échange convectif.
Comme vous le voyez donc sur le schéma, les deux résistances étant en série,
la résistance équivalente est égale à la somme des deux résistances en série.
Le flux A étant connu, ce flux A,
il traverse cette résistance équivalente en entrant par le point T1.
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En appliquant la loi d'ohm, on peut écrire phi A égal
à T1 moins Tinfini divisé par la résistance équivalente.
Et comme on connaît phi A qui est égal à phi H, on peut déterminer alors
l'expression de T1, T1 calculé est égal à 115 degrés, et par conséquent déterminer
la valeur de T0 qui est égale à 140 degrés.
Vous voyez que le gradient de température dans le matériau B est
plus faible que le gradient de température qu'on a entre l'interface du matériau B en
contact de l'eau et la température de l'eau.
Ceci est lié directement au fait que la résistance thermique
convective est plus grande que la résistance thermique conductive.
En conclusion, nous avons traité durant cette séance le problème du transfert
thermique conductif dans un mur composite.
On a mis en application l'équation de la chaleur, la loi de Fourier,
la loi de Newton, la loi d'ohm ainsi que l'équivalence thermique et électrique.
On a vu en résolvant ce problème que dans un mur simple avec source de génération
de chaleur interne, la distribution de la température est plutôt parabolique.
Dans un mur simple sans génération de chaleur interne,
la distribution de la température est linéaire.
On a vu également que sur une interface isolée,
on est face à une condition de flux nul.
Dans ce cas, la température du matériau à cette interface est maximale.
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On a vu également que le gradient de température dans un matériau donné
dépend principalement de la résistance thermique de ce matériau.
Quand on a un matériau à faible résistance thermique,
le gradient de température dans ce matériau est plutôt faible alors
qu'il est beaucoup plus élevé quand il s'agit d'une résistance thermique élevée.
Merci pour votre attention et à la prochaine.
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Michael GraetzelProfesseur
Paul-Salomon Ngohe-EkamProfesseur
Miltiadis V. PapalexandrisProfesseur
Théophile MbangEnseignant-chercheur
André TallaEnseignant-chercheur
Marthe Boyomo OnanaEnseignant - chercheur
Sylvain BréchetDr.
Marwan BroucheProfesseur
Etienne RobertProfesseur adjoint
Chantal MaatoukMaitre de conférences
