Hola. En esta ocasión vamos a revisar una de las cónicas, la circunferencia. Y para llegar a sus ecuaciones habrá que definir la circunferencia en términos analíticos. La circunferencia como lugar geométrico y los elementos que la definen. Si realizamos un trazo completo con un compás, con una abertura r y en una posición específica llamada centro C, podemos afirmar que cada uno de los puntos de este trazo está a una misma distancia r del centro, o que equidistan de este. Por el momento, reunamos los elementos que definen a dicho lugar geométrico. Consideremos el trazo de la misma en un plano cartesiano y nos fijamos en la coordenada P x, y como cualquier punto de esta curva, y hay un radio r que podemos usar como la distancia de C 0, 0 a P x, y con la ecuación vista en el módulo 2. Distancia entre dos puntos, L es igual a raíz cuadrada de x2 menos x1 al cuadrado más y2 menos y1 al cuadrado, que ahora en estos términos será que se cumple en cualquier punto la expresión r igual a raíz cuadrada de x menos 0 al cuadrado más y menos 0 al cuadrado. O bien, simplificando x cuadrada más y al cuadrado es igual a r al cuadrado, la cual es la ecuación ordinaria de una circunferencia de radio r y con su centro en el origen. Ecuación ordinaria con centro fuera del origen. Básicamente, lo que se tendrá que analizar es hacer el supuesto de dar coordenadas del centro de una circunferencia C h, k. Dado que se sigue cumpliendo la definición de distancia r a todo punto arbitrario Q, la calcularemos para el segmento con extremos Q x, y y C h, k. Entonces tenemos la expresión r igual a la raíz cuadrada de x menos h al cuadrado más y menos k al cuadrado. O bien, si elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, se obtiene la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen, r al cuadrado igual a x menos h al cuadrado más y menos k al cuadrado. Podemos hablar en estos momentos de la expresión algebraica de la circunferencia que tiene su centro en la coordenada menos 2,6 y tiene un radio de 8 unidades. Los puntos Q x, y que pertenecen a este lugar geométrico, cumplen con la expresión algebraica 8 al cuadrado igual a x menos menos 2 al cuadrado más y menos 6 al cuadrado. O bien, simplificando, 64 igual a x más 2 al cuadrado más y menos 6 al cuadrado. Esta sería nuestra ecuación ordinaria para este lugar geométrico. Ahora localicemos en el plano cartesiano dicha circunferencia. El centro. Y trazamos entonces el contorno que corresponde a esta ecuación ordinaria. Ecuación general de la circunferencia. Esta ecuación tiene una estructura distinta. Es decir, sus términos algebraicos, desarrollados y ordenados de la siguiente manera: Ax cuadrada más By cuadrada más Cx más Dy más E igual a 0. Los términos se encuentran elevando al cuadrado cada binomio, en caso de que el centro de la circunferencia sea fuera del origen. Por ejemplo, A partir de la ecuación ordinaria que sea 36 igual a x menos 1 al cuadrado más y más 3 al cuadrado y se tenga que hallar la ecuación general, tenemos que desarrollar los binomios. Queda como 36 igual a x al cuadrado menos 2x más 1 más y al cuadrado más 6y más 9. Simplificando, tenemos que 36 es igual a x al cuadrado menos 2x más y al cuadrado más 6y más 10. Pasamos los términos a un solo miembro e igualamos a 0 y tenemos que ordenar los términos cuadráticos en primer lugar. x al cuadrado más y al cuadrado menos 2x más 6y más 10 menos 36. Por último, de nuevo, simplificamos y tenemos la ecuación general de esta circunferencia, cuyos coeficientes estamos identificando en el término cuadrático de x, en el término cuadrático de y, el coeficiente C, el coeficiente D en los términos lineales y el término independiente. Escribimos entonces: A es igual a 1, B es igual a 1, C es igual a menos 2, D es igual a 6 y E es igual a menos 26, que corresponden a la ecuación de la circunferencia, cuyo centro es 1, menos 3 y tiene un radio de 6 unidades. En el siguiente vídeo revisaremos algunos ejemplos de circunferencia y practicaremos sobre cómo transitar entre la ecuación ordinaria y la ecuación general y viceversa.
