[MUSIC] Hola, you hemos avanzado en la identificación de puntos y de segmentos en el plano, así como sus medidas, y sus ángulos de inclinación. Haciendo uso de nuestras herramientas algebraicas, o de algunos graficadores. Además de hacerlo nosotros mismos haciendo uso de papel, lápiz, regla y calculadora. En un momento nos corresponde hablar de los lugares geométricos con algunas de sus características. Y esperamos generar habilidad para poder determinarlos de manera algebraica y analítica, una vez que se haya analizado su enunciado. Lugar geométrico. Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. Algunas de estas propiedades son. Las intersecciones con los ejes. Son las posiciones en el plano, positivas o negativas, desde el origen hasta los puntos en que el lugar corta a los ejes coordenados. Simetrías. Dos puntos son simétricos con respecto a una recta, si esta es la mediatriz del segmento que los une. Campo de variación o dominio. Son los valores que toma la variable independiente, de modo que al operar con ella, la variable dependiente tome valores reales. Realicemos el siguiente ejercicio. Obtén la ecuación de la mediatriz al segmento determinado por los puntos A = (-3,1), y B = (2, 3). La solución al ejercicio es. Para el segmento que va del extremo A al punto medio C = (x, y). A(x1, y1) = A(-3, 1). C(x2, y2) = C(x, y), que es el punto medio que no se conoce. Entonces, la longitud de A a C = la raíz cuadrada de (x -(-3)) al cuadrado +(y- 1) al cuadrado = la raíz cuadrada de (x + 3) al cuadrado + (y- 1) al cuadrado. Para el segmento que va del punto medio C(x, y), que ahora le llamaremos (x1, y1), al extremo B(2, 3) = (x2, y2). La longitud de C a B = la raíz cuadrada de (2- x) al cuadrado +(3- y) al cuadrado. Igualando estas longitudes, queda como, LAC = LCB. La raíz cuadrada de (x + 3) al cuadrado +(y- 1) al cuadrado = la raíz cuadrada de (2- x) al cuadrado +(3- y) al cuadrado. Elevando al cuadrado los dos miembros de la ecuación queda, (x + 3) al cuadrado +(y- 1) al cuadrado = (2- x) al cuadrado +(3- y) al cuadrado. Desarrollamos ahora los binomios, y queda, x cuadrada + 6x + 9 + y cuadrada- 2y + 1 = 4- 4x + x cuadrada + 9- 6y + y cuadrada. Que simplificando, obtendríamos que 6x- 2y + 10 = 13- 4x- 6y. Igualamos a 0 para obtener una ecuación, 6x + 4x- 2y + 6y + 10- 13 = 0. Quedando la ecuación de la mediatriz como 10x + 4y- 3 = 0. Otras veces se da la ecuación del lugar geométrico, y hay que representarla. [MUSIC] Veamos otro ejemplo. Representaremos el lugar geométrico de todos los puntos cuya ecuación es x cuadrada + y cuadrada = 4. Solución. Intersección con los ejes. Se puede empezar por obtener algunos puntos fáciles. La intersección con los ejes, decimos, si hacemos x = 0. Y entonces tenemos que, 0 al cuadrado + y al cuadrado = 4. Despejando, y = más-menos la raíz cuadrada de 4 = más-menos 2. De lo cual tenemos dos puntos, (0, 2) y (0, -2), que son las intersecciones con el eje y. Ahora decimos que, si y = 0, queda x al cuadrado + 0 al cuadrado = 4. Despejando el valor de x, es igual a más-menos raíz cuadrada de 4 = más-menos 2. De lo cual tenemos otros dos puntos, (-2, 0) y (2, 0), que son las intersecciones con el eje x. Simetrías. Como la ecuación tiene potencias pares, entonces, es simétrica con respecto al eje x y al eje y. Dominio o campo de variación. Se despeja la variable y, y queda, y = a la raíz cuadrada positiva y negativa de 4- x al cuadrado. Como la operación que se le aplica a la expresión (4- x) al cuadrado es una raíz cuadrada que no existe para los números negativos, entonces se dice que, (4- x) al cuadrado es mayor o igual que 0. Y se procede a resolver la desigualdad para el valor de x. Al cumplirse que 4 es mayor o igual que x al cuadrado, tenemos que, x debe de ser menor o igual que más-menos 2. O sea, que x debe tomar valores entre -2 y 2 para que la variable de y exista. [MUSIC] Si tabulamos la expresión anterior en valores, como se dijo, entre -2 y 2, llenamos esta tabla. Al hacer la sustitución de estos valores en esta expresión, raíz cuadrada positiva y negativa de 4- x cuadrada. Al sustituir en -2 o en 2, tendríamos el valor de 0 en ambos casos. Si sustituimos en -1 o en 1, tendríamos más-menos la raíz cuadrada de 3, aproximadamente 1.73. Más-menos 1.73. Si sustituimos en -0.5, o en 0.5, tendríamos los valores, aproximadamente, más-menos 1.94. Más-menos. [MUSIC] 1.94. Y sustituyendo el 0 únicamente, tendríamos el 2 exacto. Identifiquemos la posición de estos puntos en -2 y 2, y 0, en -1 y 1. 1.73. -1.73, aproximadamente. [MUSIC] En 0.5. 1.94. [MUSIC] -1.94. [MUSIC] Ahora realicemos el trazo de este lugar geométrico, haciendo uso de un compás [MUSIC] Y este lugar geométrico, recordemos, que tiene la expresión que se dijo al inicio de, x cuadrada + y cuadrada = 4. [MUSIC]
