В этой лекции мы с вами разберем гармонический осциллятор. Формально наши упражнения будут очень похожи на предыдущие, но проведем их довольно подробно, в первую очередь потому, что гармонический осциллятор он для физики имеют фундаментальное, принципиальное значение. Я буду считать, что какое-то знание о том, что это такое, у вас есть. Я буду излагать с точки зрения математического аппарата. Итак, уравнение гармонического осциллятора, одномерного, имеет простой вид. Если я введу, перепишу эту систему, перепишу это уравнение второго порядка в виде системы, двух уравнений, то мы сведем задачу типу, которую рассматривали ранее. В чем значимость этой системы, этого уравнения для физики. В первую очередь в том, что любая устойчивая система, консервативная, это означает, то что в ней сохраняется энергия, то есть не идут процессы диссипации. Для малых, отклонение от равновесия описывается уравнением такого типа, ну может быть не одна переменная, может быть несколько, тогда у нас будет несколько осцилляторов. Вообще говоря связанных друг с другом, но качественная особенность решения этого уравнения, качественная особенность динамики этой системы, заключается в том, то что если мы, значит, по переменной их щелкнем она будет болтаться. Ни будет ни роста, ни будет ни затухания, а будет то что называется, собственно, осцилляторы. Отсюда и название осциллятор, будут осцилляции. Значит это и есть колебания, по-русски колебания. Но, давайте рассмотрим эту систему, ровно в духе того, что мы делали ранее. Наша матрица это, вот такая вот матрица 2 на 2 и первым делом нужно найти диагонализующее преобразование. Давайте вот это я обозначаю матрица "M" и диагонализующее преобразование. Да, сначала надо найти, какие будут собственные значения? Пишем "det", λ минус эта матрица, то есть минус 1, ω в квадрате λ равно 0. И какие получаются собственные значения? λ1,2 равняется плюс-минус и ω. Они оказываются чисто мнимыми. Вот это вот чистая мнимость, отражает характер динамики системы. Чисто мнимое, собственное значение матрицы, соответствуют осцилляционному поведению решению системы, ну это мы увидим, непосредственно, когда будем ее решать. Диагонализуещее преобразование, как выглядит? Можно составить собственные вектора, давайте я напишу ответ. "М" равняется "Q" в минус первой диагональна "iω", 0, 0 минус "eω" это наши собственные значения "Q", ну и матрица "Q", которая составлена из собственных векторов, имеет простой вид. Давайте значит, "Q" равняется "1iω", 1 минус "iω", тогда "Q" в минус первой, 1 на "2iω", "iω1" минус "iω1". Вот что-то такое. Опять в силу, значит, важности этой системы, давайте немножко подробней. Вот такое вот преобразование, которое дигоанализует матрицу, означает то, что если я от переменных "х" и "р", по формуле "xp" равняются "Q", "а", "а" со звездочкой. Иначе говоря, перейду к переменным "а" и "а" со звездой, то есть они комплексно сопряжены, то уравнение примут совсем простой вид. "а" с точкой равняется "iωа", ну "а" сопряженная, на то оно и сопряжено будет, минус "iωа" сопряженная. То есть если "х" вещественна , а это мы имеем в виду, то вот эти буквы "а" со звездой, означает просто, буквальное комплексное сопряжение. То есть если в начальных условиях у меня было "а" со звездой комплексно сопряженное начальному "а", так оно будет продолжаться вечно. Потому что, одно уравнение является комплексно сопряженно другим. Ну формально конечно, можно рассматривать это решение и на комплексных ИЦП, но это физически не очень осмысленно. Решение этой системы уравнений, очевидно.Мы комплексно сопряженны. Видно, то что сохраняется со временем квадрат модуля, то есть "а" умножить на "а" сопряженное. Возникновение экспонента от мнимого аргумента, как раз и означает, то что решение имеется осцилляторный характер, я напомню если забыли, то "е" в степине "ωt" это cos "ωt" плюс "isinωt". Эти тригонометрические функции, как раз и соответствуют осцилляциям, колебаниям, болтанке, ну имеется множество разных синонимов этого названия. Хорошо! На этом простом упражнении я заканчиваю эту часть лекции.