Теперь преобразуем
вторую производную от функции f от λ с помощью
двухкратного интегрирования по частям.
Запишем следующее соотношение.
Вторая производная f по λ это есть интеграл
со знаком минус от нуля до бесконечности d
косинус t e в степени
минус λ t в квадрате t в
квадрате.
Теперь дифференцируем по частям.
Получаем интеграл от нуля до бесконечности dt
косинус t.
Теперь дифференцируем экспоненту, получаем минус λe в степени минус λt t в квадрате.
И дифференцируем t в квадрате, получаем плюс
два t e в степени минус λt.
Теперь ещё раз дифференцируем по частям.
Для этого записываем это соотношение как интеграл
от нуля до бесконечности d синус t.
Здесь будет минус λ t в квадрате плюс два t e в степени минус λ t.
Дифференцируем, интегрируем по частям,
получаем минус интеграл от нуля до бесконечности dt синус t.
Теперь дифференцируем предэкспоненту,
получаем минус два λt плюс два на e в степени минус λt.
И дифференцируем теперь саму экспоненту,
получаем плюс минус λ t в квадрате плюс два
t минус λ e в степени минус λt.
Теперь давайте внимательно посмотрим на то, что у нас получилось.
У нас получился интеграл, в котором под знаком интеграла имеется синус,
имеется экспонента и имеется либо t в нулевой,
либо t в первой степени, либо t во второй степени.
Теперь мы посмотрим на определение, во-первых,
самой функции f и её первой производной и второй производной.
И видим, что они определяются точно такими же интегралами,
что стоят и в правой части вот этого соотношения.
Поэтому мы можем переписать вот такой сложный интеграл через саму функцию,
её первую производную и вторую производную.
Давайте это сделаем.
Что у нас получится?
Во-первых, у нас будет член t квадрат,
который даёт вторую производную самой функции
f с коэффициентом минус λ в квадрате f'' от λ.
Теперь у нас имеются линейные по t члены здесь и здесь.
Соответственно, эта часть интеграла будет пропорциональна
f' плюс четыре λ f' от λ.
И давайте проверим знак.
Знак должен быть минус.
Напишем сюда ещё минус один, чтобы его не забыть.
И последнее, это просто t в нулевой, это сама функция f,
будет минус два f от λ.
Таким образом, у нас получается
дифференциальное уравнение на функцию f, которое имеет следующий вид.
Мы здесь перенесём всё в левую сторону.
Один плюс λ в квадрате f''
от λ плюс четыре λ f'
от λ плюс два f от λ
равняется нулю.
[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА]