[МУЗЫКА] Итак, рассмотрим случай, когда f само по себе является гармонической функцией. А именно, f(τ) = ε cos 2ωτ, то есть гармонической функции, которая осциллирует с удвоенной частотой по сравнению с нашим осциллятором. Давайте я напишу здесь уравнение нашего осциллятора. Вот это возмущенное +ω²x +ε cos 2ωt x = 0. Значит, перепишем через, представим cos в виде полусуммы мнимых экспонент. То есть f(τ) = ε/2 (e 2iωτ + e −2iωτ). И подставим в наше выражение для возмущения оператора эволюции. Давайте явное и подставим. Посмотрим, что получится. [БЕЗ_ЗВУКА] i/4 ω [ ∫ от 0 до t, до τ), а здесь просто явно буду подставлять эту вот матрицу. e 2iωτ + e −2iωτ. Теперь здесь. e 4iωτ + 1 − (e −4iωτ + 1) − (e 2iωτ + e −2iωτ). [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] Выполняем интегрирование. Снова у нас будут: ∫ от этого элемента матрицы, это интеграл от осциллирующей экспоненты. Мы знаем, это будет экспонента −1/ 2iω. То есть величина, которая с ростом t никак особенно себя не ведет, то есть не растет. Интеграл по времени от этого матричного элемента будет что? Интеграл от экспоненты снова будет величина не растущая со временем. Интеграл от единицы растет линейно со временем. Здесь то же самое. Интеграл от −1 тоже растет линейно со временем. Поэтому, если t велико, тогда мы получаем для оператора, для возмущения оператора эволюции следующее (я ε сюда не написал, давайте ε, здесь ω, а ε здесь) εt (0 1, −1, 0) U0(t). То есть снова, если возмущение имеет частоту удвоенную в сравнении с частотой осциллятора, то возмущенный оператор эволюции, возмущение оператора эволюции со временем нарастает. И в конце концов, когда εt станет порядка единицы, это уже перестанет быть возмущением. Итак, когда εt становится порядка единицы, теория возмущения уже проваливается, никакое это не будет малое возмущение, и мы должны задачу решать как-то, как-то ее научиться решать. На что мы можем рассчитывать? Решить задачу точно, мы вообще говоря, не можем. Конкретно для такого гармонического возмущения, решением задачи являются так называемые функции Матье. Это некие специальные функции, у которых свойства изучены и так далее, но от этого, в общем-то, с точки зрения потребителя ни жарко, ни холодно. Это просто название каких-то сложных функций. Если ε тем не менее мало, мы можем ставить задачу так, так модифицировать теорию возмущений, чтобы ее можно было тянуть до времен порядка 1/ε. Это не означает то, что мы требуем точного решения задачи, потому что мы себя ограничиваем условием то, что время, скажем, больше или порядка 1/ε. Но меньше, чем 1/ε². В принципе, если мы сумеем построить аппарат, позволяющий двигаться дальше, то следующий шаг будет построить теорию возмущений, так модифицировать, точнее, теорию возмущений, чтобы она работала на временах больше, чем 1/ε², но меньше, чем 1/ε³. Это по-прежнему не будет точным решением, это будет некая модификация теории возмущений. Но, собственно, как эту теорию возмущений модифицировать, чтобы она учитывала секулярные члены в том смысле, как я только что описал, есть предмет нашей следующей лекции. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]