0:30
и это такое понятие немножечко не
строгое с точки зрения высокой математики, но, тем не менее, очень жизненное.
То есть, может, математики будут на это ругаться, но, тем не менее,
в жизни такое регулярно встречается.
Давайте я объясню, что это такое.
Это функция у которых масштаб изменения описывается одним параметром.
То есть, например, вот график функции такой,
который я имею ввиду, примерно следующий.
Вот у меня есть функция F(x), и она, скажем, меняется примерно вот так.
Тогда я скажу, что вот у этой функции есть масштаб λ.
Она меняется на масштабе λ.
Этот масштаб определяет, как быстро она затухает.
Технически что я буду использовать?
Я буду использовать следующее: я буду предполагать,
что для однопараметрических функций выполнены следующие соотношения: скажем,
первая производная может быть оценена таким
способом: давайте я напишу, первая производная в точке λ может
быть оценена как F(λ) / λ,
а вторая производная может
быть оценена как F(λ) / λ^ 2.
Вот. Это все по порядку величины.
Естественно, как всегда мы следим за буквами и не следим за цифрами.
Ну и так для всех дальнейших производных.
Может показаться, на первый взгляд,
что это что-то очень специальное, что надо очень постараться подобрать такую функцию.
Но на самом деле оказывается,
что в жизни такое действительно встречается довольно часто.
Естественно, не любая функция этому удовлетворяет,
но многие этому удовлетворяют.
Можно попробовать взять функцию однопараметрическую и как-то ее
специально испортить, но окажется, тем не менее,
что вот однопараметричность легко бывает восстановить.
Скажем, если мы сделаем какое-то масштабирование,
то там все функции перемасштабируются, переменные перемасштабируются,
с этим никаких проблем нет.
Что мы можем еще сделать?
Мы можем попробовать функцию приподнять, скажем, добавить к ней константу.
То есть сказать, что наша функция спадает не до 0,
а до некоторой константы, ну опять же, на каком-то масштабе λ.
Но это не проблема совершенно.
Тогда это просто означает, что нам надо эту константу вычесть, учесть ее явно,
а то, что останется — будет однопараметрической функцией.
То есть я вот клоню к тому, что, в общем-то,
в жизни такое встречается довольно регулярно.
Ну и давайте посмотрим пару примеров, как могут выглядеть такие функции.
Первый пример — это,
например: F(x) = e ^ (−х ^ 2 / λ ^ 2).
Давайте мы посмотрим на нее.
Значит, что такое ее производная?
Ну тут мы все можем вычислить точно,
а потом посмотреть вот эти вот наши оценки, будут ли они работать.
F′ (x) = e ^ (−х ^ /λ ^ 2).
А также надо продифференцировать показатель экспоненты.
Это даст (−2х / λ ^ 2).
Вот.
Ну теперь давайте мы посмотрим, что такое F (λ).
Это есть просто e ^ −1.
Давайте посмотрим, что такое F′
(λ).
Значит, экспонента здесь будет в той же самой степени (−1),
а здесь будет −2 /
λ и e ^ (−1).
Вот.
Да, кстати, надо оговориться, что когда я пишу вот эти соотношения,
я тут модули не учитываю.
То есть я подразумеваю, что все по модулю, просто не хочу загромождать эту запись.
Это все оценки по порядку величины.
Мы как числа не учитываем, не выписываем их в явном виде, так и знаки тоже.
Так вот давайте теперь посмотрим, что такое F′ (λ).
И мы видим, что с точностью до коэффициента
(−2) мы действительно можем написать, что F′ (λ) имеет порядок F (λ) / λ.
Можно дифференцирование продолжать и увидеть,
что все более высокие производные, для них тоже вот такого рода оценки сохраняются.
Степень в знаменателе будет соответствовать порядку производной.
Ну вот это один такой простой пример.
Можно написать еще много похожих функций.
Не обязательно писать x ^ 2/λ ^ 2 в экспоненте.
Можно написать x / λ — это все будет попадать в этот класс, все будет работать.
Теперь давайте посмотрим немножечко более хитрую функцию — степенную.
То есть скажем, что наша функция F (x) = x ^ n.
Ну тогда посмотрим на производную,
которую мы знаем точно, естественно.
Это просто nx ^ (n − 1).
Ну и спрашивается: а где здесь какой-либо масштаб λ?
Вот его просто не видно в этой записи.
Ну и вообще, степенная функция, она, как часто про нее говорят,
это функция, которая не имеет масштаба.
Вот в нашей экспоненте буква λ была явно вписана, и она
определяла характер поведения функции, а у степенной функции вроде бы масштаба нет.
Но обратите внимание: вот эту производную
мы можем написать точно через функцию F (x).
Мы можем сказать, что это nF (x) / x.
Вот.
А теперь, если про букву n мы ничего особенного не предполагаем,
то есть это не является большим параметром, это не 100, не 1000,
если это какое-то число, которое не имеет особой великости,
ну и которое тем более является константой, оно не меняется при изменениях
х, то мы можем написать такую оценку: считать, что n — это просто число,
которое нас не интересует, и написать, что это все порядка F (x) / x.
Смотрите, получилась вот ровно формула, которая нам нужна,
только вместо λ здесь стоит как-бы текущая x.
Получается, что у степенной функции масштабом является вот сам ее аргумент.
Это такая немножечко более необычная ситуация, но, тем не менее,
так действительно можно про степенную функцию рассуждать.
И с такими оговорками, при таком понимании получается,
что степенная функция также попадает в класс однопараметрических.
Вот. Таким образом я просто хотел
проиллюстрировать, что это не что-то очень экзотическое, а это то,
что в жизни, действительно, встречается.
Теперь с точки зрения нашего метода перевала,
с точки зрения вычисления интегралов чем это хорошо?
Давайте посмотрим, что в этом случае получается с условиями применимости.
Давайте мы напишем первое — условие.
Значит, у нас есть [f
(3) (t0)] ^ 2 / [f ''
8:23
(t0)] ^ 3.
И теперь, предполагая,
что функция F однопараметрическая, мы можем это оценить следующим образом:
третья производная — это у нас тогда оценивается как F
(t 0) / t 0 ^ 3,
и все это надо поделить на
вторую производную, которая есть F (t 0) / t 0 ^ 2,
и это надо еще возвести в куб.
Вот. Теперь обратите внимание, что происходит.
Во-первых, у нас есть t 0, оно вот здесь вот в кубе,
а затем в квадрате, а здесь в квадрате, а затем в кубе.
То есть получается, что в обоих случаях t 0 стоит в
шестой степени, и одна шестая степень другую шестую степень сокращает.
Поэтому у нас остается только F (t 0), причем в числителе она в квадрате,
в знаменателе — в кубе, поэтому это есть просто 1 / F (t 0).
Вот.
И эта величина у нас должна быть много меньше 1.
Ну, а теперь мы можем проделать то же самое для второго условия.
Давайте вот здесь вот на свободном месте мы это напишем.
У нас есть f (4) (t0) / |
f'' (t0)| ^ 2,
и мы это оцениваем, предполагая функцию
однопараметрической, как F (t 0) / t 0 ^ 4,
а в знаменателе стоит вторая производная,
то есть [F (t 0) / t 0 ^ 2] и еще все в квадрате.
Вот. Опять же мы видим, что t 0 сокращается,
потому что здесь оно в 4 степени, а здесь в квадрате и еще раз в квадрате.
Значит, получается то же самое: 1 / F (t 0].
Вот кстати, я предупреждал, что в некоторых случаях эти два
условия оказываются равносильными — дают одно и то же.
Вот пример: однопараметрическая функция, и условие совпадает.
То есть условие, получается,
применимости для однопараметрических функций очень простое: нам нужно,
чтобы функция F в точке максимума была велика по сравнению с 1.
Давайте мы это сюда запишем и оставим на будущее.
Напишем, что для однопараметрических функций
Фоминов Яков ВикторовичДоцент
Фейгельман Михаил ВикторовичГлавный научный сотрудник
Колоколов Игорь ВалентиновичПрофессор
Бурмистров Игорь СергеевичПрофессор
Скворцов Михаил АндреевичПрофессор
