[МУЗЫКА] Итак, мы с вами получили основную формулу метода перевала и условия ее применимости, а теперь поговорим о некотором, еще более специальном классе функции, для которой все еще сильней упрощается. Это так называемые однопараметрические функции, и это такое понятие немножечко не строгое с точки зрения высокой математики, но, тем не менее, очень жизненное. То есть, может, математики будут на это ругаться, но, тем не менее, в жизни такое регулярно встречается. Давайте я объясню, что это такое. Это функция у которых масштаб изменения описывается одним параметром. То есть, например, вот график функции такой, который я имею ввиду, примерно следующий. Вот у меня есть функция F(x), и она, скажем, меняется примерно вот так. Тогда я скажу, что вот у этой функции есть масштаб λ. Она меняется на масштабе λ. Этот масштаб определяет, как быстро она затухает. Технически что я буду использовать? Я буду использовать следующее: я буду предполагать, что для однопараметрических функций выполнены следующие соотношения: скажем, первая производная может быть оценена таким способом: давайте я напишу, первая производная в точке λ может быть оценена как F(λ) / λ, а вторая производная может быть оценена как F(λ) / λ^ 2. Вот. Это все по порядку величины. Естественно, как всегда мы следим за буквами и не следим за цифрами. Ну и так для всех дальнейших производных. Может показаться, на первый взгляд, что это что-то очень специальное, что надо очень постараться подобрать такую функцию. Но на самом деле оказывается, что в жизни такое действительно встречается довольно часто. Естественно, не любая функция этому удовлетворяет, но многие этому удовлетворяют. Можно попробовать взять функцию однопараметрическую и как-то ее специально испортить, но окажется, тем не менее, что вот однопараметричность легко бывает восстановить. Скажем, если мы сделаем какое-то масштабирование, то там все функции перемасштабируются, переменные перемасштабируются, с этим никаких проблем нет. Что мы можем еще сделать? Мы можем попробовать функцию приподнять, скажем, добавить к ней константу. То есть сказать, что наша функция спадает не до 0, а до некоторой константы, ну опять же, на каком-то масштабе λ. Но это не проблема совершенно. Тогда это просто означает, что нам надо эту константу вычесть, учесть ее явно, а то, что останется — будет однопараметрической функцией. То есть я вот клоню к тому, что, в общем-то, в жизни такое встречается довольно регулярно. Ну и давайте посмотрим пару примеров, как могут выглядеть такие функции. Первый пример — это, например: F(x) = e ^ (−х ^ 2 / λ ^ 2). Давайте мы посмотрим на нее. Значит, что такое ее производная? Ну тут мы все можем вычислить точно, а потом посмотреть вот эти вот наши оценки, будут ли они работать. F′ (x) = e ^ (−х ^ /λ ^ 2). А также надо продифференцировать показатель экспоненты. Это даст (−2х / λ ^ 2). Вот. Ну теперь давайте мы посмотрим, что такое F (λ). Это есть просто e ^ −1. Давайте посмотрим, что такое F′ (λ). Значит, экспонента здесь будет в той же самой степени (−1), а здесь будет −2 / λ и e ^ (−1). Вот. Да, кстати, надо оговориться, что когда я пишу вот эти соотношения, я тут модули не учитываю. То есть я подразумеваю, что все по модулю, просто не хочу загромождать эту запись. Это все оценки по порядку величины. Мы как числа не учитываем, не выписываем их в явном виде, так и знаки тоже. Так вот давайте теперь посмотрим, что такое F′ (λ). И мы видим, что с точностью до коэффициента (−2) мы действительно можем написать, что F′ (λ) имеет порядок F (λ) / λ. Можно дифференцирование продолжать и увидеть, что все более высокие производные, для них тоже вот такого рода оценки сохраняются. Степень в знаменателе будет соответствовать порядку производной. Ну вот это один такой простой пример. Можно написать еще много похожих функций. Не обязательно писать x ^ 2/λ ^ 2 в экспоненте. Можно написать x / λ — это все будет попадать в этот класс, все будет работать. Теперь давайте посмотрим немножечко более хитрую функцию — степенную. То есть скажем, что наша функция F (x) = x ^ n. Ну тогда посмотрим на производную, которую мы знаем точно, естественно. Это просто nx ^ (n − 1). Ну и спрашивается: а где здесь какой-либо масштаб λ? Вот его просто не видно в этой записи. Ну и вообще, степенная функция, она, как часто про нее говорят, это функция, которая не имеет масштаба. Вот в нашей экспоненте буква λ была явно вписана, и она определяла характер поведения функции, а у степенной функции вроде бы масштаба нет. Но обратите внимание: вот эту производную мы можем написать точно через функцию F (x). Мы можем сказать, что это nF (x) / x. Вот. А теперь, если про букву n мы ничего особенного не предполагаем, то есть это не является большим параметром, это не 100, не 1000, если это какое-то число, которое не имеет особой великости, ну и которое тем более является константой, оно не меняется при изменениях х, то мы можем написать такую оценку: считать, что n — это просто число, которое нас не интересует, и написать, что это все порядка F (x) / x. Смотрите, получилась вот ровно формула, которая нам нужна, только вместо λ здесь стоит как-бы текущая x. Получается, что у степенной функции масштабом является вот сам ее аргумент. Это такая немножечко более необычная ситуация, но, тем не менее, так действительно можно про степенную функцию рассуждать. И с такими оговорками, при таком понимании получается, что степенная функция также попадает в класс однопараметрических. Вот. Таким образом я просто хотел проиллюстрировать, что это не что-то очень экзотическое, а это то, что в жизни, действительно, встречается. Теперь с точки зрения нашего метода перевала, с точки зрения вычисления интегралов чем это хорошо? Давайте посмотрим, что в этом случае получается с условиями применимости. Давайте мы напишем первое — условие. Значит, у нас есть [f (3) (t0)] ^ 2 / [f '' (t0)] ^ 3. И теперь, предполагая, что функция F однопараметрическая, мы можем это оценить следующим образом: третья производная — это у нас тогда оценивается как F (t 0) / t 0 ^ 3, и все это надо поделить на вторую производную, которая есть F (t 0) / t 0 ^ 2, и это надо еще возвести в куб. Вот. Теперь обратите внимание, что происходит. Во-первых, у нас есть t 0, оно вот здесь вот в кубе, а затем в квадрате, а здесь в квадрате, а затем в кубе. То есть получается, что в обоих случаях t 0 стоит в шестой степени, и одна шестая степень другую шестую степень сокращает. Поэтому у нас остается только F (t 0), причем в числителе она в квадрате, в знаменателе — в кубе, поэтому это есть просто 1 / F (t 0). Вот. И эта величина у нас должна быть много меньше 1. Ну, а теперь мы можем проделать то же самое для второго условия. Давайте вот здесь вот на свободном месте мы это напишем. У нас есть f (4) (t0) / | f'' (t0)| ^ 2, и мы это оцениваем, предполагая функцию однопараметрической, как F (t 0) / t 0 ^ 4, а в знаменателе стоит вторая производная, то есть [F (t 0) / t 0 ^ 2] и еще все в квадрате. Вот. Опять же мы видим, что t 0 сокращается, потому что здесь оно в 4 степени, а здесь в квадрате и еще раз в квадрате. Значит, получается то же самое: 1 / F (t 0]. Вот кстати, я предупреждал, что в некоторых случаях эти два условия оказываются равносильными — дают одно и то же. Вот пример: однопараметрическая функция, и условие совпадает. То есть условие, получается, применимости для однопараметрических функций очень простое: нам нужно, чтобы функция F в точке максимума была велика по сравнению с 1. Давайте мы это сюда запишем и оставим на будущее. Напишем, что для однопараметрических функций условие применимости становится следующим: F (t 0) > > 1, и все. Вот такой есть простой результат. [МУЗЫКА] [МУЗЫКА] [МУЗЫКА]
