Au cours de la deuxième semaine, nous présentons les définitions de base de la méthode des différences finies. Nous apprenons à utiliser les séries de Taylor pour estimer l'erreur des approximations des dérivées par la méthode des différences finies et à augmenter la précision des approximations en utilisant des opérateurs plus longs. Nous apprenons également à implémenter les dérivées numériques en utilisant Python.

Nous développons l'algorithme des différences finies pour l'équation des ondes acoustiques en 1D, discutons des conditions aux limites et de la manière d'initialiser un exemple de simulation. Nous examinons les solutions en utilisant l'implémentation Python et observons les artefacts numériques. Nous dérivons analytiquement l'un des résultats les plus importants de l'analyse numérique - le critère CFL qui conduit à un algorithme conditionnellement stable pour les schémas explicites de différences finies.

Nous développons la solution de l'équation des ondes acoustiques en 2D, la comparons aux solutions analytiques et démontrons le phénomène d'anisotropie numérique (non physique). Nous étendons l'analyse de von Neumann à la 2D et dérivons l'anisotropie numérique analytiquement. Nous apprenons à initialiser un problème physique réaliste et illustrons que les solutions 2D sont déjà très puissantes pour comprendre les phénomènes ondulatoires complexes. Nous avons introduit l'équation des ondes élastiques 1D et montré le concept des schémas à grille décalée avec la formulation couplée vitesse-contrainte du premier ordre.

Nous commençons par le problème de l'interpolation des fonctions, ce qui nous amène au concept des séries de Fourier. Nous passons aux séries de Fourier discrètes et mettons en évidence leurs propriétés d'interpolation exactes sur des grilles spatiales régulières. Nous introduisons la dérivée des fonctions en utilisant les transformées de Fourier discrètes et nous l'utilisons pour résoudre l'équation des ondes acoustiques 1D et 2D. La nécessité de simuler des ondes dans des zones limitées nous amène à définir les polynômes de Chebyshev et à les utiliser comme fonctions de base pour l'interpolation de fonctions. Nous développons le concept de matrices de différenciation et discutons d'un schéma de solution pour l'équation des ondes élastiques en utilisant les polynômes de Chebyshev.

Nous introduisons le concept d'éléments finis et développons la forme faible de l'équation des ondes. Nous discutons du principe de Galerkin et dérivons un algorithme d'éléments finis pour le problème d'élasticité statique basé sur des fonctions de base linéaires. Nous discutons également de la manière d'implémenter les conditions aux limites. La méthode de relaxation basée sur les différences finies est dérivée pour la même équation et la solution est comparée à l'algorithme des éléments finis.

Nous étendons la solution des éléments finis à l'équation des ondes élastiques et comparons le schéma de solution à la méthode des différences finies. Pour permettre une comparaison directe, nous formulons la solution de différence finie sous forme de matrice-vecteur et démontrons la similitude entre la méthode linéaire des éléments finis et l'approche de différence finie. Nous introduisons le concept de h-adaptivité, la dépendance spatiale de la taille des éléments pour les milieux hétérogènes.

Nous présentons les principes fondamentaux de la méthode des éléments spectraux en développant un schéma de solution pour l'équation des ondes élastiques 1D. Les polynômes de Lagrange sont discutés en tant que fonctions de base de choix. Le concept d'intégration numérique de Gauss-Lobatto-Legendre est introduit et il est montré qu'il conduit à une matrice de masse diagonale rendant son inversion triviale.

Nous finalisons la dérivation de la solution de l'élément spectral de l'équation des ondes élastiques. Nous montrons comment calculer les dérivées nécessaires des polynômes de Lagrange en utilisant les polynômes de Legendre. Nous montrons comment effectuer l'étape d'assemblage menant au système de solution final pour l'équation des ondes élastiques. Nous démontrons la solution numérique pour des milieux homogènes et hétérogènes.