Die Wurzelfindung ist eine numerische Technik zur Bestimmung der Wurzeln oder Nullstellen einer bestimmten Funktion. Wir werden verschiedene Methoden zur Wurzelfindung untersuchen, darunter die Bisektionsmethode, die Newton-Methode und die Secant-Methode. Wir werden auch die Konvergenzordnung für diese Methoden herleiten. Außerdem zeigen wir Ihnen, wie Sie das Newton-Fraktal mit der Newton-Methode in MATLAB berechnen können, und besprechen MATLAB-Funktionen, die zum Finden von Wurzeln verwendet werden können. Für Ihr Programmierprojekt werden Sie einen MATLAB-Code schreiben, der die Newton-Methode verwendet, um das Feigenbaum-Delta aus dem Bifurkationsdiagramm für die logistische Karte zu berechnen.

Numerische lineare Algebra ist die Bezeichnung für Matrixalgebra, die auf einem Computer durchgeführt wird. Bei der Durchführung der Gaußschen Eliminierung mit großen Matrizen können Rundungsfehler die Berechnung beeinträchtigen. Diese Fehler können durch die Methode des partiellen Pivotings gemildert werden, bei der vor jedem Eliminierungsschritt die Zeilen ausgetauscht werden. Der LU-Zerlegungsalgorithmus muss dann Permutationsmatrizen einbeziehen. Wir werden auch die Anzahl der Operationen und die Big-Oh-Notation besprechen, um den Anstieg der Rechenzeit bei größeren Problemgrößen vorherzusagen. Wir zeigen, wie Sie die Anzahl der erforderlichen Operationen für die Gaußsche Eliminierung, die Vorwärtssubstitution und die Rückwärtssubstitution zählen können. Wir werden die Potenzmethode zur Berechnung des größten Eigenwerts einer Matrix erklären. Schließlich zeigen wir Ihnen, wie Sie mit der Gaußschen Eliminierung ein System nichtlinearer Differentialgleichungen mit der Newton-Methode lösen können. Für Ihr Programmierprojekt werden Sie einen MATLAB-Code schreiben, der die Newtonsche Methode auf die Lorenz-Gleichungen anwendet.

Die Berechnung von bestimmten Integralen wird als Quadratur bezeichnet. Wir werden uns mit den Grundlagen der Quadratur befassen, einschließlich elementarer Formeln für die Trapezregel und die Simpson-Regel, der Entwicklung zusammengesetzter Integrationsregeln, einer Einführung in die Gaußsche Quadratur, dem Aufbau einer adaptiven Quadraturroutine, bei der die Software die geeignete Integrationsschrittgröße bestimmt, und der Verwendung der MATLAB-Funktion integral.m. Außerdem werden wir uns mit der Interpolation befassen. Eine gute Interpolationsroutine kann Funktionswerte an dazwischen liegenden Abtastpunkten schätzen. Wir lernen die lineare Interpolation kennen, die üblicherweise für die Darstellung von Daten mit vielen Punkten verwendet wird, sowie die kubische Spline-Interpolation, die zum Einsatz kommt, wenn nur wenige Datenpunkte vorhanden sind. Für Ihr Programmierprojekt werden Sie einen MATLAB-Code schreiben, um die Nullstellen einer Bessel-Funktion zu berechnen. Diese Aufgabe erfordert die Kombination von Quadratur- und Wurzelfindungsroutinen.

Wir lernen die numerische Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs) kennen. Wir stellen die Euler-Methode, eine einstufige Methode erster Ordnung, und die Runge-Kutta-Methoden vor, die die Euler-Methode auf mehrere Schritte und höhere Ordnungen erweitern und damit größere Zeitschritte ermöglichen. Wir werden zeigen, wie man eine Familie von Runge-Kutta-Methoden zweiter Ordnung konstruiert, diskutieren die weit verbreitete Runge-Kutta-Methode vierter Ordnung und wenden diese Methoden zur Lösung von ODE-Systemen an. Wir zeigen Ihnen, wie Sie die MATLAB-Funktion ode45.m verwenden und wie Sie eine Zweipunkt-Randwert-ODE mit der Schießmethode lösen. Für Ihr Programmierprojekt werden Sie eine numerische Simulation des gravitativen Zweikörperproblems durchführen.

Wir werden lernen, wie man partielle Differentialgleichungen (PDEs) löst. Obwohl es sich hierbei um ein umfangreiches Thema mit verschiedenen spezialisierten Lösungsmethoden handelt, wie z.B. in der numerischen Strömungsmechanik, werden wir eine grundlegende Einführung in dieses Thema geben. Wir werden die PDE-Lösungen in Randwertprobleme und Anfangswertprobleme unterteilen. Anschließend werden wir die Finite-Differenzen-Methode zur Lösung von PDEs anwenden. Wir werden die Laplace-Gleichung, ein Randwertproblem, mit zwei Methoden lösen: einer direkten Methode über Gaußsche Eliminierung und einer iterativen Methode, bei der die Lösung asymptotisch angenähert wird. Als nächstes werden wir die eindimensionale Diffusionsgleichung, ein Anfangswertproblem, mit der Crank-Nicolson-Methode lösen. Wir werden auch die Von-Neumann-Stabilitätsanalyse anwenden, um die Stabilität von Zeitintegrationsverfahren zu bestimmen. Für Ihr Programmierprojekt werden Sie die zweidimensionale Diffusionsgleichung mit der Crank-Nicolson-Methode lösen.