In Woche 2 werden Sie sich mit dem Festplattenmodell beschäftigen, das in den 1950er Jahren erstmals von Molecular Dynamics simuliert wurde. Wir werden den Unterschied zwischen direktem Sampling und Markov-Ketten-Sampling beschreiben und auch die Verbindung von Monte-Carlo- und Molecular-Dynamics-Algorithmen untersuchen, d.h. die Schnittstelle zwischen Newtonscher Mechanik und statistischer Mechanik. Das Tutorial beinhaltet klassische Konzepte aus der statistischen Physik (Partitionsfunktion, Virialausdehnung, ...), und die Hausaufgabe wird zeigen, dass das Äquiprobabilitätsprinzip möglicherweise subtiler ist als erwartet

Nach den Festplatten in Woche 2 wechseln wir in Woche 3 zu Wäscheklammern, die an einer Wäscheleine ausgerichtet sind. Dies ist ein großartiges Modell, um die entropischen Wechselwirkungen kennenzulernen, die sich nur aus statistisch-mechanischen Überlegungen ergeben. In diesem Tutorial sehen Sie ein Beispiel für eine typische Situation: Eine exakte Lösung zu haben, entspricht oft der Suche nach einem perfekten Algorithmus zum Abtasten von Konfigurationen. In der Hausaufgabe schließlich kehren wir zu den Festplatten zurück und erhalten einen einfachen Beweis für den Übergang zwischen einer Flüssigkeit und einem Festkörper, für ein zweidimensionales System.

In Woche 4 werden wir unser Verständnis der Stichprobenbildung und ihrer Verbindung mit der Integration vertiefen. Dies wird es uns ermöglichen, eine weitere Säule der statistischen Mechanik (nach dem Äquiprobabilitätsprinzip) einzuführen: die Maxwell- und Boltzmann-Verteilungen von Geschwindigkeiten und Energien. In der Hausaufgabe werden wir die Grenzen der Stichprobenbildung ausloten, bis wir das Integral einer Kugel berechnen können... in 200 Dimensionen!

Woche 5 ist die erste Folge einer dreiwöchigen Reise durch die statistische Quantenmechanik. Wir werden zunächst etwas über Dichtematrizen und Pfadintegrale lernen, faszinierende Werkzeuge zur Untersuchung von Quantensystemen. In vielen Fällen wird die Trotter-Approximation nützlich sein, um nicht-triviale Systeme zu betrachten und auch um die zeitliche Entwicklung eines Systems zu verfolgen. All diese Themen, einschließlich der Technik der Matrixquadrierung, werden in der Hausaufgabe ausführlich behandelt, in der Sie auch das anharmonische Potential studieren werden. <br> Beachten Sie, dass Vorkenntnisse in Quantenmechanik nicht wirklich notwendig sind, um die nächsten drei Wochen durchzustehen. Folgen Sie uns auf unserer Reise durch Algorithmen und Physik und vergessen Sie nicht, im Forum nachzufragen, wenn Sie irgendwelche Zweifel haben!

In Woche 6, der zweiten Quantenwoche, stellen wir Ihnen die Eigenschaften von Bosonen vor, ununterscheidbare Teilchen mit einer besonderen Statistik. Gleichzeitig lernen wir einen leistungsstarken Stichprobenalgorithmus kennen, die Lévy-Konstruktion, und in der Hausaufgabe werden Sie ihn gründlich mit Standard-Stichprobenverfahren vergleichen

Am Ende unserer Quantenreise, in Woche 7, diskutieren wir das Phänomen der Bose-Einstein-Kondensation, das in den 1920er Jahren theoretisch vorhergesagt und in den 1990er Jahren in Experimenten mit ultrakalten Atomen beobachtet wurde. Im Rahmen des Pfadintegralsystems lässt sich dieses Phänomen elegant mit Hilfe von Permutationszyklen beschreiben, was auch zu einem großartigen Sampling-Algorithmus führt, den wir in der Hausaufgabe besprechen werden

In Woche 8 kehren wir zur klassischen Physik zurück, insbesondere zum Ising-Modell, das die wesentliche Physik eines Satzes von magnetischen Spins erfasst. Dies ist auch ein grundlegendes Modell für die Entwicklung von Sampling-Algorithmen, und wir werden verschiedene Ansätze bei der Arbeit sehen: Ein lokaler Algorithmus, die sehr effizienten Cluster-Algorithmen, der Heat-Bath-Algorithmus und seine Verbindung mit der Kopplung. All diese Ansätze werden in der Hausaufgabe wieder aufgegriffen, in der Sie eine präzise Kontrolle über den Übergang zwischen geordneten und ungeordneten Zuständen erhalten

In Woche 9 fahren wir mit einfachen Modellen für Spins fort und lernen einen dynamischen Monte-Carlo-Algorithmus kennen, der schneller läuft als die Uhr. Dieser Algorithmus lässt sich leicht für ein System mit einem einzigen Spin entwickeln und kann auch auf das vollständige Ising-Modell aus Woche 8 verallgemeinert werden. Im Tutorium wenden wir uns der Simulatedannealing-Technik zu, einer von der Physik inspirierten Optimierungsmethode mit einem sehr breiten Anwendungsbereich. Sie werden diese Methode auch in der Hausaufgabe wieder aufgreifen und sie auf das Sphere-Packing- und das Traveling-Salesman-Problem anwenden.

Die Vorlesung in Woche 10 beinhaltet das Alpha und das Omega unseres Kurses. Zunächst wiederholen wir das Experiment der Buffon'schen Nadel, das bereits im 18. Jahrhundert durchgeführt wurde, und dann befassen wir uns mit der ausgefeilten Theorie der stabilen Lévy'schen Verteilungen und ihrer Verbindung mit dem zentralen Grenzwertsatz. Im Tutorium wird es Zeit für eine Wiederholung des gesamten Kursmaterials geben, und dann ist eine kleine Party fällig, um das Ende des Kurses zu feiern! <br> (Es gibt keine Hausaufgaben für Woche 10, aber vergessen Sie nicht, dass die Abschlussprüfung noch ansteht!)