Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

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Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 2

Instructeurs : Sylvie Méléard

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Il y a 6 modules dans ce cours

Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard.

Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.

Nous entamons cette semaine le Cours 4 dont le sujet est les vecteurs aléatoires, c'est-à-dire, une collection finie de variables aléatoires réelles, comme par exemple des couples de variables aléatoires. Ce cours s'étend sur deux semaines.

Inclus

8 vidéos3 lectures1 devoir2 plugins

8 vidéosTotal 135 minutes

Séance 1 : LOI D'UN VECTEUR ALÉATOIRE20 minutes
Séance 2 : MOMENTS27 minutes
Séance 3 : LOIS CONDITIONNELLES20 minutes
LA MÉTHODE DU REJET23 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : LA MÉTHODE DU REJET9 minutes
Loi triangulaire8 minutes
Régression linéaire6 minutes
Aiguille de Buffon21 minutes

3 lecturesTotal 30 minutes

Loi triangulaire (*)10 minutes
Régression linéaire (**)10 minutes
Aiguille de Buffon (**)10 minutes

1 devoirTotal 30 minutes

QCM de la semaine30 minutes

2 pluginsTotal 10 minutes

Simulation d’une variable aléatoire à densité par la méthode du rejet5 minutes
Simulation par la méthode du rejet généralisée5 minutes

Il s'agit de la suite et de la fin du Cours 4. Nous allons en particulier généraliser le résultat qui nous permet de faire des calculs de lois.

Inclus

8 vidéos4 lectures1 devoir2 plugins

8 vidéosTotal 107 minutes

Séance 4 : VECTEURS ALÉATOIRES INDÉPENDANTS12 minutes
Séance 5 : CALCUL DE LOIS22 minutes
EXEMPLES DE MÉTHODES PARTICULIÈRES21 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : INDÉPENDANCE ET FLÉCHETTES ALÉATOIRES13 minutes
Lois de Gauss et de Cauchy10 minutes
Calculs sur les lois Gamma6 minutes
Pannes informatiques12 minutes
Loi paire flippée11 minutes

4 lecturesTotal 40 minutes

Lois de Gauss et de Cauchy (*)10 minutes
Calculs sur les lois gamma (**)10 minutes
Pannes informatiques (**)10 minutes
Loi paire flippée (**)10 minutes

1 devoirTotal 30 minutes

QCM de la semaine30 minutes

2 pluginsTotal 10 minutes

Simulation - Illustration de la notion d’indépendance : fléchettes gausiennes5 minutes
Simulation - Illustration de la notion d’indépendance : fléchettes tirées uniformément5 minutes

Nous entamons le Cours 5 dont l'objet principal est le théorème communément appelé la « loi des grands nombres ». Nous introduirons aussi plusieurs notions de convergence d'une suite de variables aléatoires.

Inclus

11 vidéos6 lectures1 devoir1 plugin

11 vidéosTotal 129 minutes

Séance 1 : SOMMES DE VARIABLES ALÉATOIRES24 minutes
Séance 2 (1/2) : CONVERGENCES21 minutes
Séance 3 (2/2) : CONVERGENCES16 minutes
Séance 4 : LOI DES GRANDS NOMBRES25 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : LA LOI DES GRANDS NOMBRES12 minutes
Minimum et maximum de variables aléatoires uniformes7 minutes
La convergence presque-sûre implique la convergence en probabilité2 minutes
Une métrique pour la convergence en probabilité5 minutes
Exemples de convergence de variables aléatoires6 minutes
Une condition de moment pour la convergence en moyenne5 minutes
Une condition suffisante pour la convergence presque-sûre6 minutes

6 lecturesTotal 60 minutes

Minimum et maximum de variables aléatoires i.i.d. uniformes (*)10 minutes
La convergence presque sûre implique la convergence en probabilité (*)10 minutes
Une métrique pour la convergence en probabilité (*)10 minutes
Exemples de convergence de variables aléatoires (**)10 minutes
Une condition de moment pour la convergence en moyenne (**)10 minutes
Une condition suffisante pour la convergence presque sûre (**)10 minutes

1 devoirTotal 30 minutes

QCM de la semaine30 minutes

1 pluginTotal 5 minutes

Simulation - Illustration de la loi des grands nombres5 minutes

Nous terminons le Cours 5 en donnant des exemples d'applications de la loi des grands nombres. Nous introduisons également la méthode de Monte Carlo.

Inclus

6 vidéos1 lecture1 devoir2 plugins

6 vidéosTotal 71 minutes

Séance 5 : APPLICATIONS DE LA LOI DES GRANDS NOMBRES20 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : CONVERGENCE DE LA FONCTION DE RÉPARTITION EMPIRIQUE6 minutes
MÉTHODE DE MONTE CARLO (INTRODUCTION)12 minutes
MÉTHODE DE MONTE CARLO (FONDEMENT)12 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : LES AIGUILLES DE BUFFON12 minutes
Placement risqué (difficulté **)9 minutes

1 lectureTotal 10 minutes

Placement risqué (*)10 minutes

1 devoirTotal 30 minutes

QCM de la semaine30 minutes

2 pluginsTotal 10 minutes

Simulation - Calcul de Pi avec une pluie aléatoire5 minutes
Simulation - Aiguilles de Buffon5 minutes

Nous commençons le Cours 6, le dernier de ce MOOC, à cheval sur deux semaines. Cette semaine, on introduit un nouvel outil très puissant : les fonction caractéristiques.

Inclus

2 vidéos

Cette dernière semaine est consacrée au second pilier de la théorie des probabilités : le théorème de la limite centrale. Ce résultat nécessite une nouvelle notion de convergence : la convergence en loi. Nous verrons notamment une application aux intervalles de confiance qui sont utilisés pour les sondages.

Inclus

11 vidéos5 lectures1 devoir2 plugins

11 vidéosTotal 156 minutes

Séance 3 : CONVERGENCE EN LOI30 minutes
Séance 4 : CONVERGENCE EN LOI (suite)16 minutes
Séance 5 : THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE21 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : THÉORÈME DE LA LIMITE CENTRALE9 minutes
INTERVALLES DE CONFIANCE D'UN SONDAGE18 minutes
ILLUSTRATION & EXPÉRIMENTATION : INTERVALLES DE CONFIANCE17 minutes
Trois exemples de convergence en loi10 minutes
Erreurs d’arrondi7 minutes
Second tour d'une élection présidentielle7 minutes
La convergence du Théorème Central Limite ne peut pas être en probabilité6 minutes
Test de moyenne nulle16 minutes

5 lecturesTotal 50 minutes

Trois exemples de convergence en loi (*)10 minutes
Erreurs d'arrondi (*)10 minutes
Second tour d'une élection présidentielle (**)10 minutes
La convergence du théorème limite central ne peut pas être en probabilité (**)10 minutes
Test de moyenne nulle (***)10 minutes

1 devoirTotal 30 minutes

QCM de la semaine30 minutes

2 pluginsTotal 10 minutes

Simulation - Illustration de la loi des grands nombres et du théorème de la limite centrale5 minutes
Simulation - Intervalles de confiance (sondage)5 minutes

Instructeurs

Évaluations de l’enseignant

(5 évaluations)

Sylvie Méléard

École Polytechnique

2 Cours19 815 apprenants

Jean-René Chazottes

École Polytechnique

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Carl Graham

École Polytechnique

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