Au cours de la deuxième semaine, vous vous familiariserez avec le modèle du disque dur, qui a été simulé pour la première fois par la dynamique moléculaire dans les années 1950. Nous décrirons la différence entre l'échantillonnage direct et l'échantillonnage par chaîne de Markov, et nous étudierons également la connexion entre les algorithmes de Monte Carlo et ceux de la dynamique moléculaire, c'est-à-dire l'interface entre la mécanique newtonienne et la mécanique statistique. Le tutoriel inclut des concepts classiques de la physique statistique (fonction de partition, expansion virale, ...), et la session de travail à la maison montrera que le principe d'équiprobabilité pourrait être plus subtil que prévu

Après les disques durs de la semaine 2, la semaine 3 est consacrée aux épingles à linge alignées sur un fil à linge. Il s'agit d'un modèle idéal pour se familiariser avec les interactions entropiques, qui ne sont issues que de considérations de mécanique statistique. Dans le tutoriel, vous verrez un exemple d'une situation typique : Avoir une solution exacte correspond souvent à trouver un algorithme parfait pour échantillonner les configurations. Enfin, dans la session de travail à la maison, nous reviendrons sur les disques durs et obtiendrons une preuve simple de la transition entre un liquide et un solide, pour un système bidimensionnel.

Au cours de la semaine 4, nous approfondirons notre compréhension de l'échantillonnage et de son lien avec l'intégration, ce qui nous permettra d'introduire un autre pilier de la mécanique statistique (après le principe d'équiprobabilité) : les distributions de Maxwell et de Boltzmann des vitesses et des énergies. Dans la séance de travaux pratiques, nous repousserons les limites de l'échantillonnage jusqu'à ce que nous puissions calculer l'intégrale d'une sphère... en 200 dimensions !

La semaine 5 est le premier épisode d'un voyage de trois semaines à travers la mécanique statistique quantique. Nous commencerons par nous familiariser avec les matrices densité et les intégrales de chemin, des outils fascinants pour étudier les systèmes quantiques. Dans de nombreux cas, l'approximation de Trotter sera utile pour considérer des systèmes non triviaux, et aussi pour suivre l'évolution temporelle d'un système. Tous ces sujets, y compris la technique du carré matriciel, seront revus en détail dans la session de devoirs, où vous étudierez également le potentiel anharmonique. Notez qu'une connaissance préalable de la mécanique quantique n'est pas vraiment nécessaire pour suivre les trois semaines à venir. Suivez-nous dans notre voyage à travers les algorithmes et la physique, et n'oubliez pas de poser des questions sur le forum si vous avez des doutes !

Au cours de la semaine 6, la deuxième semaine quantique, nous introduirons les propriétés des bosons, des particules indiscernables dotées de statistiques particulières. En même temps, nous irons plus loin en apprenant un puissant algorithme d'échantillonnage, la construction de Lévy, que vous comparerez minutieusement aux techniques d'échantillonnage standard lors de la séance de travail à la maison

À la fin de notre voyage quantique, dans la semaine 7, nous discutons du phénomène de condensation de Bose-Einstein, prédit théoriquement dans les années 1920 et observé dans les années 1990 dans des expériences avec des atomes ultra-froids. Dans le cadre de l'intégrale des chemins, une description élégante de ce phénomène se fait en termes de cycles de permutation, ce qui conduira également à un excellent algorithme d'échantillonnage, qui sera discuté lors de la session de devoirs

Dans la semaine 8, nous revenons à la physique classique, et en particulier au modèle d'Ising, qui capture la physique essentielle d'un ensemble de spins magnétiques. Il s'agit également d'un modèle fondamental pour le développement d'algorithmes d'échantillonnage, et nous verrons différentes approches à l'œuvre : Un algorithme local, les algorithmes de cluster très efficaces, l'algorithme de bain de chaleur et son lien avec le couplage. Toutes ces approches seront réexaminées lors de la séance de travail à la maison, où vous pourrez contrôler avec précision la transition entre les états ordonnés et désordonnés

En poursuivant avec des modèles simples pour les spins, la semaine 9 commence par l'apprentissage d'un algorithme dynamique de Monte Carlo qui fonctionne plus vite que l'horloge. Cet algorithme est facilement conçu pour un système à un seul spin et peut également être généralisé au modèle d'Ising complet de la semaine 8. Dans le tutoriel, nous passons à la technique du recuit simulé, une méthode d'optimisation inspirée de la physique dont l'applicabilité est très large. Vous reviendrez également sur cette technique dans la session de devoirs, et l'appliquerez aux problèmes d'empaquetage de sphères et de voyageur de commerce.

La conférence de la semaine 10 comprend l'alpha et l'oméga de notre cours. Tout d'abord, nous répétons l'expérience de l'aiguille de Buffon, déjà réalisée au 18ème siècle, puis nous abordons la théorie sophistiquée des distributions stables de Lévy, et leur lien avec le théorème de la limite centrale. Lors des travaux dirigés, nous aurons le temps de réviser l'ensemble du matériel de cours, puis nous organiserons une petite fête pour célébrer la fin du cours (il n'y a pas de séance de devoirs pour la semaine 10, mais n'oubliez pas que l'examen final est toujours là)