Les champs scalaires et vectoriels peuvent être différenciés. Nous définissons la dérivée partielle et dérivons la méthode des moindres carrés comme un problème de minimisation. Nous apprenons à utiliser la règle de la chaîne pour une fonction de plusieurs variables et dérivons la règle du triple produit utilisée en génie chimique. Nous définissons le gradient, la divergence, le curl et le laplacien. Nous apprenons quelques identités utiles du calcul vectoriel et les dérivons en utilisant le delta de Kronecker et le symbole de Levi-Civita. Nous utilisons les identités vectorielles pour dériver l'équation des ondes électromagnétiques de l'équation de Maxwell en espace libre. Les ondes électromagnétiques sont à la base de toutes les technologies de communication modernes.

L'intégration peut être étendue aux fonctions de plusieurs variables. Nous apprenons à effectuer des intégrales doubles et triples. Nous définissons les coordonnées curvilignes, à savoir les coordonnées polaires en deux dimensions et les coordonnées cylindriques et sphériques en trois dimensions, et nous les utilisons pour simplifier les problèmes présentant une symétrie circulaire, cylindrique ou sphérique. Nous apprenons à écrire des opérateurs différentiels en coordonnées curvilignes et à changer de variables dans des intégrales multidimensionnelles en utilisant le jacobien de la transformation.

Les champs scalaires ou vectoriels peuvent être intégrés sur des courbes ou des surfaces. Nous apprenons à prendre l'intégrale de ligne d'un champ scalaire et à l'utiliser pour calculer les longueurs d'arc. Nous apprenons ensuite à prendre l'intégrale de ligne d'un champ vectoriel en prenant le produit point du champ vectoriel avec les vecteurs unitaires tangents à la courbe. L'examen de l'intégrale de ligne d'un champ de force aboutit au théorème travail-énergie. Ensuite, nous apprenons à prendre l'intégrale de surface d'un champ scalaire et à utiliser l'intégrale de surface pour calculer les surfaces. Nous apprenons ensuite à calculer l'intégrale de surface d'un champ de vecteurs en effectuant le produit de points du champ de vecteurs avec le vecteur normal unitaire à la surface. L'intégrale de surface d'un champ de vitesse est utilisée pour définir le flux de masse d'un fluide à travers une surface.

Le théorème fondamental du calcul relie l'intégration à la différenciation. Nous apprenons ici les théorèmes fondamentaux du calcul vectoriel qui y sont liés. Il s'agit notamment du théorème du gradient, du théorème de la divergence et du théorème de Stokes. Nous montrons comment ces théorèmes sont utilisés pour dériver les équations de continuité et la loi de conservation de l'énergie. Nous montrons comment définir la divergence et le curl sous forme libre de coordonnées, et comment convertir la version intégrale des équations de Maxwell sous forme différentielle.